二次函数-矩形的存在性问题-含答案.pdf

二次函数中矩形的存在性问题11.(2015 黑龙江省龙东地区)如图，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 在坐标轴上，ODE 是OCB 绕点 O顺时针旋转 90得到的，点 D 在 x 轴上，直线 BD 交 y 轴于点 F，交 OE 于点 H，线段 BC、OC 的长是方程x26x+8=0 的两个根，且 OCBC（1）求直线 BD 的解析式；（2）求OFH 的面积；（3）点 M 在坐标轴上，平面内是否存在点 N，使以点 D、F、M、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由二次函数中矩形的存在性问题22.(2015 重庆市綦江县)如图，抛物线与 x 轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），223yxx 与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.（1）求直线AD的解析式；（2）如图 1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FGAD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.xyxyxy26图 图 图 图 226图 图 图 图 126图 图 1CBAOCAOHGEDCBAOFMM二次函数中矩形的存在性问题33.(2016 山东省东营市)】在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，点 A、C 的坐标分别是（0，4）、（1，0），将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90，得到平行四边形 ABOC（1）若抛物线经过点 C、A、A，求此抛物线的解析式；（2）点 M 时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 M 在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 M 的坐标；（3）若 P 为抛物线上一动点，N 为 x 轴上的一动点，点 Q 坐标为（1，0），当 P、N、B、Q 构成平行四边形时，求点 P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点 N 的坐标二次函数中矩形的存在性问题44.(2016 贵州省毕节地区)如图，已知抛物线 y=x2+bx 与直线 y=2x+4 交于 A（a，8）、B 两点，点 P 是抛物线上 A、B 之间的一个动点，过点 P 分别作 x 轴、y 轴的平行线与直线 AB 交于点 C 和点 E（1）求抛物线的解析式；（2）若 C 为 AB 中点，求 PC 的长；（3）如图，以 PC，PE 为边构造矩形 PCDE，设点 D 的坐标为（m，n），请求出 m，n 之间的关系式二次函数中矩形的存在性问题55.(2013 湖南省常德市)如图，已知二次函数的图象过点A(0，3)，B（3,3），对称轴为直线12x ，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PMx轴于点M，PNy轴于点N，在四边形PMON上分别截取1111,.3333PCMP MDOM OEON NFNP（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C，D，E，F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.二次函数中矩形的存在性问题66如图所示，抛物线 y=ax2+bx3 与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线 BC 下方的抛物线上有一点 P，过点 P 作 PEBC 于点 E，作 PF 平行于 x 轴交直线 BC于点 F，求PEF 周长的最大值；（3）已知点 M 是抛物线的顶点，点 N 是 y 轴上一点，点 Q 是坐标平面内一点，若点 P 是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以 P、M、N、Q 为顶点且以 PM 为边的正方形？若存在，直接写出点 P 的横坐标；若不存在，说明理由二次函数中矩形的存在性问题7参考答案1.(2015 黑龙江省龙东地区)如图，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 在坐标轴上，ODE 是OCB 绕点 O顺时针旋转 90得到的，点 D 在 x 轴上，直线 BD 交 y 轴于点 F，交 OE 于点 H，线段 BC、OC 的长是方程x26x+8=0 的两个根，且 OCBC（1）求直线 BD 的解析式；（2）求OFH 的面积；（3）点 M 在坐标轴上，平面内是否存在点 N，使以点D、F、M、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由1.分析：（1）解方程可求得 OC、BC 的长，可求得 B、D 的坐标，利用待定系数法可求得直线 BD 的解析式；（2）可求得 E 点坐标，求出直线 OE 的解析式，联立直线 BD、OE 解析式可求得 H 点的横坐标，可求得OFH的面积；（3）当MFD 为直角三角形时，可找到满足条件的点 N，分MFD=90、MDF=90和FMD=90三种情况，分别求得 M 点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得 N 点坐标解答：解：（1）解方程 x26x+8=0 可得 x=2 或 x=4，BC、OC 的长是方程 x26x+8=0 的两个根，且OCBC，BC=2，OC=4，B（2，4），ODE 是OCB 绕点 O 顺时针旋转 90得到的，OD=OC=4，DE=BC=2，D（4，0），设直线 BD 解析式为 y=kx+b，把 B、D 坐标代入可得，解得，直线 BD 的解析式为 y=x+；（2）由（1）可知 E（4，2），设直线 OE 解析式为 y=mx，把 E 点坐标代入可求得 