2018年上海市青浦区高三二模数学卷(含答案).pdf

高三数学 第 1 页 共 8 页主视图左视图俯视图（第 7 题图）青浦区青浦区 20182018 届高三年级第二次学业质量调研测试届高三年级第二次学业质量调研测试 数学试卷2018.04（满分 150 分，答题时间 120 分钟）一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）考生应在答题纸分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果的相应位置直接填写结果1不等式的解集为_|3|2x2若复数满足（是虚数单位），则_ z231 5iz iz3若，则_ 1sin3cos24已知两个不同向量，若，则实数_(1,)OAm(1,2)OBm OAAB m 5在等比数列中，公比，前项和为，若，则 na2q nnS51S 10S6若满足则的最小值为_,x y2,10,20,xxyxy 2zxy7如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为 的正方形，1俯视图是一个直径为 的圆，那么这个圆柱的体积为1_ 8展开式中的系数为_ 621(1)(1)xx2x9高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、，A7834512这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得个的概率是 2A10已知是定义在上的奇函数，当时，函数()f x 2,2(0,2x()21xf x.如果对于任意的，总存在，使得，2()2g xxxm1 2,2x 2 2,2x 12()()f xg x则实数的取值范围是 .m11已知曲线，直线，若对于点，存在上的点和 上的29Cyx：2ly：(0,)AmCPl高三数学 第 2 页 共 8 页点，使得，则取值范围是 Q0APAQ m12已知，则的取值范围是 22s1(,0)cos1aa inMaaaaRM二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13设是两个不同的平面，是直线且则“”是“”的（）,bbb（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件14若已知极限，则的值为（）sinlim0nnn3sinlimsin2nnnnn（A）（B）（C）（D）33211215已知函数是上的偶函数，对于任意都有成立，当()f xRxR(6)()(3)f xf xf，且时，都有给出以下三个命题：12,0,3x x 12xx1212()()0f xf xxx直线是函数图像的一条对称轴；6x ()f x函数在区间上为增函数；()f x9,6函数在区间上有五个零点()f x9,9问：以上命题中正确的个数有（）（A）个（B）个（C）个（D）个012316如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形.去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星.设正八角星的中心为O，并且若将点O到正八角星个顶点的向量都写12,OAe OBe 16成的形式，则的取值范围为（12eeR，、）（A）（B）2 2,22 2,12（C）（D）12,12 12,2 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）分）解答下列各题必须解答下列各题必须在答题在答题纸的相应位置写出必要的步骤纸的相应位置写出必要的步骤e2e1BAO（第 16 题图）高三数学 第 3 页 共 8 页17（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）如图，在正四棱锥中，分别为，的中点PABCD2 2PAABEFPBPD（1）求正四棱锥的全面积；PABCD（2）若平面与棱交于点，求平面与AEFPCMAEMF平面所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）ABCD18（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）已知向量，设函数(cos,1)2xm 2(3sin,cos)22xxn()1f xm n（1）若，求的值；0,2x11()10f x x（2）在中，角，的对边分别是且满足求的取值ABCABCcba,2 cos23,bAca()f B范围19（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）已知椭圆的一个顶点坐标为，且长轴长是短轴长的两倍2222C1(0)xyabab：(2,0)A（1）求椭圆的方程；C（2）过点且斜率存在的直线交椭圆于，关于轴的对称点为，求证：直线(1,0)DGH、GxG恒过定点G H4,020.(20.(本题满分本题满分 1616 分）本题共分）本题共 3 3 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（分，第（3 3）小题）小题 6 6 分分.设函数2()5f xaxaxR（1）求函数的零点；（2）当时，求证：在区间上单调递减；3a()f x,1 高三数学 第 4 页 共 8 页（3）若对任意的正实数，总存在，使得，求实数的取值范围a01,2x 0()f xmm21.(21.(本题满分本题满分 1818 分）本题共分）本题共 3 3 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（分，第（3 3）小题）小题 8 8 分分.给定数列，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”na na.（1）已知数列的通项公式为，试判断是否为封闭数列，并说明理由；na3nna na（2）已知数列满足且，设是该数列的前项和，试问：是 na122nnnaaa212 aanS nan否存在这样的“封闭数列”，使得对任意都有，且，若存 nan*N0nS12111111818nSSS在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由；na1a（3）证明等差数列成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数，使 na1m 1amd青浦区青浦区 20172017 学年高三年级第二次学业质量调研测试学年高三年级第二次学业质量调研测试数学参考答案及评分标准参考答案及评分标准 2018.04一一.