2018-2019朝阳区一模数学理科试题与答案.pdf

1 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学数学（理）（理）20193本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合，集合，则|1Ax x2|4Bx xAB A B C D|2x x|12xx|12xxR2在复平面内，复数对应的点位于 12iiz A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3的展开式中的常数项为 41()xxA B C D 1266124若函数 则函数的值域是22,1,()log,1xxf xxx,()f xA B C D(,2)(,20,)(,0)(0,2)5如图，函数的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则的解析式可()f x()f x以是 A()sin(2)3f xxB()sin(4)6f xxC()cos(2)3f xxD()cos(4)6f xx 12 1 1 O 3 x y 71226记不等式组所表示的平面区域为“点”是“”的0,3,yyxykxD(1,1)D1k A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为1 A4B2C83D438某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是 14，10，8若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是 20，则这三天都开车上班的职工人数至多是A5 B6 C7 D8第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分把答案填在答题卡上分把答案填在答题卡上 9双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是 2214xy10执行如图所示的程序框图，则输出的值为 x11在极坐标系中，直线与圆相交于两点，则_ cos14cos,A BAB 正（主）视图 俯视图 侧（左）视图 结束是否开始输出xxx=2,n=1x222x2n n=n+1312能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线若，()f x0,2(0)(2)0ff则在内无零点”为假命题的一个函数是 ()f x(0,2)13天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所天坛公园中的圜丘台共有三层（如图 1 所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2 所示）上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有 9 块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多 9 块，则第二十七环的扇面形石块数是_；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 14在平面内，点是定点，动点满足，则集合ACB,|1ABAC 0AB AC 所表示的区域的面积是 =+,12|P APABAC 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题满分 13 分）在中，的面积等于，且ABC21a 120AABC3bc（）求的值；b（）求的值cos2B16（本小题满分 13 分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了 50 名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过 40 分钟）将统计数据按分组，制成频率分布直方图：5,10),10,15),15,20),35,40图 1图 24乘 乘 乘 乘乘 乘 乘 乘 乘 乘0.036乘 乘O400.0480.0080.0160.052O405101520253035乘 乘/乘 乘0.0480.0120.0280.0360.0120.040乘 乘乘 乘/乘 乘乘 乘 乘 乘乘 乘 乘 乘 乘 乘3530252015105假设乘客乘车等待时间相互独立（）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取 1 人，记为；从乙站的乘客中随A机抽取 1 人，记为.用频率估计概率，求“乘客,乘车等待时间都小于 20 分钟”的概BAB率；（）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取 3 人，表示乘车等待时间小X于 20 分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望.X17（本小题满分 14 分）如图，在多面体中，平面平面ABCDEFADEF 四边形为正方形，四边形为梯形，ABCDADEFABCD且，/AD BC90BAD1ABAD3BC（）求证：；AFCD（）求直线与平面所成角的正弦值；BFCDE（）线段上是否存在点，使得直线平面BDM/CE?若存在，求的值；若不存在，请说明理由AFMBMBD18（本小题满分 13 分）已知函数 且.ln()()axf xx(Ra0)a（）当时，求曲线在点处的切线方程；1a()yf x(1,(1)f（）当时，求证：；1a ()1f xx（）讨论函数的极值()f xEDCBAF519（本小题满分 14 分）已知点为椭圆上任意一点，直线与圆00(,)M xy22:12xCy00:22l x xy y交于两点，点为椭圆的左焦点22(1)6xy,A BFC（）求椭圆的离心率及左焦点的坐标；CF（）求证：直线 与椭圆相切；lC（）判断是否为定值，并说明理由AFB20（本小题满分 13 分）在无穷数列中，是给定的正整数，na12,a a21nnnaaaNn*（）若，写出的值；123,1aa910100,a aa（）证明：数列中存在值为的项；na0（）证明：若互质，则数列中必有无穷多项为 12,a ana16北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学（理）答案 20193一、选择题：（本题满分 40 分）题号12345678答案BDCAACDB二、填空题：（本题满分 30 分）题号91011121314答案1122 3（答案不唯一）2(1)yx24334023三、解答题：三、解答题：（本题满分 80 分）15(本小题满分 13 分)解：（）由已知得2221=sin=3,2(21)=2cos120.SbcAbcbc整理得22=4,=17.bcbc解得或=1,=4bc，=4,=1.bc因为，所以.8 分bc1b（）由正弦定理，sinsinabAB即372sin=1421B 所以.13 分22713cos2=1 2sin1 2()1414BB 