高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习.pdf

第 1 页 共 23 页高高中中数数学学求求函函数数解解析析式式 解解题题方方法法大大全全及及配配套套练练习习一、一、定义法：定义法：根据函数的定义求解析式用定义法。【例例 1】设，求.23)1(2xxxf)(xf 2 1)1(3 1)1(23)1(22xxxxxf=6)1(5)1(2xx65)(2xxxf【例例 2】设，求.21)(xxxff)(xf解：设xxxxxxff111111121)(xxf11)(【例例 3】设，求.33221)1(,1)1(xxxxgxxxxf)(xgf解：2)(2)1(1)1(2222xxfxxxxxxf又xxxgxxxxxxxxg3)()1(3)1(1)1(3333故2962)3()(24623xxxxxxgf【例例 4】设.)(sin,17cos)(cosxfxxf求解：)2(17cos)2cos()(sinxxfxf.xxx17sin)172cos()1728cos(第 2 页 共 23 页二、二、待定系数法：（主要用于二次函数）待定系数法：（主要用于二次函数）已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式。它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。【例例 1】设是一次函数，且，求)(xf34)(xxff)(xf【解析解析】设 ，则baxxf)()0(ababxabbaxabxafxff2)()()(342baba3212baba或32)(12)(xxfxxf或【例例 2】已知二次函数 f（x）满足 f（0）=0，f（x+1）=f（x）+2x+8，求 f（x）的解析式.解：设二次函数 f（x）=ax2+bx+c，则 f（0）=c=0 f（x+1）=a+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b 2)1(x由 f（x+1）=f（x）+2x+8 与、得 解得 故 f（x）=x2+7x.822babba.7,1ba【例例 3】已知，求.1392)2(2xxxf)(xf解：显然，是一个一元二次函数。设)(xf)0()(2acbxaxxf则 cxbxaxf)2()2()2(2)24()4(2cbaxabax又1392)2(2xxxf比较系数得：解得：1324942cbaaba312cba32)(2xxxf第 3 页 共 23 页三、换元（或代换）法：三、换元（或代换）法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式用来处理不知()f g x()f x道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。如：已知复合函数 f g（x）的解析式，求原函数 f（x）的解析式，把 g（x）看成一个整体 t，进行换元，从而求出 f（x）的方法。实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.【例例 1】已知，求xxxf2)1()1(xf【解析解析】令，则，1xt1t2)1(txxxxf2)1(,1)1(2)1()(22ttttf 1)(2xxf)1(x xxxxf21)1()1(22)0(x【例例 2】已知求.,11)1(22xxxxxf)(xf解：设则则,1txx11txxxxxxxxftf11111)1()(2221)1()1(1111)11(11222tttttt1)(2xxxf【例例 3】设，求.xxf2cos)1(cos)(xf解：令又1cos,1costxxt0201cos2,1cos1txx即0,2,)1()()02(,)1()(22xxxftttf即【例例 4】若 xxxfxf1)1()(第 4 页 共 23 页（1）在（1）式中以代替得xx1xxxxxxxfxxf11)111()1(即 xxxfxxf12)11()1(（2）又以代替（1）式中的得：11xx12)()11(xxxfxf（3）)1(112121)(2:)2()3()1(23xxxxxxxxxxf得)1(21)(23xxxxxf【例例 5】设，求。)0,()1()()(ba，cbacxxbfxafxf且均不为其中满足)(xf解：cxxbfxaf)1()(（1）用来代替，得 x1xxcxbfxaf1)()1(（2）由xbcacxxfbaba222)()(:)2()1(得xbabcacxxfba)()(222【例例 6】已知，求.2)(21xafx)(xf解：设，则 即01xattxalog11logtxa代入已知等式中，得：3log2log2)1(log)(22ttttfaaa3log2log)(2xxxfaa第 5 页 共 23 页四、代入法：四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法【例例 1】已知：函数的图象关于点对称，求的解析式)(2xgyxxy与)3,2()(xg解解：设为上任一点，且为关于点的对称点),(yxM)(xgy),(yxM),(yxM)3,2(则，解得：，点在上 ，3222yyxxyyxx64),(yxM)(xgy xxy2把代入得：yyxx64)4()4(62xxy整理得，672xxy67)(2xxxg(五五)配凑法配凑法已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成()f g x()f x()f g x的运算形式时，常用配凑法但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定()g x()f x义域，而是的值域()g x【例例 1】：已知求的解析式。