相似三角形难题集锦含答案.pdf

一、相似三角形中的动点问题一、相似三角形中的动点问题1.1.如图，在如图，在 RtABCRtABC 中，中，ACB=90ACB=90，AC=3AC=3，BC=4BC=4，过，过点点 B B 作射线作射线 BB1ACBB1AC动点动点 D D 从点从点 A A 出发沿射线出发沿射线 ACAC 方向方向以每秒以每秒 5 5 个单位的速度运动，同时动点个单位的速度运动，同时动点 E E 从点从点 C C 沿射线沿射线ACAC 方向以每秒方向以每秒 3 3 个单位的速度运动过点个单位的速度运动过点 D D 作作 DHABDHAB于于 H H，过点，过点 E E 作作 EFACEFAC 交射线交射线 BB1BB1 于于 F F，G G 是是 EFEF 中点，中点，连接连接 DGDG设点设点 D D 运动的时间为运动的时间为 t t 秒秒（1 1）当）当 t t 为何值时，为何值时，AD=ABAD=AB，并求出此时，并求出此时 DEDE 的长度；的长度；（2 2）当）当DEGDEG 与与ACBACB 相似时，求相似时，求 t t 的值的值2.2.如图，在如图，在ABCABC 中，中，ABCABC9090，AB=6mAB=6m，BC=8mBC=8m，动点动点 P P 以以 2m/s2m/s 的速度从的速度从 A A 点出发，沿点出发，沿 ACAC 向点向点 C C 移移动同时，动点动同时，动点 Q Q 以以 1m/s1m/s 的速度从的速度从 C C 点出发，沿点出发，沿 CBCB 向向点点 B B 移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为动设移动的时间为 t t 秒秒（1 1）当当 t=2.5st=2.5s 时，求时，求CPQCPQ 的面积；的面积；求求CPQCPQ 的面积的面积 S S（平方米）关于时间（平方米）关于时间 t t（秒）的函数（秒）的函数解析式；解析式；（2 2）在）在 P P，Q Q 移动的过程中，当移动的过程中，当CPQCPQ 为等腰三角形时，为等腰三角形时，求出求出 t t 的值的值3.3.如图如图 1 1，在，在 RtABCRtABC 中，中，ACBACB9090，ACAC6 6，BCBC8 8，点，点 D D 在边在边 ABAB 上运动，上运动，DEDE 平分平分CDBCDB 交交边边 BCBC 于点于点 E E，EMBDEMBD，垂足为，垂足为 M M，ENCDENCD，垂足为，垂足为 N N（1 1）当）当 ADADCDCD 时，求证：时，求证：DEACDEAC；（2 2）探究：）探究：ADAD 为何值时，为何值时，BMEBME 与与CNECNE 相似？相似？4.4.如图所示，在如图所示，在ABCABC 中，中，BABABCBC20cm20cm，ACAC30cm30cm，点，点P P 从从 A A 点出发，沿着点出发，沿着 ABAB 以每秒以每秒4cm4cm 的速度向的速度向 B B 点运动；同时点点运动；同时点Q Q 从从 C C 点出发，沿点出发，沿 CACA 以每秒以每秒3cm3cm 的速度向的速度向 A A 点运动，当点运动，当 P P 点到达点到达 B B 点时，点时，Q Q 点随之点随之停止运动设运动的时间为停止运动设运动的时间为 x x（1 1）当）当 x x 为何值时，为何值时，PQBCPQBC？（2 2）APQAPQ 与与CQBCQB 能否相似？若能，求出能否相似？若能，求出 APAP 的长；的长；若不能说明理由若不能说明理由5.5.如图，在矩形如图，在矩形 ABCDABCD 中，中，AB=12cmAB=12cm，BC=6cmBC=6cm，点，点 P P沿沿 ABAB 边从边从 A A 开始向点开始向点 B B以以 2cm/s2cm/s 的速度移动；点的速度移动；点Q Q 沿沿 DADA 边从点边从点 D D 开始向开始向点点 A A 以以 1cm/s1cm/s 的速度移的速度移动如果动如果 P P、Q Q 同时出发，用同时出发，用 t t（s s）表示移动的时间）表示移动的时间（0 0t t6 6）。（1 1）当）当 t t 为何值时，为何值时，QAPQAP 为等腰直角三角形？为等腰直角三角形？（2 2）当）当 t t 为何值时，以点为何值时，以点 Q Q、A A、P P 为顶点的三角形为顶点的三角形与与ABCABC 相似？相似？二、构造相似辅助二、构造相似辅助线线双垂直模型双垂直模型 6.6.