现代控制理论试卷及答案总结.pdf

2012 年现代控制理论考试试卷年现代控制理论考试试卷一、（10 分，每小题 1 分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，（）1.由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。（）2.若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。（）3.对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。（）4.对线性定常系统，其 Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵 AxAx的特征值都具有负实部是一致的。（）5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。（）6.对一个系统，只能选取一组状态变量；（）7.系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关；（）8.若传递函数存在零极相消，则对应的状态空间模型1()()G sC sIAB描述的系统是不能控且不能观的；（）9.若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；（）10.状态反馈不改变系统的能控性和能观性。二、已知下图电路，以电源电压 u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻 R2 上的电压为输出量的输出方程。（10 分）解：（1）由电路原理得：二（10 分）图为 R-L-C 电路，设 为控制量，电感上的支路电流和电容uLC 上的电压为状态变量，电容 C 上的电压为输出量，试求：网络的状态2x2x方程和输出方程，并绘制状态变量图。解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。以电感上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：，L12,Lcix ux由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：从上述两式可解出，即可得到状态空间表达式如下：1x2x=+21yy211212110RRRRRRR21xxuRRR2120三、（每小题 10 分共 40 分）基础题（1）试求的一个对角规范型的最小实现。（10 分）32yyyuu4 分232322()(1)(1)11111()2132(1)(2)2Y sssssssU ssssssssss 不妨令，2 分1()1()2X sU ss2()1()1XsU ss于是有又，所以，即有12()()()1()()()X sXsY sU sU sU s 12()()()()Y sU sX sXs2 分12yuxx最终的对角规范型实现为则系统的一个最小实现为：2 分201,1 1011u y xxx+u（2）已知系统，写出其对偶系统，判断该系统011,12232u y xxx的能控性及其对偶系统的能观性。（10 分）解答：2 分021132u xx2 分12y x（3）设系统为试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应（10 分）。解.3 分 200ttete.3 分 0()(0)()dttttuxxB .2 分2201010d1100ttttteeee .1 分220dttttteeee.1 分22211=111122ttttteeeee（4）已知系统试将其化为能控标准型。（10 分）uxx110011解：，.2 分1 21 0cu1112201cu.1 分1111221122010101cpu.1 分11112122221100pp A.2 分11221112211,1 1PP能控标准型为.4 分uxx101010四、设系统为试对系统进行能控性及能观测性分解，并求系统的传递函数。（10 分）解：能控性分解：能观测性分解：传递函数为4 520()(2)33g sss分五、试用李雅普诺夫第二法，判断系统的稳定性。（10 分）0111xx方法一：解：21xx 原点是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，=0ex即当，时，；当，时，因此为负01x02x0)(xv01x02x0)(xv)(xv半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。另选一个李雅普诺夫函数，例如：为正定，而为负定的，且当，有。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。