2017年高考江苏数学试题及答案(word解析版)(2).pdf

12017 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 I一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分 请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上（1）【2017 年江苏，1，5 分】已知集合，若，则实数的值为_21A，23,Ba a1AB a【答案】1【解析】集合，或，解得21A，23,Ba a1AB 1a 231a 1a【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用（2）【2017 年江苏，2，5 分】已知复数，其中 是虚数单位，则的模是_1i 12iz iz【答案】10【解析】复数，1i 12i123i13iz 221310z【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题（3）【2017 年江苏，3，5 分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件【答案】18【解析】产品总数为件，而抽取 60 辆进行检验，抽样比例为，则应从20040030010010006061000100丙种型号的产品中抽取件630018100【点评】本题的考点是分层抽样分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取（4）【2017 年江苏，4，5 分】如图是一个算法流程图：若输入的值为，则输出的值是x116y_【答案】2【解析】初始值，不满足，所以116x 1x 41216222log2log2y 【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于 基础题（5）【2017 年江苏，5，5 分】若则_1tan46tan【答案】75【解析】，解得tantantan114tan4tan161tantan46tan6tan17tan5【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题（6）【2017 年江苏，6，5 分】如如图，在圆柱内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均12OO相切。记圆柱的体积为，球 O 的体积为，则的值是_12OO1V2V12VV【答案】322【解析】设球的半径为 R，则球的体积为：，圆柱的体积为：则343R2322RRR313223423VRRV【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力（7）【2017 年江苏，7，5 分】记函数 的定义域为 D在区间上随机取一个数，则2()6f xxx 4 5，xxD的概率是_【答案】59【解析】由得，得，则，则在区间上随机取一个数，则260 xx260 xx23x 23D ，4 5，xxD的概率325549P 【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出 D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键（8）【2017 年江苏，8，5 分】在平面直角坐标系中，双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别xoy2213xy交于点，其焦点是，则四边形的面积是_PQ1F2F12FPF Q【答案】2 3【解析】双曲线的右准线：，双曲线渐近线方程为：，所以，2213xy32x 33yx33,22P，33,22Q则四边形的面积是：12,0F 22,0F12FPF Q1432 32【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力（9）【2017 年江苏，9，5 分】等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，则 nannS374S 6634S _8a【答案】32【解析】设等比数列的公比为，na1q 374S 6634S 311714aqq6116314aqq解得，则114a 2q 7812324a【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（10）【2017 年江苏，10，5 分】某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买吨，运费为 6 万元/次，一年的x总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则的值是_4xx【答案】30【解析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=（万元）6009006442240 xxxx 当且仅当时取等号30 x【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题（11）【2017 年江苏，11，5 分】已知函数，其中是自然数对数的底数，若 312xxf xxxeee，则实数的取值范围是_2120f afaa3【答案】11,2【解析】函数的导数为：，可得在 R 312xxf xxxee 21132220 xxxxfxxeeee f x上递增；又，可得为奇函数，331220 xxxxfxf xxxeexxee f x则，即有，即有，解得2120f afa2211faf afa 221aa 112a【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题（12）【2017 年江苏，12，5 分】如图，在同一个平面内，向量，的模分别为 1，1，OA OB OC，与2OA 的夹角为，且，与的夹角为。