(1)2,fxxx()f x分析：可配凑成2xx 可用配凑法解：由2(1)2()1fxxxx 令1tx 01xt 则2()1f tt 即2()1(1)f xxx第 6 页 共 23 页当然，上例也可直接使用换元法令1tx则1tx得222(1)()(1)2(1)1xtf tttt即 2()1(1)f xxx由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。【例例 2】：已知求.2211(),f xxxx()f x分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。解析：由222111()()2f xxxxxx 令2110txxtxx 由即得0 240t tR 2()2f tt 即：2()2()f xxxR实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。和换元法一样，最后结果要注明定义域。(六六)构造方程组法（构造方程组法（消去法）消去法）。若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式构造方程组法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数混合运算，()f x则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。【例例 3】：设满足求的解析式。()f x1()2(),f xfxx()f x第 7 页 共 23 页分析：要求可消去,为此，可根据题中的条件再找一个关于与()f x1()fx()f x的等式，通过解方程组达到消元的目的。1()fx解析：1()2()f xfxx 显然，,将换成得0 x x1x .11()2()ff xxx由1()2()11()2()f xfxxff xxx消去，得1()fx12()33f xxx 小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如 f(x)、；互为相反1()fx数，如 f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得 f(x)的解析式。【例例 4】已知，求.2)(21xafx)(xf解：设，则 即01xattxalog11logtxa代入已知等式中，得：3log2log2)1(log)(22ttttfaaa3log2log)(2xxxfaa小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如 f(x)、；互为相反数，如1()fxf(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得 f(x)的解析式。第 8 页 共 23 页【例例 5】设为偶函数，为奇函数，又试求的)(xf)(xg,11)()(xxgxf)()(xgxf和解析式【解析】为偶函数，为奇函数，)(xf)(xg)()(),()(xgxgxfxf 又 ，11)()(xxgxf用替换得：xx11)()(xxgxf即 11)()(xxgxf解 联立的方程组，得 ，11)(2xxfxxxg21)(七、特殊值法：（赋值类求抽象函数）七、特殊值法：（赋值类求抽象函数）当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式【例例 1】：设是定义在 N 上的函数，满足，对于任意正整数，均有)(xf1)1(fyx,，求.xyyxfyfxf)()()()(xf解：由，1)1(fxyyxfyfxf)()()(设得：1yxxfxf)1(1)(即：1)()1(xxfxf在上式中，分别用代替，然后各式相加x1,3,2,1t可得：tttttf21211)1)(2(21)(2第 9 页 共 23 页)(2121)(2Nxxxxf【例例 2】设是定义在 R 上的函数，且满足 f（0）=1，并且对任意的实数 x，y，有f（xy）=f（x）y（2xy+1），求 f（x）函数解析式.分析：要 f（0）=1，x，y 是任意的实数及 f（xy）=f（x）y（2xy+1），得到f（x）函数解析式，只有令 x=y.解：令 x=y，由 f（xy）=f（x）y（2xy+1）得f（0）=f（x）x（2xx+1），整理得 f（x）=x2+x+1.八利用给定的特性求解析式八利用给定的特性求解析式.【例例 1】设是偶函数，当 x0 时，求当 x0 时，的表)(xfxexexf2)()(xf达式.练习对 xR，满足，且当 x1，0时，)(xf)1()(xfxf求当 x9，10时的表达式.xxxf2)(2)(xf九、累加法：九、累加法：累加法核心思想与求数列的通项公式相似。【例例 1】：若，且当af1lg)1(，求.),0(,lg)()1(,21Nxaaxfxfxx满足时)(xf解：),0(lg)1()(1Nxaaxfxfx递推得：2lg)2()1(xaxfxf3lg)3()2(xaxfxf第 10 页 共 23 页2lg)2()3(affafflg)1()2(以上个等式两边分别相加，得：)1(x122lglglglg)1()(xxaaaafxf)1()2(21lg)1(xxaf12)1(2)1(lglg1lgxxxxaaaaxxlg 12)1(十、归纳法：十、归纳法：【例例 1】：已知，求.afNxxfxf)1()(),(212)1(且)(xf解：aaffaf2124212)1(212)2(,)1(aaff202124)212(212)2(212)3(aaff312124)413(212)3(212)4(aaff422124)81213(212)4(212)5(，依此类推，得axfxx132124)(再用数学归纳法证明之。