2017高考数列专题复习(精典版知识点+大题分类+选择题+答案详解).pdf

文科数学 数列专篇 复习资料第 1 页 共 15 页文科数列专题复习文科数列专题复习1、等差数列与等比数列等差数列与等比数列1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。2.等差数列与等比数列的联系1 1）若数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，nanaadaa是的公差。（a0 且 a1）；d na2 2）若数列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为 na0na logana，其中是常数且，是的公比。logaqa0,1aaq na3 3）若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列。nana3.等差与等比数列的比较等差数列等比数列定义常数）为(1daaPAannn常数）为(1qaaPGannn通项公 式na=1a+（n-1）d=ka+（n-k）d=dn+1a-dknknnqaqaa11求和公 式ndanddnnnaaansnn)2(22)1(2)(1211)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnasnnn中项公式A=2ba 推广：2na=mnmnaaabG 2。推广：mnmnnaaa2性质1若 m+n=p+q 则 qpnmaaaa若 m+n=p+q，则qpnmaaaa。文科数学 数列专篇 复习资料第 2 页 共 15 页2若nk成 A.P（其中Nkn）则nka也为 A.P。若nk成等比数列（其中Nkn），则nka成等比数列。3nnnnnsssss232,成等差数列。nnnnnsssss232,成等比数列。4)(11nmnmaanaadnmn11aaqnn，mnmnaaq)(nm 4 4、典型例题分析、典型例题分析【题型题型 1】1】等差数列与等比数列的联系等差数列与等比数列的联系例例 1 （文（文 1616）已知an是公差不为零的等差数列，a11，且 a1，a3，a9成等比数列.（）求数列an的通项;（）求数列2an的前 n 项和 Sn.解：解：（）由题设知公差 d0，由 a11，a1，a3，a9成等比数列得121d1 812dd，解得 d1，d0（舍去），故an的通项 an1+（n1）1n.()由（）知2ma=2n，由等比数列前 n 项和公式得Sm=2+22+23+2n=2(1 2)1 2n=2n+1-2.小结与拓展：数列小结与拓展：数列是等差数列，则数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为是等比数列，公比为，其中，其中 nanaada是常数，是常数，是是的公差。的公差。（a0a0 且且 a1a1）.ad na【题型题型 2】2】与与“前前 n n 项和项和 SnSn 与通项与通项 an”an”、常用求通项公式的结合、常用求通项公式的结合例例 2 2 已知数列an的前三项与数列bn的前三项对应相同，且a12a222a32n1an8n 对任意的 nN*都成立，数列bn1bn是等差数列求数列an与bn的通项公式。解：解：a12a222a32n1an8n(nN*)当 n2 时，a12a222a32n2an18(n1)(nN*)得 2n1an8，求得 an24n，文科数学 数列专篇 复习资料第 3 页 共 15 页在中令 n1，可得 a18241，an24n(nN*)由题意知b18，b24，b32，b2b14，b3b22，数列bn1bn的公差为2(4)2，bn1bn4(n1)22n6，法一法一（迭代法）迭代法）bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)8(4)(2)(2n8)n27n14(nN*)法二法二（累加法）累加法）即 bnbn12n8，bn1bn22n10，b3b22，b2b14，b18，相加得 bn8(4)(2)(2n8)8n27n14(nN*)(n1)(42n8)2小结与拓展：小结与拓展：1）在数列）在数列aan n 中，前中，前 n n 项和项和 S Sn n与通项与通项 a an n的关系为：的关系为：.是重要考点；是重要考点；2 2）韦达定理应引起重视；）韦达定理应引起重视；3 3）迭代）迭代)Nn,2()1(111nSSnSaannn法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。【题型 3】中项公式与最值（数列具有函数的性质）例例 3 （文）（文）在等比数列an中，an0(nN），公比 q(0,1)，且 a1a5+2a3a5+a 2a825，a3与 as的等比中项为 2。（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog2 an，数列bn的前 n 项和为 Sn当1212nSSSn最大时，求 n 的值。解：解：（1）因为 a1a5+2a3a5+a 2a825，所以，23a+2a3a5+25a25 又 ano，a3a55 又 a3与 a5的等比中项为 2，所以，a3a54文科数学 数列专篇 复习资料第 4 页 共 15 页而 q（0,1），所以，a3a5，所以，a34，a51，12q，a116，所以，1511622nnna（2）bnlog2 an5n，所以，bn1bn1，所以，bn是以 4 为首项，1 为公差的等差数列。所以，(9),2nnnS92nSnn 所以，当 n8 时，nSn0，当 n9 时，nSn0，n9 时，nSn0，当 n8 或 9 时，1212nSSSn最大。