在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOyxOy 中，点中，点 A A 的坐标为的坐标为(2(2，1)1)，正比例函数正比例函数 y=kxy=kx 的图象与线段的图象与线段 OAOA 的夹角是的夹角是 4545，求这个正比例函数的表达式求这个正比例函数的表达式7.7.在在ABCABC 中，中，AB=AB=，AC=4AC=4，BC=2BC=2，以，以 ABAB为边在为边在 C C 点的异侧作点的异侧作ABDABD，使使ABDABD 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，求线段求线段 CDCD 的长的长8.8.在在ABCABC 中，中，AC=BCAC=BC，ACB=90ACB=90，点，点 M M 是是 ACAC 上的一上的一点，点点，点 N N 是是 BCBC 上的一点，沿着直线上的一点，沿着直线 MNMN 折叠，使得点折叠，使得点 C C恰好落在边恰好落在边 ABAB 上的上的 P P 点求证：点求证：MCMC：NC=APNC=AP：PBPB9.9.如图，在直角坐标系中，矩形如图，在直角坐标系中，矩形 ABCOABCO 的边的边 OAOA 在在 x x 轴上，轴上，边边 OCOC 在在 y y 轴上，点轴上，点 B B 的坐标为（的坐标为（1 1，3 3），将矩形沿对角，将矩形沿对角线线 ACAC 翻折翻折 B B 点落在点落在 D D 点的位置，且点的位置，且 ADAD 交交 y y 轴于点轴于点E E那么那么 D D 点的坐标为（）点的坐标为（）A.A.B.B.C.C.D.D.10.10.已知，如图，直线已知，如图，直线 y=2xy=2x2 2 与坐标轴交于与坐标轴交于 A A、B B两点以两点以 ABAB 为短边在第一象限做一个矩形为短边在第一象限做一个矩形 ABCDABCD，使得，使得矩形的两边之比为矩形的两边之比为 1212。求求 C C、D D 两点的坐标。两点的坐标。三、构造相似辅助三、构造相似辅助线线A A、X X 字型字型 11.11.如图：如图：ABCABC 中，中，D D 是是 ABAB上一点，上一点，AD=ACAD=AC，BCBC 边上的边上的中线中线 AEAE 交交 CDCD 于于 F F。求证：求证：12.12.四边形四边形 ABCDABCD 中，中，ACAC 为为ABAB、ADAD 的比例中项，且的比例中项，且 ACAC平分平分DABDAB。求证：求证：13.13.在梯形在梯形 ABCDABCD 中，中，ABCDABCD，ABABb b，CDCDa a，E E 为为 ADAD 边上的任意一点，边上的任意一点，EFABEFAB，且，且 EFEF 交交 BCBC 于点于点F F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)(1)当当时，时，EF=EF=；(2)(2)当当时，时，EF=EF=；(3)(3)当当时，时，EF=EF=当当时，参时，参照上述研究结论，请你猜照上述研究结论，请你猜想用想用 a a、b b 和和 k k 表示表示 EFEF 的的一般结论，并给出证明一般结论，并给出证明14.14.已知：如图，在已知：如图，在ABCABC 中，中，M M 是是 ACAC 的中点，的中点，E E、F F是是 BCBC 上的两点，且上的两点，且 BEBEEFEFFCFC。求求 BNBN：NQNQ：QMQM15.15.证明：（证明：（1 1）重心定理：三角形顶点到重心的距）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的离等于该顶点对边上中线长的（注：重心是三角（注：重心是三角形三条中线的交点）形三条中线的交点）（2 2）角平分线定理：三角形）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例边对应成比例 四、相似类定值问题四、相似类定值问题 16.16.如图，在等边如图，在等边ABCABC 中，中，M M、N N 分别是边分别是边 ABAB，ACAC 的中的中点，点，D D 为为 MNMN 上任意一点，上任意一点，BDBD、CDCD 的延长线分别交的延长线分别交ACAC、ABAB 于点于点 E E、F F求证：求证：17.17.已知：如图，梯形已知：如图，梯形 ABCDABCD 中，中，AB/DCAB/DC，对角线，对角线 ACAC、BDBD交于交于 O O，过，过 O O 作作 EF/ABEF/AB 分别交分别交 ADAD、BCBC 于于 E E、F F。