第 11 页 共 23 页【例例 2】：设，记，求.11)(xxxf)()(xfffxfn)(2004xf十一、递推法：十一、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。【例例 1】设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有)(xfN1)1(fba,，求abbafbfaf)()()()(xf【解析】，Nbaabbafbfaf,)()()(，不妨令，得：，1,bxaxxffxf)1()1()(又 1)()1(,1)1(xxfxff故分别令式中的 得：1,21xn(2)(1)2,(3)(2)3,()(1),fffff nf nn将上述各式相加得：，nfnf32)1()(2)1(321)(nnnnfNxxxxf,2121)(2十二、对称性法十二、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.【例例 1】已知是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=2xx2，求 f（x）函数第 12 页 共 23 页解析式.解：y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，y=f（x）的图象关于原点对称.当 x0 时，f（x）=2xx2的顶点（1，1），它关于原点对称点（1，1），因此当 x0 时，y=1=x2+2x.故 f（x）=2)1(xxxxx2222评注:对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.十三、函数性质法十三、函数性质法利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。【例例 1】.已知函数是 R 上的奇函数，当的解析式。解析：因为是 R 上的奇函数，所以，当，所以十四、反函数法十四、反函数法利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。【例例 1】.已知函数，求它的反函数。解：因为，反函数为十五、十五、“即时定义即时定义”法法 x0，x0.第 13 页 共 23 页给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。【例例 1】.对定义域分别是的函数，规定：函数若，写出函数的解析式。十六十六 、微积分法：、微积分法：当你学了导数和微积分之后，就会用到，不过平时的考题还是比较少出现的，多见识下各种题型对你有帮助的。【例例 1】：设，求.2)1(,cos)(sin22fxxf)(xf解：xxxf222sin1cos)(sin)1|(|1)(xxxf因此cxxdxxdxfxf221)1()()(2322112)1(ccf A、B、)1|(|2321)(2xxxxf)()(xfTxf)(1)()(1)(xfTxfxfTxf或十七：坐标转换法十七：坐标转换法例 7 已知=，当且仅当点(x。，y。)在 y=图像上时，()f x）（1logx()f x点(2x。，2y。)在 y=图像上，求函数的解析式.)(xg)(xg解：设 p(x,y)是函数 y=图像上的任一点，由已知得点(，)(xg2x2y在函数 y=的图像上.）（1logxa第 14 页 共 23 页即=,所以 y=22yalog（2x）1alog（2x）1故所求函数的解析式是，=2.)(xg)(xgalog（2x）1点评：抓住所求函数图像上的点与已知函数图像上的点的关系，再利用已知点满足已知函数，从而转换坐标，代入即可求得.第 15 页 共 23 页xx其它相关题型其它相关题型1、定义法、定义法例 1若 f(1 x 2 x),求 f(x)。解：x 2(1)2 1 f(1)(1)2 1 1 1f(x)=x2 1(x1)2、配凑法配凑法例 2、已知 f(x 1)x2 2x，求 f(x)解：f(x 1)(x 1)2 2x 1 2x(x 1)2 4x 1(x 1)2 4(x 1)3f(x)x2 4x 3 3、换元法、换元法例例3、已知f（x 1x 1）=xx 2 1 x 211，求 f（x）的解析式.x解：设=t，则 x=xt 1（t1，(1)2 1f（t）=t 11=1+(t 1)2+（t1）=t2t+1(1)2t 11t 1故f（x）=x2x+1（x1）.评注:实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域4、待定系数法、待定系数法例例4、已知二次函数 f（x）满足 f（0）=0，f（x+1）=f（x）+2x+8，求 f（x）的解析式.解：设二次函数f（x）=ax2+bx+c，则 f（0）=c=0 f（x+1）=a(x 1)2+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b 由f（x+1）=f（x）+2x+8 与、得2a b b 2xxxx第 16 页 共 23 页1a b 8a 1,解得b 7.故 f（x）=x2+7x.