若（），则OCtan7OB OC45OCmOAnOB ,m nR_mn【答案】3【解析】如图所示，建立直角坐标系由与的夹角为，且1,0AOA OCtan7，1cos5 27sin5 21 7,5 5C23cos45cossin25 （），24sin45sincos25 3 4,5 5BOCmOAnOB ,m nR，解得，则1355mn74055n74n 54m 3mn【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（13）【2017 年江苏，13，5 分】在平面直角坐标系中，点在圆上，xOy12 0A（-，）0 6B（，）P2250Oxy：若，则点的横坐标的取值范围是_20PA PB P【答案】5 2,1【解析】根据题意，设，则有，00,P xy220050 xy，2200000000000012,612612620PA PBxyxyxxyyxyxy 化为，即，表示直线以及直线下方的区域，00126300 xy 00250 xy250 xy联立，解可得或，由图得：点的横坐标的取值范围是22000050250 xyxy05x 01x P0 x5 2,1【点评】本题考查数量积运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于、的关系0 x0y式（14）【2017 年江苏，14，5 分】设是定义在 R 且周期为 1 的函数，在区间上，f x0,1，其中集合，则方程的解的个数是_ 2,xxf xx xDD*1,nx xnNnD lg0f xx【答案】8【解析】在区间上，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又是定义在 R0,1 2,xxf xx xDD f x上且周期为 1 的函数，在区间上，此时的图象与有且只1,2 21,1,xxf xxxDD f xlgyx4有一个交点；同理：区间上，的图象与有且只有一个交点；区间上，的图2,3 f xlgyx3,4 f x象与有且只有一个交点；区间上，的图象与有且只有一个交点；区间lgyx4,5 f xlgyx上，的图象与有且只有一个交点；区间上，的图象与有且只有5,6 f xlgyx6,7 f xlgyx一个交点；区间上，的图象与有且只有一个交点；区间上，的图象与7,8 f xlgyx8,9 f x有且只有一个交点；在区间上，的图象与无交点；故的图象与lgyx9 ，f xlgyx f x有 8 个交点；即方程的解的个数是 8lgyx lg0f xx【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤过程或演算步骤（15）【2017 年江苏，15，14 分】如图，在三棱锥中，ABCD，ABADBCBD平面平面，点 E、F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且ABD BCDEFAD （1）；/EFABC平面 （2）ADAC解：（1）在平面内，因为，所以又因为平ABDABADEFADEFAB/EF 面，平面，所以ABCAB ABC/EFABC平面（2）因为平面，平面平面，ABDBCD 平面ABDBCDBD平面 BCD，所以平面因为平面，所以又BC BCBDBC ABDAD ABDBCAD，平面，平面，所以平面，ABADBCABBAB ABCBC ABCAD ABC又因为平面，所以AC ABCADAC【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题（16）【2017 年江苏，16，14 分】已知向量，cossinxxa3,3b0,x （1）若，求 x 的值；/ab （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值 f x a b f xx解：（1）因为，所以若，则，co()s,sinxxa(3,3)b/ab3cos3sinxxcos0 x sin0 x 与矛盾，故于是又，所以22sincos1xxcos0 x 3tan3x 0,x56x（2）(cos,sin)(3,3)3cos3sin2 3cos()6f xxxxxxa b因为，所以，从而于是，当，即时，0,x 7,666x 31cos()62x 66x 0 x 取到最大值 3；当，即时，取到最小值 f x6x 56x f x2 3【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题（17）【2017 年江苏，17，14 分】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、xOy12222xy+=abab:0E右焦点分别为，离心率为，两准线之间的距离为 8点在椭圆 E 上，且位F12F12P于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线F11PF1l2F2PF2l （1）求椭圆 E 的标准方程；5 （2）若直线 l1，l2的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标，解：（1）设椭圆的半焦距为 c 因为椭圆 E 的离心率为，两准线之间的距离为 8，所以，1212ca，解得，于是，因此椭圆 E 的标准方程是228ac2,1ac223bac22143xy（2）解法一：由（1）知，设，因为点为第一象限的点，故1(1,0)F 2(1,0)F00(,)P xyP000,0 xy当时，与相交于，与题设不符01x 2l1l1F当时，直线的斜率为，直线的斜率为因为，所以直线01x 1PF001yx 2PF001yx 11lPF22lPF的斜率为，直线的斜率为，从而直线的方程：，1l001xy2l001xy1l001(1)xyxy 直线的方程：由，解得，所以2l001(1)xyxy 20001,xxxyy 20001(,)xQxy因为点在椭圆上，由对称性，得，即或Q20001xyy 22001xy22001xy又在椭圆 E 上，故由，解得；P2200143xy220022001143xyxy004 73 7,77xy ，无解因此点 P 的坐标为220022001143xyxy4 7 3 7(,)77解法二：设，由在第一象限，则，,P m nP0m 0n 当时，不存在，解得：与重合，不满足题意，1m 2PFkQ1F当时，由，则，1m 21PFnkm11PFnkm11lPF22lPF11lmkn 21lmkn 直线的方程，直线的方程，1l11myxn 2l11myxn 联立解得：，则，由在椭圆方程，由对称性可得：，即xm 21,mQmnQ221mnn，221mn或，由，在椭圆方程，解得：，或，无解，221mn,P m n22221143mnmn 2216797mn22221143mnmn又在第一象限，所以的坐标为：PP4 7 3 7,77P【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题（18）【2017 年江苏，18，16 分】如如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为 