16(本小题满分 13 分)7解：（）设表示事件“乘客乘车等待时间小于 20 分钟”，表示事件“乘客MAN乘车等待时间小于 20 分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间都小于 20 分钟”BCA,B 由题意知，乘客乘车等待时间小于 20 分钟的频率为A，故的估计值为0.0120.0400.048)50.5()P M0.5乘客乘车等待时间小于 20 分钟的频率为B，故的估计值为0.0160.0280.036)50.4()P N0.4又.121()()()()255P CP MNP MP N=故事件的概率为.6 分C15（）由（）可知，乙站乘客乘车等待时间小于 20 分钟的频率为，0.4所以乙站乘客乘车等待时间小于 20 分钟的概率为.25显然，的可能取值为且.X0,1,2,32(3,)5X B 所以；033327(0)()5125P XC1232354(1)()55125P XC ；.2232336(2)()55125P XC33328(3)()5125P XC故随机变量的分布列为XX0123P2712554125361258125 .13 分26355EX 17(本小题满分 14 分)解：解：（）证明：因为为正方形，ADEF所以AFAD又因为平面平面，ADEF ABCD8且平面平面，ADEF ABCDAD所以平面AF ABCD所以4 分AFCD（）由（）可知，平面，所以，AF ABCDAFADAFAB 因为，所以两两垂直90BAD,AB AD AF分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）,AB AD AFxyz因为，1ABAD3BC 所以，(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)ABCDEF所以(1,0,1),(1,2,0),(0,0,1)BFDCDE 设平面的一个法向量为，CDE(,)x y zn则 即 0,0.DCDEnn20,0.xyz令，则，2x 1y 所以(2,1,0)n设直线与平面所成角为，BFCDE则.9 分|2(1)|10sin|cos,|552BF n（）设，(0 1)BMBD，设，则，111,M x y z1111,(1,1,0)xy z所以，所以，1111,0 xyz 1,0M 所以1,0AM 设平面的一个法向量为，则 AFM000(,)xyzm0,0.AMAF mm因为，所以 0,0,1AF 000(1)0,0.xyz令，则，所以0 x01y(,1,0)mzDAyDAxDAEDCBAFM9在线段上存在点，使得平面等价于存在，使BDM/CEAFM0,1得0CE m因为，由，1,2,1CE 0CE m所以，2(1)0解得，20,13所以线段上存在点，使得平面，且.14BDM/CEAFM23BMBD分18(本小题满分 13 分)解：（）当时，所以1a ln()xf xx21 ln()xfxx因为，(1)1,(1)0ff所以曲线在处的切线方程为.3 分()yf x(1,(1)f1yx（）当时，1a ln()()xf xx 函数的定义域为()f x(,0)不等式成立成立成立.()1f xxln()1xxx2ln()0 xxx设，2()ln()g xxxx(,0)x 则2121(21)(1)()21xxxxg xxxxx 当变化时，变化情况如下表：x()g x()g xx(,1)1(1,0)()g x0()g x极大值所以()(1)g xg因为，所以，(1)0g()0g x 10所以.8 分ln()1xxx（）求导得.令，因为可得21 ln()()axfxx()0fx0a exa当时，的定义域为.当变化时，变化情况如下表：0a()f x0,+x()fx()f xxe(0,)aeae(,)a()fx0()f x极大值此时有极大值，无极小值()f xe()eafa当时，的定义域为，当变化时，变化情况如下表：0a()f x,0 x()fx()f xxe(,)aeae(,0)a()fx0()f x极小值此时有极小值，无极大值.13()f xe()eafa分19(本小题满分 14 分)解：（）由题意，2a 1b 221cab所以离心率，左焦22cea点.4 分(1,0)F（）当时直线 方程为或，直线 与椭圆相切00y l2x 2x lC当时，由得，00y 22001,222xyx xy y22220000(2)4440yxxx xy由题知，即，220012xy220022xy所以 22220000(4)4(2)(44)xyxy 112200162(1)xy=220016(22)0 xy故直线 与椭圆相切.8 分lC（）设，11(,)A x y22(,)B xy当时，00y 12xx12yy 12x ，2211(1)FA FBxy 2211(1)6(1)xx21240 x所以，即FAFB 90AFB当时，由 得，00y 2200(1)6,22xyx xy y22220000(1)2(2)2100yxyxxy则，20012202(2)1yxxxy201 2202101yx xy200121 2122220001()42xxy yx xxxyyy2002054422xxy因为1122(1,)(1,)FA FBxyxy 1 212121x xxxy y 2222000000220042084225442222yyxyxxyy 2200205(2)10022xyy所以，即FAFB 90AFB故为定值.14 分AFB9020(本小题满分 13 分)解：(I).3 分9101000,1,1aaa(II)反证法：假设,由于，i0.ia 21nnnaaa记.则.1,2maxMa a12,aM aM则，,32101aaaM43201aaaM12，54302aaaM65402aaaM依次递推，有，76503aaaM87603aaaM则由数学归纳法易得21,.kaMk kN N当时，与矛盾.kM210,ka210ka故存在，使i=0.ia所以，数列必在有限项后出现值为的项.8 分na0(III)首先证明：数列中必有“1”项用反证法，na假设数列中没有“1”项，由(II)知，数列中必有“0”项，设第一个“0”项是 nanama，令，则必有，(3)m 1map1,ppN*2map于是，由，则，因此是的因数，1233|mmmmpaaapa32mapp3ma由，则或，因此是的因数.2344|2|mmmmpaaapa4map3pp4ma依次递推，可得是的因数，因为，所以这与互质矛盾所以，数列p12,a a1p 12,a a中必有“1”项na其次证明数列中必有无穷多项为“1”.na假设数列中的第一个“1”项是，令，naka1kaq1,qqN*则，111kkkaaaq若，则数列中的项从开始，依次为“1，1，0”的无限循环，1ka11q ka故有无穷多项为 1；若，则，111kaq 213212,1kkkkkkaaaqaaa若，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为 1；221kaq若，则从开始的项依次为，221kaqka1,1,2,1,3,4,1qqqq必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为 113 分