小结与拓展：小结与拓展：1 1）利用配方法、单调性法求数列的最值；）利用配方法、单调性法求数列的最值；2 2）等差中项与等比中项。）等差中项与等比中项。2、数列的前数列的前 n 项和项和1.1.前前 n n 项和公式项和公式 SnSn 的定义：的定义：S Sn=a1+a2+an。2.2.数列求和的方法（数列求和的方法（1 1）（1 1）公式法：）公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:；1nkk12123(1)nn n；21nkk222216123(1)(21)nn nn；31nkk33332(1)2123n nn。1(21)nkk2n1)-(2n.531（2 2）分组求和法：）分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。（3 3）倒序相加法：）倒序相加法：如果一个数列an，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前 n 项和即是用此法推导的。（4 4）裂项相消法：）裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。文科数学 数列专篇 复习资料第 5 页 共 15 页适用于其中是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含1nnaacna阶乘的数列等。如：1）和（其中等差）可裂项为：11nnaa11nnaa na；2）。（根式在分母上时（根式在分母上时111111()nnnnaad aa1111()nnnnaadaa可考虑利用分母有理化，因式相消可考虑利用分母有理化，因式相消 求和）求和）常见裂项公式常见裂项公式：（1）；111(1)1n nnn（2）；11 11()()n nkknnk（3）；1111(1)(1)2(1)(1)(2)n nnn nnn（4）11(1)!(1)!nnnn（5）常见放缩公式：.21211112()2()nnnnnnnnn3.3.典型例题分析典型例题分析【题型题型 1】1】公式法公式法例例 1 等比数列的前项和 S2p，则_.na2232221naaaa解：解：1）当 n=1 时，；p-2a12）当时，。2n 1-n1-nn1-nnn2p)-(2-p)-(2S-Sa 因为数列为等比数列，所以na1p12p-2a1-11从而等比数列为首项为 1，公比为 2 的等比数列。na故等比数列为首项为 1，公比为的等比数列。2na4q21)-(4314-1)4-1(1nn2232221naaaa文科数学 数列专篇 复习资料第 6 页 共 15 页小结与拓展：小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:（见知识点部分）。5）等比数列的性质：等比数列的性质：若数列为等比na数列，则数列及也为等比数列，首项分别为、，公比分 2nana121a1a1别为、。2qq1【题型题型 2】2】分组求和法分组求和法例例 2 2 （文（文 1818）数列中，且点在函数na11a 1(,)nnaa()nN的图象上.求数列的通项公式()2f xxna解：解：点在函数的图象上，。1(,)nnaa()2f xx12nnaa，即数列是以为首项，2 为公差的等差数列，12nnaana11a。1(1)221nann【题型题型 3】3】裂项相消法裂项相消法例例 3 3 （文（文 1919 改编）改编）已知数列 na的前n项和为nS，11a，141nnSa，设12nnnbaa（）证明数列 nb是等比数列；（）数列 nc满足21log3nncb*()nN，求1 22 33 41nnnTc cc cc cc c。证明：证明：（）由于141nnSa，当2n 时，141nnSa 得 1144nnnaaa 所以 1122(2)nnnnaaaa 文科数学 数列专篇 复习资料第 7 页 共 15 页又12nnnbaa，所以12nnbb因为11a，且12141aaa，所以21314aa 所以12122baa故数列 nb是首项为2，公比为2的等比数列 解：解：（）由（）可知2nnb，则211log33nncbn（n*N）1 22 33 41nnnTc cc cc cc c11114 55 66 7(3)(4)nn 1144n4(4)nn小结与拓展：裂项相消法是小结与拓展：裂项相消法是把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。它适用于其中是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无1nnaacna理数列、含阶乘的数列等。4.4.数列求和的方法（数列求和的方法（2 2）（5 5）错位相减法：）错位相减法：适用于差比数列（如果等差，等比，那么叫做 na nbnna b差比数列）即把每一项都乘以的公比，向后错一项，再对应同次项相减，转 nbq化为等比数列求和。如：等比数列的前 n 项和就是用此法推导的.（6 6）累加（乘）法）累加（乘）法（7 7）并项求和法：）并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求。5.5.典型例题分析典型例题分析【题型题型 4】4】错位相减法错位相减法例例 4 4 求数列前 n 项的和.,22,26,24,2232nn文科数学 数列专篇 复习资料第 8 页 共 15 页解：解：由题可知的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积nn22n21设 nnnS2226242232 （设制错位）14322226242221 nnnS得（错位相减）1432222222222222)211(nnnnS 1122212nnn 1224nnnS【题型题型 5】5】并项求和法并项求和法例例 5 5 求10029929829722212100S解：解：10029929829722212(100 99)(9897)(21)100S5050.6.6.