32cm，容器的底面对角线6AC 的长为cm，容器的两底面对角线 EG，的长分别为 14cm 和 62cm 分别在容器和容10 711E G器中注入水，水深均为 12cm 现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将 l 放在容器中，l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱上，1CC求 l 没入水中部分的长度；（2）将 l 放在容器中，l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG1上，求 l 没入水中部分的长度解：（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，1CCABCD11A ACCABCD1CCAC记玻璃棒的另一端落在上点处因为，所以，1CCM10 7,40ACAM2240(10 7)30MC 从而，记与水面的焦点为，过作，为垂足，3sin4MAC AM1P1P11PQAC1Q则平面，故，从而11PQ ABCD1112PQ 11116sinAPMPQAC玻璃棒 没入水中部分的长度为 16cml（2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心由正棱台的定义，平面，所以平面1OO EFGH11E EGG 平面，同理，平面平面，记玻璃棒的另一端落在EFGH1OOEG11E EGG 1111E FG H111OOE G上点 N 处过 G 作，K 为垂足，则因为，1GG1GKE G132GKOO 14EG 11 62E G 所以，从而 16214242KG222211 243240GGKGGK设，则1,EGGENG114sinsin()cos25KGGKGG因为，所以在中，由正弦定理可得2 3cos5 ENG，4014sinsin解得 因为，所以7sin250224cos25于是42473sinsin()sin()sinco3scossin()5252555NEG 记 EN 与水面的交点为 P2，过 P2作，Q2为垂足，则平面 EFGH，故，22PQEG22PQ 2212PQ 从而 玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20cm22220sinNEPQEPG【点评】本题考查玻璃棒 没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知l识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题（19）【2017 年江苏，19，16 分】对于给定的正整数，若数列满足k na111nknknnaaaa 对任意正整数总成立，则称数列是“数列”1n ka2n knakan nk na P k （1）证明：等差数列是“数列”；na 3P （2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列 na 2P 3P na解：（1）因为是等差数列，设其公差为，则，nad1(1)naand从而，当时，n 4n kn kaaa11(1)(1)nkdankd122(1)2nanda1,2,3,k 所以，因此等差数列是“数列”nnnnnnnaaaaaaa321123+6 na P 37（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，na P 2 P 3当时，当时，3n nnnnnaaaaa211244n nnnnnnnaaaaaaa3211236由知，nnnaaa32141()nnaannnaaa23141()nnaa将代入，得，其中，所以是等差数列，设其公差为nnnaaa1124n 345,a a a d在中，取，则，所以，4n 235644aaaaa23aad在中，取，则，所以，所以数列是等差数列3n 124534aaaaa122aadna【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题（20）【2017 年江苏，20，16 分】已知函数有极值，且导函数的极值 3210,f xxaxbxabR fx点是的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）f x （1）求关于的函数关系式，并写出定义域；ba （2）证明：；23ba（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求 a 的取值范围 f x fx72解：（1）由，得当时，有极小值32()1f xxaxbx222()323()33aafxxaxbxb3ax ()f x23ab 因为的极值点是的零点所以，又，故()f x()f x33()1032793aaaabf 0a 2239aba因为有极值，故有实根，从而，即()f x=0fx231(27a)039aba3a 时，故在 R 上是增函数，没有极值；3a()0(1)f xx()f x()f x时，有两个相异的实根，3a()=0fx213=3aabx 223=3aabx 列表如下：x1(,)x1x12(,)x x2x2(,)x()f x+00+()f xA极大值A极小值A故的极值点是从而，因此，定义域为()f x12,x x3a 2239aba(3,)（2）由（1）知，设，则23=9ba aaa a23()=9tg tt22223227()=99tg ttt当时，从而在上单调递增3 6(,)2t()0g t()g t3 6(,)2因为，所以，故，即因此3a 3 3a a()(3 3)=3g a ag 3ba23ba（3）由（1）知，的极值点是，且，()f x12,x x1223xxa 22212469abxx从而323212111222()()11f xf xxaxbxxaxbx 2222121122121212(32)(32)()()23333xxxaxbxaxba xxb xx346420279aabab8记，所有极值之和为，因为的极值为，所以，()f x()f x()h a()f x221339abaa 213()=9h aaa3a 因为，于是在上单调递减因为，于是，故223()=09h aaa()h a(3,)7(6)=2h()(6)h ah6a 因此 a 的取值范围为(36，【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题数学数学21【选做题选做题】本题包括本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤（21-A）【2017 年江苏，21-A，10 分】（选修 4-1：几何证明选讲）如图，为半圆的直径，ABO 直线 PC 切半圆 O 于点 C，P 为垂足APPC求证：（1）；PACCAB（2）。