x()V x 方法二：解：或设11122122ppPpp则由得TA PPAI 1112111212221222010110111101pppppppp可知 P 是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的六、（20 分）线性定常系统的传函为()4()(2)(1)Y ssU sss（1）实现状态反馈，将系统闭环的希望极点配置为，求反馈阵。4,3K（5 分）（2）试设计极点为全维状态观测器（5 分）。（-10,-10）（3）绘制带观测器的状态反馈闭环系统的状态变量图（4 分）（4）分析闭环前后系统的能控性和能观性（4 分）注明：由于实现是不唯一的，本题的答案不唯一！其中一种答案为：解：（1）2()44()(2)(1)32Y sssU sssss系统的能控标准型实现为：1 分010,41231XXu yX 系统完全可控，则可以任意配置极点1 分令状态反馈增益阵为1 分12Kkk则有，则状态反馈闭环特征多项式为210123ABKkk又期望的闭环极点给出的特征多项式为：2(4)(3)712ssss由可得到3 分2212(3)(2)712kkss410K（2）观测器的设计：由传递函数可知，原系统不存在零极点相消，系统状态完全能观，可以任意配置观测器的极点。1 分令1 分12TEee由观测器可得其期望的特征多项式为:()xAEC xBuEy4 分*1195()()33Tfsf sE（3）绘制闭环系统的模拟结构图第一种绘制方法：4 分s14s14s132s1u1xyy x21x1 x2 x104v5832234343223223（注：观测器输出端的加号和减号应去掉！不好意思，刚发现！）第二种绘制方法：（4）闭环前系统状态完全能控且能观，闭环后系统能控但不能观（因为状态反馈不改变系统的能控性，但闭环后存在零极点对消，所以系统状体不完全可观测）4 分A 卷一、判断题，判断下例各题的正误，正确的打，错误的打（每小题 1 分，共 10 分）1、状态方程表达了输入引起状态变化的运动，输出方程则表达了状态引起输出变化的变换过程（）2、对于给定的系统，状态变量个数和选择都不是唯一的（）3、连续系统离散化都没有精确离散化，但近似离散化方法比一般离散化方法的精度高（）4、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数（）5、若系统的传递函数存在零极点相消，则系统状态不完全能控（）6、状态的能空性是系统的一种结构特性,依赖于系统的结构,与系统的参数和控制变量作用的位置有关（）7、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系（）8、一个传递函数化为状态方程后，系统的能控能观性与所选择状态变量有关（）9、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，与输入无关（）10、若不能找到合适的李雅普诺夫函数，那么表明该系统是不稳定的（）二、已知系统的传递函数为试分别用以下方法写出系统的实现：（1）串联分解（2）并联分解（3）直接分解（4）能观测性规范型（20 分）解：对于有322103130sss（1）串联分解串联分解有多种，如果不将 2 分解为两个有理数的乘积，如，绘制该系统串联分解的结构图，然1284后每一个惯性环节的输出设为状态变量，则可得到系统四种典型的实现为：()iiksp则对应的状态空间表达式为：需要说明的是，当交换环节相乘的顺序时，对应地交换对应行之间对角线的元素！如的实现为：211(2)(3)(5)sss200213000150001XXuyXu 则的实现为：211(5)(3)(2)sss500213000120001XXuyXu 依次类推！（2）并联分解实现有无数种，若实现为只要满足112233123000000bXXbubycccXu例如：，则其实现可以为：32212133(2)(3)(5)103130ssssss（3）直接分解（4）能观测规范型三、给定一个二维连续时间线性定常自治系统。现知，对应于两个不同初态的状态响应分别,0 xxAt为试据此定出系统矩阵 A。（10 分）解：()(0)Atx te x可得四、已知系统的传递函数为（1）试确定 a 的取值，使系统成为不能控，或为不能观测；（2）在上述 a 的取值下，写出使系统为能控的状态空间表达式，判断系统的能观测性；（3）若，写出系统的一个最小实现。（15 分）3a 解：（1）因为因此当或或时，出现零极点对消现象，系统就成为不能控或不能观测的系统1a 2a 3a（2）可写系统的能控标准形实现为此问答案不唯一存在零极相消，系统不能观（3），则有3a 22()32G sss可写出能控标准形最小实现为此问答案不唯一，可有多种解五、已知系统的状态空间表达式为（1）判断系统的能控性与能观测性；（2）若不能控，试问能控的状态变量数为多少？（3）试将系统按能控性进行分解；（4）求系统的传递函数。