归纳与总结归纳与总结以上一个 8 种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。3、数列的通项公式数列的通项公式1.1.数列的通项公式数列的通项公式一个数列an的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式 anf(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式2.2.通项公式的求法（通项公式的求法（1 1）（1 1）定义法与观察法（合情推理：不完全归纳法）：）定义法与观察法（合情推理：不完全归纳法）：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目；有的数列可以根据前几项观察出通项公式。（2 2）公式法：）公式法：在数列an中，前 n 项和 Sn与通项 an的关系为：(数列的前 n 项的和为)Nn,2()1(111nSSnSaannnna).12nnsaaa文科数学 数列专篇 复习资料第 9 页 共 15 页（3 3）周期数列）周期数列由递推式计算出前几项，寻找周期。（4 4）由递推式求数列通项）由递推式求数列通项类型类型 1 1 递推公式为)(1nfaann解法：解法：把原递推公式转化为，利用累加法累加法(逐差相加法逐差相加法)求解。)(1nfaann类型类型 2 2 （1）递推公式为nnanfa)(1解法：解法：把原递推公式转化为，利用累乘法累乘法(逐商相乘法逐商相乘法)求解。)(1nfaann（2）由和确定的递推数列的通项可如下求得：nnanfa)(11a na由已知递推式有，依次1)1(nnanfa21)2(nnanfa12)1(afa 向前代入，得，这就是叠（迭）代法叠（迭）代法的基本模式。1)1()2()1(afnfnfan 类型类型 3 3 递推公式为（其中 p，q 均为常数，）。qpaann1)0)1(ppq解法：解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法换元法转)(1taptannpqt1化为等比数列求解。3.3.典型例题分析典型例题分析【题型题型 1】1】周期数列周期数列例例 1 1 若数列满足，若，则=_。na)121(,12)210(,21nnnnnaaaaa761a20a答案：答案：。75小结与拓展：小结与拓展：由递推式计算出前几项，寻找周期。【题型题型 2】2】递推公式为递推公式为，求通项，求通项)(1nfaann文科数学 数列专篇 复习资料第 10 页 共 15 页例例 2 2 已知数列满足，求。na211annaann211na解：解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分别令，代入上式得个等式累加之，即)1(,3,2,1 nn)1(n)()()()(1342312 nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn 所以naan111，211annan1231121小结与拓展：小结与拓展：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.【题型题型 3】3】递推公式为递推公式为，求通项，求通项nnanfa)(1例例 3 3 已知数列满足，求。na321annanna11na解：解：由条件知，分别令，代入上式得个等11nnaann)1(,3,2,1 nn)1(n式累乘之，即1342312 nnaaaaaaaann 1433221 naan11又，321anan32小结与拓展：小结与拓展：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.【题型题型 4】4】递推公式为递推公式为（其中（其中 p p，q q 均为常数，均为常数，qpaann1），求通项，求通项)0)1(ppq例例 4 4 在数列中，当时，有，求的通项公式。na11a 2n 132nnaana文科数学 数列专篇 复习资料第 11 页 共 15 页解法解法 1 1：设，即有，对比，得13()nnamam132nnaam132nnaa，于是得，数列是以为首项，以 3 为公比1m 113(1)nnaa 1na 112a 的等比数列，所以有。12 31nna解法解法 2 2：由已知递推式，得，上述两式相减，得1132,32,(2)nnnnaaaan，因此，数列是以为首项，以 3 为公113()nnnnaaaa1nnaa214aa比的等比数列。所以，即，所以114 3nnnaa1324 3nnnaa。12 31nna小结与拓展：小结与拓展：此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设，展开整理，比较系数有，1()nnamp am1nnapapmmpmmb所以，所以是等比数列，公比为，首项为。二是用1bmp1nbapp11bap做差法直接构造，两式相减有1nnapaq1nnapaq，所以是公比为的等比数列。也可用“归纳猜11()nnnnaap aa1nnaap想证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型.4.4.