填空题（本大题满分填空题（本大题满分 5454 分）本大题共有分）本大题共有 1212 题，题，1-61-6 每题每题 4 4 分，分，7-127-12 每题每题 5 5 分考生应在答题纸相应编分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果号的空格内直接填写结果.1或；2；3；4；15xx(1,5)52i21315；6；7；8；33124309.；10.；11；12.1511925m 1,12474733M二二.选择题（本大题满分选择题（本大题满分 2020 分）本大题共有分）本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分.13.；14.；15 ；16.ADBC三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）分）解答下列各题必须解答下列各题必须在答题在答题纸的相应位置写出必要的步骤纸的相应位置写出必要的步骤高三数学 第 5 页 共 8 页17（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）解：（1）因为正四棱锥，取中点，连接，PABCDABGPG2 2PAAB6PG21=(2 2)42 2688 32SSS 侧全底（2）连接，连接，记，因为，两两互相垂直，如图建立空间直角ACBDACBDOOAOBOP坐标系因为，所以Oxyz-2 2PBABRtRtPOBAOB所以2OAOP所以，(2,0,0)A(0,2,0)B(2,0,0)C(0,2,0)D(0,0,2)P(0,1,1)E(0,1,1)F所以，(2,1,1)AE (2,1,1)AF 设平面的法向量为，所以即AEMF(,)nx y z0,0,n AEn AF 20,20.xyzxyz所以令，所以0y 1x 2z(1,0,2)n 因为平面平面的一个法向量为ABCD(0,0,1)m 设与的夹角为，mn22 5cos515m nmn 2 5arccos5所以平面与平面所成锐二面角的大小是AEMFABCD2 5arccos518（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）解：（1）231 cos()3sincoscos1sin122222xxxxf xx 3111sincossin()22262xxx113()sin();0,10652f xxx又33arcsinarcsin6565xx（2）由 ACABacAbsin3sin2cossin232cos2得2sincos2sin()3sinBAABA高三数学 第 6 页 共 8 页2sincos2sincoscossin)3sinBAABABA32sincos3sincos(0,26ABABB111sin()(,0,()sin()()(0,62622Bf BBf B 即19（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）解：（1）因为椭圆的一个顶点坐标为，即2222C1(0)xyabab：(2,0)A2a 又长轴长是短轴长的两倍，即，241abb所以椭圆方程；2214xy（2）解一：设直线 GH 的方程为,点 则(1)yk x1122,x yxyG（）,H()11,xyG(）联立方程组 222222(1)(14)844044yk xykxk xkxy消去可得由韦达定理可得 22121222844,1414kkxxx xkk直线211121(),yyyyxxxx，GH：211212211121214()4(4)=yyy xx yyyxyyxxxxx 当时，2222121221218445285()281414=kkkkxxx xkkxxxx 222221408881414=0kkkkkxx所以直线则过定点（4,0）H G20.(20.(本题满分本题满分 1616 分）本题共分）本题共 3 3 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（分，第（3 3）小题）小题 6 6 分分.解：（1）当时，函数的零点为；0a 25x 高三数学 第 7 页 共 8 页 当时，函数的零点是；2508aa 且52582axa当时，函数无零点；258a （2）当时，令3a 2()3+5f xxx2()3+5g xxx任取，且，12,(,1)x x 12xx则211212121212()2322()()3535xxx xg xg xxxxxx x 因为，所以，从而12xx12,(,1)x x 210 xx121x x 211212()230 xxx xx x即故在区间上的单调递减1212()()0()()g xg xg xg x()g x,1 当时，,1x ()6,g x 22()3+5=3+5()f xxxg xxx即当时，在区间上单调递减；3a()f x,1（3）对任意的正实数，存在使得，即，a01,2x 0()f xm0max()f xm当时，0,x252585,022()+5252585,2aaxxxaf xaxxaaxxxa即在区间上单调递减，在区间上单调递增；()f x52580,2aa52582aa，所以，0max()max(1),(2)max 7,62f xffaa又由于，所以0a 8max 7,623aa83m 21.(21.(本题满分本题满分 1818 分）本题共分）本题共 3 3 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（分，第（3 3）小题）小题 8 8 分分.解：（1）不是封闭数列 na高三数学 第 8 页 共 8 页因为取，则，即从而，所1,2nn123912aa233123123,maam*N 12naaa以不是封闭数列；na（2）因为，所以是等差数列，又，所以，122nnnaaa na212 aa121naan若是“封闭数列”，所以对任意，必存在，使得 na,s t*Np*N，即，故是偶数，又对任意都111212121asatap121apst 1an*N有，且，所以，故，故可取的值为 0nS12111111818nSSS11111818S118811a1a2,4,6经检验得：或；41a61a（3）证明：（必要性）任取等差数列的两项，若存在，使，则,()sta a stkastkaaa，故存在，使1112(2)(1)(1)astdakdakstd 1mkst Z1amd下面证明1m 当时，显然成立 0d 当时，若时则取，对不同的两项，存在，使，即0d 1m 2pm 1,pa aqa1pqaaa，这与矛盾，故存在整数，使 2(1)(1)0mdmdmdqdqd 0,0qd1m 1amd（充分性）若存在整数，使，则任取等差数列的两项，于是1m 1amd,()sta a st，由于111+(1)(1)(1)(1)staaasdatdasdmdtd11(2)s m tasmtda ，为正整数，即证毕3,1stm 1stm 1s m tnaa