（15 分）解：（1）系统的能控性矩阵为，0012CUbAbdet0,12CCUrankU 故系统的状态不能控系统的能观测性矩阵为，251910OcUcAdet1150,2COUrankU 故系统的状态不能观测 4 分（2），因此能控的状态变量数为 11 分1CrankU（3）由状态方程式可知是能控的，是不能控的 2 分2x1x（4）系统的传递函数为只与能控子系统有关 3 分112225()2G sc sIAbcsIAbs六、给定系统解李雅普诺夫方程，求使得系统渐近稳定的 a 值范围。（10 分）七、伺服电机的输入为电枢电压，输出是轴转角，其传递函数为（1）设计状态反馈控制器，使得闭环系统的极点为；uKxv 55j（2）设计全维状态观测器，观测器具有二重极点15；（3）将上述设计的反馈控制器和观测器结合，构成带观测器的反馈控制器，画出闭环系统的状态变量图；（4）求整个闭环系统的传递函数。（20 分）第 2 章题 A 卷第一题：判断题，判断下例各题的正误，正确的打，错误的打（每小题 1 分，共 10 分）11、状态方程表达了输入引起状态变化的运动，输出方程则表达了状态引起输出变化的变换过程（）12、对于给定的系统，状态变量个数和选择都不是唯一的（）13、连续系统离散化都没有精确离散化，但近似离散化方法比一般离散化方法的精度高（）14、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数（）15、若系统的传递函数存在零极点相消，则系统状态不完全能控（）16、状态的能空性是系统的一种结构特性,依赖于系统的结构,与系统的参数和控制变量作用的位置有关（）17、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系（）18、一个传递函数化为状态方程后，系统的能控能观性与所选择状态变量有关（）19、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，与输入无关（）20、若不能找到合适的李雅普诺夫函数，那么表明该系统是不稳定的（）第二题：已知系统的传递函数为,试分别用以下方法写出系统的实现：322()103132()()(56)(1)Y ssssG sU ssss（5）串联分解（4 分）（6）并联分解（4 分）（7）直接分解（4 分）（8）能观测性规范型（4 分）（9）绘制串联分解实现时系统的结构图（4 分）解：对于有32103130ssss（3）串联分解串联分解有三种对应32111111(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)103130111121113(1).(1).(1)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)sssssssssssssssssssssssss的状态方程为：（4）并联分解实现有无数种，其中之三为：（3）直接分解（4）能观测规范型（10）结构图第 2 章题 B 卷第一题：判断题，判断下例各题的正误，正确的打，错误的打（每小题 1 分，共 10 分）1、状态空间模型描述了输入-输出之间的行为,而且在任何初始条件下都能揭示系统的内部行为（）2、状态空间描述是对系统的一种完全的描述，而传递函数则只是对系统的一种外部描述（）3、任何采样周期下都可以通过近似离散化方法将连续时间系统离散化（）4、对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状态能控性不变（）5、系统状态的能控所关心的是系统的任意时刻的运动（）6、能观（能控）性问题可以转化为能控（能观）性问题来处理（）7、一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观的子系统（）8、一个系统的传递函数若有零、极点对消现象，则视状态变量的选择不同，系统或是不能控的或是不能观的（）9、对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数是唯一的（）10、若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的（）第二题：求以下 RLC 网络系统的状态空间模型,并绘制其结构图。取电压 e_i为输入，e_o为输出。其中R1、R2、C 和 L 为常数。第二题图答案:解：（状态变量可以另取）定义状态变量：x1为电阻两端电压 v，x2为通过电感的电流 i。输入 u 为 e_i，输出 y 为 e_o。使用基尔霍夫电流定理列 R1和 R2间节点的电流方程：使用基尔霍夫电压定理列出包含 C、R2、L 回路的电压方程：最后，输出电压的表达式为：得到状态空间模型：结构图为：第三题：如图所示，系统的输入量为 u1和 u2、输出量为 y 和请选择适当的状态变量，并写出系统的状态空间表达式，根据状态空间表达式求系统的闭环传递函数：第三题图解：状态变量如下图所示（3 分）从方框图中可以写出状态方程和输出方程（4）状态方程的矩阵向量形式：系统的传递函数为（3 分）：现代控制理论试题答案现代控制理论试题答案一、一、概念题概念题1、何为系统的能控性和能观性？何为系统的能控性和能观性？