m=，直线 OE 解析式为 y=x，令 x+=x，解得 x=，H 点到 y 轴的距离为，又由（1）可得 F（0，），OF=，SOFH=；（3）以点 D、F、M、N 为顶点的四边形是矩形，DFM 为直角三角形，当MFD=90时，则 M 只能在 x 轴上，连接 FN 交 MD 于点 G，如图 1，由（2）可知 OF=，OD=4，则有MOFFOD，=，即=，解得 OM=，M（，0），且 D（4，0），G（，0），设 N 点坐标为（x，y），则=，=0，解得 x=，y=，此时 N 点坐标为（，）；二次函数中矩形的存在性问题8当MDF=90时，则 M 只能在 y 轴上，连接 DN 交 MF 于点 G，如图 2，则有FODDOM，=，即=，解得 OM=6，M（0，6），且 F（0，），MG=MF=，则 OG=OMMG=6=，G（0，），设 N 点坐标为（x，y），则=0，=，解得 x=4，y=，此时 N（4，）；当FMD=90时，则可知 M 点为 O 点，如图 3，四边形 MFND 为矩形，NF=OD=4，ND=OF=，可求得 N（4，）；综上可知存在满足条件的 N 点，其坐标为（，）或（4，）或（4，）2.(2015 重庆市綦江县)如图，抛物线与 x 轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），223yxx 与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.（1）求直线AD的解析式；（2）如图 1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FGAD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.xyxyxy26图 图 图 图 226图 图 图 图 126图 图 1CBAOCAOHGEDCBAOFMM 答案解：AD：1yx过点F作x轴的垂线，交直线AD于点M，易证FGHFGM故FGHFGMCC设2(,23)F mmm则FM=2223(1)2mmmmm 则 C=2199 22(12)(12)()242FMFMFMm 二次函数中矩形的存在性问题9故最大周长为9+9 24若 AP 为对角线如图，由PMSMAR可得由点的平移可知故 Q 点关于直线 AM 的对称点 T 为 9(0,)2P1(2)2Q ，1(0,)2若AQ为对角线如图，同理可知P由点的平移可知Q故Q点关于直线AM的对称点T为 1(0,)27(2,)29(0,)23.(2016 山东省东营市)】在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，点 A、C 的坐标分别是（0，4）、（1，0），将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90，得到平行四边形 ABOC（1）若抛物线经过点 C、A、A，求此抛物线的解析式；（2）点 M 时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 M 在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 M 的坐标；（3）若 P 为抛物线上一动点，N 为 x 轴上的一动点，点 Q 坐标为（1，0），当 P、N、B、Q 构成平行四边形时，求点 P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点 N 的坐标分析（1）由平行四边形 ABOC 绕点 O 顺时针旋转 90，得到平行四边形 ABOC，且点 A 的坐标是（0，4），可求得点 A的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点 C、A、A的抛物线的解析式；（2）首先连接 AA，设直线 AA的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线 AA的解析式，再设点 M 的坐标为：（x，x2+3x+4），继而可得AMA的面积，继而求得答案；（3）分别从 BQ 为边与 BQ 为对角线去分析求解即可求得答案解答解：（1）平行四边形 ABOC 绕点 O 顺时针旋转 90，得到平行四边形 ABOC，且点 A 的坐标是（0，4），点 A的坐标为：（4，0），点 A、C 的坐标分别是（0，4）、（1，0），抛物线经过点 C、A、A，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，解得：，此抛物线的解析式为：y=x2+3x+4；（2）连接 AA，设直线 AA的解析式为：y=kx+b，解得：，直线 AA的解析式为：y=x+4，设点 M 的坐标为：（x，x2+3x+4），二次函数中矩形的存在性问题10则 SAMA=4x2+3x+4（x+4）=2x2+8x=2（x2）2+8，当 x=2 时，AMA 的面积最大，最大值 SAMA=8，M 的坐标为：（2，6）；（3）设点 P 的坐标为（x，x2+3x+4），当 P，N，B，Q 构成平行四边形时，平行四边形 ABOC 中，点 A、C 的坐标分别是（0，4）、（1，0），点 B 的坐标为（1，4），点 Q 坐标为（1，0），P 为抛物线上一动点，N 为 x 轴上的一动点，当 BQ 为边时，PNBQ，PN=BQ，BQ=4，x2+3x+4=4，当x2+3x+4=4 时，解得：x1=0，x2=3，P1（0，4），P2（3，4）；当x2+3x+4=4 时，解得：x3=，x2=，P3（，4），P4（，4）；当 PQ 为对角线时，BPQN，BP=QN，此时 P 与 P1，P2重合；综上可得：点 P 的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（，4），P4（，4）；如图 2，当这个平行四边形为矩形时，点 N 的坐标为：（0，0）或（3，0）4.