通项公式的求法（通项公式的求法（2 2）（5 5）构造法 构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.1 1）构造等差数列或等比数列）构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.2 2）构造差式与和式）构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.3 3）构造商式与积式）构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.4 4）构造对数式或倒数式）构造对数式或倒数式文科数学 数列专篇 复习资料第 12 页 共 15 页有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.四、典型例题分析四、典型例题分析【题型题型 5】构造法：构造法：1）构造等差数列或等比数列）构造等差数列或等比数列例例 5 5 设各项均为正数的数列的前 n 项和为，对于任意正整数 n，都有等式：nanS成立，求的通项.nnnSaa422 nana解：解：，nnnSaa422112142nnnSaa nnnnnnnaSSaaaa4)(42211212，.即是以 2 为0)2)(11nnnnaaaa01nnaa21nnaa na公差的等差数列，且.24211121aaaannan2)1(22小结与拓展：小结与拓展：由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.【题型题型 6】6】构造法：构造法：2 2）构造差式与和式）构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式。例例 6 6 设是首项为 1 的正项数列，且，（nN*），求 na01212nnnnnanaaa数列的通项公式 an.解：解：由题设得.0)(11naaaannnn，.0na01na01nnaanaann12)1(321)()()(123121nnnaaaaaaaannn【题型题型 7】7】构造法：构造法：3 3）构造商式与积式）构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.例例 7 7 数列中，前 n 项的和，求.na211annanS21na解：解：1221221)1()1()1(nnnnnnnananananSSa ，111nnaann112211aaaaaaaannnnn)1(12131211nnnnnn文科数学 数列专篇 复习资料第 13 页 共 15 页)2)(1(11nnan【题型题型 8】8】构造法：构造法：4 4）构造对数式或倒数式）构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.例例 8 8 设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.na11a212nnaa na解：解：两边取对数得：，设，122log21lognnaa)1(log21log122nnaa1log2nanb则12nnbb是以 2 为公比的等比数列，.nb11log121b，11221nnnb1221lognan12log12nan1212nna数数 列列 选选 填填 题（高考题）题（高考题）1、(2014 年高考重庆卷 文 2)在等差数列中，则（）na12a 3510aa7a A.5 B.8 C.10 D.141、解：数列是等差，选 B.na3510aa45a 74128aaa2、(2014 年高考天津卷 文 5)设是首项为，公差为的等差数列，为其前 n 项和，若 na1a1nS成等比数列，则（）124SSS，1aA.2 B.2 C.D.21212、解：是首项为，公差为的等差数列，为其前 n 项和，na1a1nS又成等比数列，即124SSS，212()aa1a1234()aaaa21(21)a，1a1(46)a 解得，选 D1a 21 3、(2014 年高考新课标 2 卷 文 5)等差数列的公差为 2，若，成等比数列，则 na2a4a8a文科数学 数列专篇 复习资料第 14 页 共 15 页的前 n 项（）nanS A.B.C.D.1n n1n n12n n12n n3、解：等差数列的公差为 2，且，成等比数列，na2a4a8a24a2a8a即，解得，则，选 A21(6)a 1(2)a 1(14)a 12a 2nan4、(2014 年高考全国卷 文 8).设等比数列的前 n 项和为，若，则nanS23S 415S（）6S A31 B32 C63 D644、解：由等比数列的前 n 项和的性质得：，成等比数列，nanS2S4S2S6S4S即 3，12，15 成等比数列，123(15)，解得：63，选 C6S26S6S5、(2014 年高考辽宁卷 文 9).设等差数列的公差为 d，若数列为递减数列，则（D na12na a）A B C D0d 0d 10a d 10a d 6、(2014 年高考江苏卷 文 7)在各项均为正数的等比数列中,则的值是 .na,12a4682aaa6a 7、(2014 年高考江西卷 文 13)在等差数列中，公差为，前项和为，当且 na17a dnnS仅当 时取最大值，则的取值范围_.8n nSd文科数学 数列专篇 复习资料第 15 页 共 15 页7、解：因为，当且仅当时取最大值，可知且同时满足170a 8n nS0d，解得，答案890,0aa89770780adad718d 718d 8、(2014 年高考广东卷 文 13).等比数列 na的各项均为正数，且154a a，则 2122232425log+log+log+log+log=aaaaa_.212223242525242322212152:5:logloglogloglog,logloglogloglog,25log()5log 410,5.SaaaaaSaaaaaSa aS答案提示设则