答：（答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量 u(t)，能在有限时间区间，能在有限时间区间t0,t1内将系统从初内将系统从初始状态始状态 x(t0)转移到任意终端状态转移到任意终端状态 x(t1)，那么就称此状态是能控的。，那么就称此状态是能控的。（2）对于线性定常系统，在任意给定的输入）对于线性定常系统，在任意给定的输入 u(t)下，能够根据输出量下，能够根据输出量 y(t)在有限时间区间在有限时间区间t0,t1内的测量值，内的测量值，唯一地确定系统在唯一地确定系统在 t0时刻的初始状态时刻的初始状态 x(t0)，就称系统在，就称系统在 t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。2、何为系统的最小实现？何为系统的最小实现？答：由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。在所有可能答：由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。的实现中，维数最小的实现称为最小实现。3、何为系统的渐近稳定性？何为系统的渐近稳定性？答：若答：若在时刻在时刻为李雅普若夫意义下的稳定，且存在不依赖于为李雅普若夫意义下的稳定，且存在不依赖于的实数的实数和任意给定的初和任意给定的初始状态始状态，使得，使得时，有时，有，则称，则称为李雅普若夫为李雅普若夫意义下的渐近稳定意义下的渐近稳定二、二、简答题简答题1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性质？、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性质？答：系统做线性变换后，不改变系统的能控性、能观性，系统特征值不变、传递函数不变答：系统做线性变换后，不改变系统的能控性、能观性，系统特征值不变、传递函数不变2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？答：方法答：方法 1：对：对 n 维线性定常连续系统，则系统的状态完全能控性的充分必要条件为：维线性定常连续系统，则系统的状态完全能控性的充分必要条件为：。方法方法 2：如果线性定常系统的系统矩阵：如果线性定常系统的系统矩阵 A 具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后线性非奇异变换后 A 阵变换成对角标准形，且阵变换成对角标准形，且 不包含元素全为不包含元素全为 0 的行的行线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵满秩。即：满秩。即：3、传递函数矩阵、传递函数矩阵的最小实现的最小实现 A、B、C 和和 D 的充要条件是什么？的充要条件是什么？答：充要条件是系统状态完全能控且完全能观测。答：充要条件是系统状态完全能控且完全能观测。4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？答：线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是系统完全能控。答：线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是系统完全能控。5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？答：线性定常连续系统状态观测器的存在条件是原系统完全能观。答：线性定常连续系统状态观测器的存在条件是原系统完全能观。三、三、计算题计算题1、RC 无源网络如图无源网络如图 1 所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，为系统的输入，选为系统的输入，选两端的电压两端的电压为状态变量为状态变量,两端的电压为状态变量两端的电压为状态变量,电压电压为为系统的输出为为系统的输出 y。解：由电路图可知：选,可得：=所以可以得到：2、计算下列状态空间描述的传递函数、计算下列状态空间描述的传递函数 g(s)解：运用公式可得：可得传递函数为：3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程：求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程：其中，采样周期为其中，采样周期为 T=2。解：先求出系统的.令,可得：X(k)+4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解和和解：计算算式为：所以：5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数 a 的取值范围：的取值范围：解：由于 A 无特定形式，用秩判据简单。