(2016 贵州省毕节地区)如图，已知抛物线 y=x2+bx 与直线 y=2x+4 交于 A（a，8）、B 两点，点 P 是抛物线上 A、B 之间的一个动点，过点 P 分别作 x 轴、y 轴的平行线与直线 AB 交于点 C 和点 E（1）求抛物线的解析式；（2）若 C 为 AB 中点，求 PC 的长；（3）如图，以 PC，PE 为边构造矩形 PCDE，设点 D 的坐标为（m，n），请求出 m，n 之间的关系式 分析（1）把 A 点坐标代入直线方程可求得 a 的值，再代入抛物线可求得 b 的值，可求得抛物线解析式；（2）联立抛物线和直线解析式可求得 B 点坐标，过 A 作 AQx 轴，交 x 轴于点Q，可知 OC=AQ=4，可求得 C 点坐标，结合条件可知 P 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得 P 点坐标，从而可求得 PC 的长；（3）根据矩形的性质可分别用 m、n 表示出 C、P 的坐标，根据 DE=CP，可得到m、n 的关系式解：（1）A（a，8）是抛物线和直线的交点，A 点在直线上，8=2a+4，解得 a=2，A 点坐标为（2，8），又 A 点在抛物线上，8=22+2b，解得 b=2，抛物线解析式为 y=x2+2x；二次函数中矩形的存在性问题11（2）联立抛物线和直线解析式可得，解得，B 点坐标为（2，0），如图，过 A 作 AQx 轴，交 x 轴于点 Q，则 AQ=8，OQ=OB=2，即 O 为 BQ 的中点，当 C 为 AB 中点时，则 OC 为ABQ 的中位线，即 C 点在 y 轴上，OC=AQ=4，C 点坐标为（0，4），又 PCx 轴，P 点纵坐标为 4，P 点在抛物线线上，4=x2+2x，解得 x=1或 x=1，P 点在 A、B 之间的抛物线上，x=1不合题意，舍去，P 点坐标为（1，4），PC=10=1；（3）D（m，n），且四边形 PCDE 为矩形，C 点横坐标为 m，E 点纵坐标为 n，C、E 都在直线 y=2x+4 上，C（m，2m+4），E（，n），PCx 轴，P 点纵坐标为 2m+4，P 点在抛物线上，2m+4=x2+2x，整理可得 2m+5=（x+1）2，解得 x=1 或 x=1（舍去），P 点坐标为（1，2m+4），DE=m，CP=1m，四边形 PCDE 为矩形，DE=CP，即m=1m，整理可得 n24n8m16=0，即 m、n 之间的关系式为 n24n8m16=05.(2013 湖南省常德市)如图，已知二次函数的图象过点A(0，3)，B（3,3），对称轴为直线12x ，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PMx轴于点M，PNy轴于点N，在四边形PMON上分别截取1111,.3333PCMP MDOM OEON NFNP（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C，D，E，F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？二次函数中矩形的存在性问题12若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设二次函数的解析式为2yaxbxc,将点 A（0，-3）、B（3,3）、对称轴方程分别代入可得：3,3331.22cabcba ，解得1,1,3.aab 此二次函数的解析式为23yxx.（2）证明：如图连接CD，DE，EF，FC.PMx轴，PNy轴，四边形OMPN是矩形.MP=ON，OM=PN.又1111,3333PCMP MDOM OEON NFNP,DMFN MCNECMDENF,同理ODEFPC(SAS),CF=ED，CD=EF.,四边形CDEF是平行四边形.（3）如图，作 CQy轴于点Q，设P点坐标为2,3xxx，则1.3QNPCOEMP2133EQxx.在 RtECQ中，22222213.9CEEQCQxxx当CDDE时，22222222222222222222222222221333413,99143,994114339999553.99DEODOExxxxxxCDDMCMxxxCEDECDxxxxxxxxx 二次函数中矩形的存在性问题13222222222215533,999443,993.xxxxxxxxxxxx 212122121233,3,3,3;331,31.33333311.xxxxxyyxxxxxyyP 当时,此时，当时,，此时，综上可知符合条件的点有四个，分别是，-，-，-本题用相似更简单！6如图所示，抛物线 y=ax2+bx3 与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线 BC 下方的抛物线上有一点 P，过点 P 作 PEBC 于点 E，作 PF 平行于 x 轴交直线 BC于点 F，求PEF 周长的最大值；（3）已知点 M 是抛物线的顶点，点 N 是 y 轴上一点，点 Q 是坐标平面内一点，若点 P 是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以 P、M、N、Q 为顶点且以 PM 为边的正方形？若存在，直接写出点 P 的横坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）把 A（1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线 y=ax2+bx3，得到，解得，抛物线的解析式为 y=x22x3（2）如图 1 中，连接 PB、PC设 P（m，m22m3），B（3，0），C（0，3），OB=OC，OBC=45，PFOB，PFE=OBC=45，PEBC，PEF=90，二次函数中矩形的存在性问题14PEF 是等腰直角三角形，PE 最大时，PEF 的面积中点，此时PBC 的面积最大，则有 SPBC=SPOB+SPOCSBOC=3（m2+2m+3）+3m=（m）2+，m=时，PBC 的面积最大，此时PEF 的面积也最大，此时 P（，），直线 BC 的解析式为 y=x3，F（，），PF=，PEF 是等腰直角三角形，EF=EP=，CPEF 最大值=+（3）如图 2 中，当 N 与 C 重合时，点 N 关于对称轴的对称点 P，此时思想 MNQP 是正方形，易知 P（2，3）点 P 横坐标为 2，如图 3 中，当四边形 PMQN 是正方形时，作 PFy 轴于 N，MEx 轴，PEy 轴易知PFNPEM，PF=PE，设 P（m，m22m3），M（1，4），m=m22m3（4），m=或（舍弃），P 点横坐标为所以满足条件的点 P 的横坐标为 2 或二次函数中矩形的存在性问题15