2ACAP AB解：（1）因为切半圆 O 于点 C，所以，因为为半圆 O 的直径，PCPCACBAAB所以，因为 APPC，所以，所以90ACB 90APC PACCAB（2）由（1）知，故，所以APCACBAPACACAB2ACAP AB【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（21-B）【2017 年江苏，21-B，10 分】（选修 4-2：矩阵与变换）已知矩阵，0110A1002B（1）求；AB（2）若曲线 C1；在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线，求的方程22y=182xAB2C2C解：（1）因为，所以0110A1002B011002100210AB（2）设为曲线上的任意一点，它在矩阵 AB 对应的变换作用下变为，00(,)Q xy1C(,)P x y则，即，所以因为在曲线上，所以，000210 xxyy 002yxxy002xyxy00(,)Q xy1C2200188xy从而，即因此曲线在矩阵 AB 对应的变换作用下得到曲22188xy228xy1C线2C：228xy【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题（21-C）【2017 年江苏，21-C，10 分】（选修 4-4：坐标系与参数方程）在平面坐标系中中，已知直线 的xOyl参考方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）。设为曲线上的82xtty tC222 2xsys spC动点，求点到直线 的距离的最小值Pl解：直线 的普通方程为因为点在曲线上，设，l280 xyPC2(2,2 2)Pss9从而点到直线 的的距离，当时，Pl2222|24 28|2(2)45(1)(2)sssd 2s min4 55d因此当点的坐标为时，曲线上点到直线 的距离取到最小值P4,4CPl4 55【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题（21-D）【2017 年江苏，21-D】（本小题满分 10 分）（选修 4-5：不等式选讲）已知为实数，且,a b c d，224ab，证明2216cd8acbd解：由柯西不等式可得：，因为所以，22222()()()acbdabcd22224,16,abcd2()64acbd因此8acbd【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题【必做题必做题】第第 22、23 题，每小题题，每小题 10 分，计分，计 20 分请把答案写在答题卡的指定区域内分请把答案写在答题卡的指定区域内（22）【2017 年江苏，22，10 分】如图，在平行六面体中，平面1111ABCDABC D1AA，且，ABCD2ABAD13AA 120BAD（1）求异面直线与所成角的余弦值；1AB1AC（2）求二面角的正弦值1BADA解：在平面内，过点 A 作，交 BC 于点 E因为平面，ABCDAEAD1AA ABCD所以，如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系1AAAE1AAAD1,AE AD AA Axyz，则2ABAD13AA 120BAD11(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(3,0,0),(0,0,3),(3,1,3)ABDEAC（1），11(3,1,3),(3,1,3)ABAC 则111111(3,1,3)(3,1,3)1cos,77|AB ACAB ACABAC 因此异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值为17（2）平面的一个法向量为设为平面的一个法向1ADA(3,0,0)AE (,)x y zm1BAD量，又，则即1(3,1,3),(3,3,0)ABBD 10,0,ABBD mm330,330.xyzxy不妨取，则，所以为平面的一个法向量，3x 3,2yz(3,3,2)m1BAD从而，设二面角的大小为，则(3,0,0)(3,3,2)3cos,4|34AEAEAE mmm1BADA3|cos|4因为，所以因此二面角的正弦值为，0,27sin1cos41BADA74【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题（23）【2017 年江苏，23，10 分】已知一个口袋有个白球，个黑球（，），这些球除颜色外mn2,m nN2n 全部相同。现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中12 3mn，第次取球放入编号为的抽屉（）kk12 3kmn，123mn（1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率；p10（2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，是的数学期望，证明x E xx 1nE xmnn解：（1）编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率为:p11C Cnm nnm nnpmn（2）随机变量 X 的概率分布为:X1n11n 12n 1k1mnP11CCnnnm n1CCnnnm n11CCnnnm n11CCnknm n11CCnn mnm n随机变量 X 的期望为：11C111(1)!()CC(1)!()!nm nm nknnk nk nm nm nkE Xkknkn所以1(2)!1(2)!()C(1)!()!(1)C(2)!()!m nm nnnk nk nm nm nkkE Xnknnnkn222121(1CCC)(1)Cnnnnnm nnm nn 12221121(CCCC)(1)Cnnnnnnnm nnm nn 12221(CCC)(1)Cnnnnnm nnm nn 12221(CC)(1)Cnnm nm nnm nn 11C(1)C()(1)nm nnm nnnmn n()()(1)nE Xmn n【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题