图 1：RC 无源网络因此，不管 a 去何值都不能够联合完全能控和完全能观测6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即是否为大范围渐近稳定：是否为大范围渐近稳定：解：（1）选取李雅普若夫函数 V(x)，取，可知：V(0)=0,即为正定。（2）计算并判断其定号性。对取定和系统状态方程，计算得到：基此可知：即：为负半定。（3）判断。对此，只需判断的和不为系统状态方程的解。为此，将带入状态方程，导出：表明，状态方程的解只为，不是系统状态方程的解。通过类似分析也可以得证不是系统状态方程的解。基此，可知判断。（4）综合可知，对于给定非线性时不变系统，可构造李雅普若夫函数判断满足：V(x)为正定，为负定；对任意,当，有基此，并根据李雅普若夫方法渐近稳定性定理知：系统原点平衡状态为大范围渐近稳定。7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为试确定一个状态反馈矩阵试确定一个状态反馈矩阵 K，使闭环极点配置为，使闭环极点配置为,和和。解：可知，系统完全可控，可以用状态反馈进行任意极点配置。由于状态维数为 3 维。所以设。系统期望的特征多项式为：而令,二者相应系数相等。得：即：验证：A 卷二、基础题（每题 10 分）1、给定一个二维连续时间线性定常自治系统。现知，对应于两个不同初态的状态响应分别,0 xxAt为试据此定出系统矩阵 A。解：2 分()(0)Atx te x可得433331333333333153315312124444444431531131531122222222111244 12ttttttttAttttttttttttttttteeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 分4 分33003313131122441341322ttttAttttttteeeedeAdteeee2、设线性定常连续时间系统的状态方程为取采样周期，试将该连续系统的状态方程离散化。1Ts解：首先计算矩阵指数。采用拉氏变换法：3 分11112121021110.5 1(2)100(2)AIAtttseLsLsess sLes 进而计算离散时间系统的系数矩阵。将代入得2 分2210.5 10AGTTTeee 1Ts10.432300.1353AGTe3 分22002210.5 10100.50.250.250.50.51.07890.4323AHtTTttTTee dt BdteTee 故系统离散化状态方程为2 分 1122110.43231.0789100.13530.4323x kx ku kxkxk3、已知系统的传递函数为（1）试确定 a 的取值，使系统成为不能控，或为不能观测；（2）在上述 a 的取值下，写出使系统为能控的状态空间表达式，判断系统的能观测性；（3）若，写出系统的一个最小实现。（10 分）3a 解：（1）因为因此当或或时，出现零极点对消现象，系统就成为不能控或不能观测的系统 3 分1a 2a 3a（2）可写系统的能控标准形实现为此问答案不唯一3 分0100001061161xxu 220yax存在零极相消，系统不能观 1 分（3），则有3a 22()32G sss可写出能控标准形最小实现为此问答案不唯一，可有多种解 3 分三、已知系统的状态空间表达式为（1）判断系统的能控性与能观测性；（2）若不能控，试问能控的状态变量数为多少？（3）试将系统按能控性进行分解；（4）求系统的传递函数。（10 分）解：（1）系统的能控性矩阵为，0012CUbAbdet0,12CCUrankU 故系统的状态不能控系统的能观测性矩阵为，251910OcUcAdet1150,2COUrankU 故系统的状态不能观测 4 分（2），因此能控的状态变量数为 11 分1CrankU（3）由状态方程式可知是能控的，是不能控的 2 分2x1x（4）系统的传递函数为只与能控子系统有关 3 分112225()2G sc sIAbcsIAbsB 卷二、基础题（每题 10 分）1、给定一个连续时间线性定常系统，已知状态转移矩阵为()t试据此定出系统矩阵 A。解：2222002224()240213 tttttttttteeeedAtdteeee2、设线性定常连续时间系统的状态方程为取采样周期，试将该连续系统的状态方程离散化。1Ts解：首先计算矩阵指数。采用拉氏变换法：进而计算离散时间系统的系数矩阵。将代入得101AGTTe1Ts1101AGTe故系统离散化状态方程为3、已知系统的传递函数为试写出系统的能控标准形实现。（10 分）解：系统的能控标准形实现为三、试确定下列系统当 p 与 q 如何取值系统既能控又能观。（10 分）解：系统的能控性矩阵为其行列式为2det12bAbpp根据判定能控性的定理，若系统能控，则系统能控性矩阵的秩为 2，亦即行列式值不为 0，2det120bAbpp因此当时系统能控3,4p 系统能观测性矩阵为其行列式为根据判定能观性的定理，若系统能观，则系统能观性矩阵的秩为 2，亦即2det1210cqqcA 因此当时系统能观11,34q 综上可知，当，时系统既能控又能观3,4p 11,34q