评注:已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.5、直接图像法、直接图像法例 5函数在闭区间1,2 上的图象如右图所示，则求此函数的解析式。yx 1(1 x 0)解：f(x)1 x(0 x 2)0 212 x16、方程组法、方程组法1例例 6、设函数 f（x）满足 f（x）+2 f（x）=x （x0，求 f（x）函数解析式.1分析：欲求f（x，必须消去已知中的f（x个方程，联立方程组求解即可.11，若用x去代替已知中 x，便可得到另一解：f（x）+2 f（）=x（x0）x11由代入得2f（x）+f（xx1）=（x0）x2x解 构成的方程组，得 f（x）=3x3（x0）.7、特殊值法、特殊值法例 7、设是定义在 R 上的函数，且满足 f（0）=1，并且对任意的实数 x，y，有f（xy）=f（x）y（2xy+1，求 f（x）函数解析式.分析：要 f（0）=1，x，y 是任意的实数及f（xy）=f（x）y（2xy+1，得到第 17 页 共 23 页f（x）函数解析式，只有令 x=y.解：令 x=y，由 f（xy）=f（x）y（2xy+1）得f（0）=f（x）x（2xx+1，整理得 f（x）=x2+x+1.8、对称性图像法、对称性图像法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.例例8、已知是定义在R 上的奇函数，当x0 时，f（x）=2xx2，求f（x）函数解析式.解：y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，y=f（x）的图象关于原点对称.当x0 时，f（x）=2xx2 的顶点（1，1，它关于原点对称点（1，1，2 x x 2因此当 x0 时，y=(x 1)2 1=x2+2x.故 f（x）=x 2 2 xx0，x0评注:对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.第 18 页 共 23 页9、利用奇偶性法、利用奇偶性法相关练习相关练习（一）换元法（一）换元法 1已知 f(3x+1)=4x+3,求 f(x)的解析式.2若,求.xxxf1)1()(xf（二）（二）配变量法配变量法 3已知,求的解析式.4若221)1(xxxxf)(xf,求.xxxf2)1()(xf（三）（三）待定系数法待定系数法 5设是一元二次函数,且)(xf)(2)(xfxgx第 19 页 共 23 页,212)()1(xxgxgx求与.)(xf)(xg6设二次函数满足,且图象在 y 轴上截距为 1,在 x 轴上截得的线段长为)(xf)2()2(xfxf,求的表达式.22)(xf（四）（四）解方程组法解方程组法 7设函数是定义(,0)(0,+)在上的函数,且满足关系式)(xf,求的解析式.xxfxf4)1(2)(3)(xf8（1）若,求.（2）若 f(x)+f(1-x)=1+x,求 f(x).xxxfxf1)1()()(xf（五）（五）特殊值代入法特殊值代入法 9若,且，求值)()()(yfxfyxf2)1(f.)2004()2005()3()4()2()3()1()2(ffffffff10已知：，对于任意实数 x、y，等式恒成立，求1)0(f)12()()(yxyxfyxf)(xf（六）（六）利用给定的特性求解析式利用给定的特性求解析式.11设是偶函数,当 x0 时,求当 x0 时，的表达式.)(xfxexexf2)()(xf12对 xR,满足,且当 x1,0时,求当 x9,10)(xf)1()(xfxfxxxf2)(2时的表达式.)(xf第 20 页 共 23 页例 6、已知函数对于一切实数都有成立，且。)(xfyx,xyxyfyxf)12()()(0)1(f(1)求的值；(2)求的解析式。)0(f)(xf第 21 页 共 23 页求函数的解析式求函数的解析式例 1已知 f(x)=，求 f()的解析式（代入法代入法/拼凑法拼凑法）22xx1x变式 1已知 f(x)=，求 f()的解析式21x2x 变式 2已知 f(x+1)，求 f(x)的解析式223xx 例 2若 f f(x)4x3，求一次函数 f(x)的解析式（待定系数法待定系数法）变式 1已知 f(x)是二次函数，且，求 f(x)211244f xf xxx例 3已知 f(x)2 f(x)x，求函数 f(x)的解析式 （消去法消去法/方程组法方程组法）变式 1已知 2 f(x)f(x)x1，求函数 f(x)的解析式变式 2已知 2 f(x)f 3x，求函数 f(x)的解析式1x变式 3已知定义在 R 上的函数满足，求的解析式。例 4设对任意数 x，y 均有，222233fxyfyxxyyxy求 f（x）的解析式（赋值法赋值法/特殊值法）特殊值法）变式 1已知对一切 x，yR，都成立，且 f（0）=1，21fxyf xxyy 求 f（x）的解析式变式 2 已知函数的定义域为 R，并对一切实数 x，y 都有，求的解析式。练练手：练练手：（1）若，且，)()()(yfxfyxf2)1(f求值.)2004()2005()3()4()2()3()1()2(ffffffff（2）设是定义在上的函数，且，求的解析式.)(xfN2)1(f21)()1(xfxf)(xf（3）已知，求；3311()f xxxx()f x第 22 页 共 23 页（4）已知，求；2(1)lgfxx()f x（5）已知是一次函数，且满足，求；()f x3(1)2(1)217f xf xx()f x（6）已知满足，求()f x12()()3f xfxx()f x第 23 页 共 23 页