初中解方程全解知识点.pdf

知识点一、解一元一次方程的一般步骤知识点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号(1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号(2)不要丢项合并同类项把方程化成 axb(a0)的形式字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程的解bxa不要把分子、分母写颠倒要点诠释：要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化(2)去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆要点二、二元一次方程组的解法要点二、二元一次方程组的解法1.1.解二元一次方程组的思想解二元一次方程组的思想转化消元一元一次方程二元一次方程组2.2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法（1 1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表xy示（或），即变成（或）的形式；yxbaxybayx将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去baxybayx（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；yxxy解这个一元一次方程，求出（或）的值；xy把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；xybaxybayxyx用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.（2 2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于 0 的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；将两个未知数的值用“”联立在一起即可.一概念1一元二次方程的概念：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(2 次)的整式方程，叫做一元二次方程2一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c是常数项3直接开方法解一元二次方程：(1)算理：平方根的意义；即时，若，则；表示为，有两个不等实数根 若，则 x=O；表示为，有两个相等的实数根 若，则方程无实数根(2)注意：一般先把系数化为 1 再开方；要正确写出根的形式4(1)用配方法解二次项系数是 1 的方程：通过配方，把方程的一边化为一个完全平方式，另一边是一个非负实数，即的形式，然后用直接开方法求根(2)用配方法解二次项系数不是 1 的方程：先将二次项系数化为 1，再用配方法求根5一元二次方程求根公式：对于一元二次方程，当时，这个式子叫做一元二次方程的求根公式注意：0 是公式使用的前提条件，是公式的重要组成部分 公式法是解一元二次方程的一般方法；由公式法可知，一元二次方程最多有两个实数根6归纳一元二次方程根的情况：对于一元二次方程，其中，=称为一元二次方程根的判别式(1)当=时，原方程有两个不等的实数根，；(2)当=时，原方程有两个相等的实数根；(3)当=时，原方程没有实数根。7因式分解法算理：或(A、B 至少一个为 0)先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式,再使两个一次式分别等于 0,从而实现降次；这种解法叫做因式分解.所有学过的因式分解方法:提公因式法、公式法、十字相乘法.注意:(不确定 A、B 的值)。8一元二次方程有多种解法，要根据形式择优选择解法。但所有解法都是通过“降次”实现求根的：开方降次和分解降次。1.二次函数基本形式：的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.的性质：上加下减。2yaxc3.的性质：左加右减。2ya xh的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上00，轴y时，随的增大而增大；时，0 x yx0 x 随的增大而减小；时，有最小值yx0 x y00a 向下00，轴y时，随的增大而减小；时，0 x yx0 x 随的增大而增大；时，有最大值yx0 x y0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0c，轴y时，随的增大而增大；时，0 x yx0 x 随的增大而减小；时，有最小值yx0 x yc0a 向下0c，轴y时，随的增大而减小；时，0 x yx0 x 随的增大而增大；时，有最大值yx0 x yc的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0h，X=h时，随的增大而增大；时，xhyxxh随的增大而减小；时，有最小值yxxhy04.的性质：2ya xhk二次函数二次函数图象的画法图象的画法2yaxbxc五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确2yaxbxc2()ya xhk定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点y0c，0c，、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴2hc，x10 x，20 x，x对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.xy1.二次项系数a二次函数中，作为二次项系数，显然2yaxbxca0a 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；0a aa 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越0a aa大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开aaa口的大小2.一次项系数b 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴ab 在的前提下，0a 当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；0b 02bay当时，即抛物线的对称轴就是轴；0b 02bay当时，即抛物线对称轴在轴的右侧0b 02bay 在的前提下，结论刚好与上述相反，即0a 0a 向下0h，X=h时，随的增大而减小；时，xhyxxh随的增大而增大；时，有最大值yxxhy0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上hk，X=h时，随的增大而增大；时，xhyxxh随的增大而减小；时，有最小值yxxhyk0a 向下hk，X=h时，随的增大而减小；时，xhyxxh随的增大而增大；时，有最大值yxxhyk当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；0b 02bay当时，即抛物线的对称轴就是轴；0b 02bay当时，即抛物线对称轴在轴的左侧0b 02bay总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置ab的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，ababx2y0aby0ab概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项c 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0c yxy 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0c yy0 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为0c yxy负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置cy 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的abc，二次函数图像参考：二次函数图像参考：y=-2x2y=-x2y=-x22y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x2y=x22y=2x2y=x2y=-2x2y=-x2y=-x22y=2x2-4y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2