求证：求证：18.18.如图，在如图，在ABCABC 中，已知中，已知 CDCD为边为边 ABAB 上的高，正方形上的高，正方形 EFGHEFGH 的的四个顶点分别在四个顶点分别在ABCABC 上。上。求证：求证：19.19.已知，在已知，在ABCABC 中作内中作内接菱形接菱形 CDEFCDEF，设菱形的边，设菱形的边长为长为 a a求证：求证：五、相似之共线线段的比例问题五、相似之共线线段的比例问题 20.20.（1 1）如图）如图 1 1，点，点在平行四边形在平行四边形 ABCDABCD 的对角线的对角线BDBD 上，一直线过点上，一直线过点 P P 分别交分别交 BABA，BCBC 的延长线于点的延长线于点Q Q，S S，交，交于点于点求证：求证：（2 2）如图）如图 2 2，图，图 3 3，当点，当点在在平行四边形平行四边形 ABCDABCD 的对角线的对角线或或的延长线上时，的延长线上时，是否仍然成立？是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图立，试说明理由（要求仅以图2 2 为例进行证明或说明）为例进行证明或说明）；21.21.已知：如图，已知：如图，ABCABC 中，中，ABABACAC，ADAD 是中线，是中线，P P 是是ADAD 上一点，过上一点，过 C C 作作 CFABCFAB，延长，延长 BPBP 交交 ACAC 于于 E E，交，交 CFCF于于 F F求证：求证：BP2BP2PEPFPEPF 22.22.如图，已知如图，已知ΔABCΔABC 中，中，ADAD，BFBF 分别为分别为 BCBC，ACAC边上的高，过边上的高，过 D D 作作 ABAB 的垂线交的垂线交 ABAB 于于 E E，交，交 BFBF 于于 G G，交，交ACAC 延长线于延长线于 H H。求证：。求证：DE2=EGEHDE2=EGEH 23.23.已知如图，已知如图，P P 为平行四边形为平行四边形 ABCDABCD 的对角线的对角线 ACAC 上一点，上一点，过过 P P 的直线与的直线与 ADAD、BCBC、CDCD 的延长线、的延长线、ABAB 的延长线分别的延长线分别相交于点相交于点 E E、F F、G G、H.H.求证：求证：24.24.已知，如图，锐角已知，如图，锐角ABCABC 中，中，ADBCADBC 于于 D D，H H 为为垂心（三角形三条高线的交点）垂心（三角形三条高线的交点）；在；在 ADAD 上有一点上有一点 P P，且且BPCBPC 为直角求证：为直角求证：PD2PD2ADDHADDH 。六、相似之等积式类型六、相似之等积式类型综合综合 25.25.已知如图，已知如图，CDCD 是是 RtABCRtABC 斜斜边边 ABAB 上的高，上的高，E E 为为 BCBC 的中点，的中点，EDED 的延长线交的延长线交 CACA 于于F F。求证：求证：2626 如图，在如图，在 RtABCRtABC 中，中，CDCD是斜边是斜边 ABAB 上的高，点上的高，点 M M 在在 CDCD 上，上，DHBMDHBM 且与且与 ACAC 的的延长线交于点延长线交于点 E.E.求证：（求证：（1 1）AEDCBMAEDCBM；（；（2 2）27.27.如图，如图，ABCABC 是直角三角形，是直角三角形，ACB=90ACB=90，CDABCDAB于于 D D，E E 是是 ACAC 的中点，的中点，EDED 的延长线与的延长线与 CBCB 的延长线交于的延长线交于点点 F.F.（1 1）求证：）求证：.（2 2）若）若 G G 是是 BCBC 的中点，连接的中点，连接 GDGD，GDGD 与与 EFEF 垂直吗？并垂直吗？并说明理由说明理由.28.28.如图，四边形如图，四边形 ABCDABCD、DEFGDEFG 都是正方形，连接都是正方形，连接AEAE、CG,AECG,AE 与与 CGCG 相交于点相交于点 M M，CGCG 与与 ADAD 相交于点相交于点 N N求求证：证：29.29.如图，如图，BDBD、CECE 分别是分别是ABCABC 的两边上的高，过的两边上的高，过 D D 作作DGBCDGBC 于于 G G，分别交，分别交 CECE 及及 BABA 的延长线于的延长线于 F F、H H。求证：（求证：（1 1）DG2DG2BGCGBGCG；（；（2 2）BGCGBGCGGFGHGFGH 七、七、相似基本模型应用相似基本模型应用 30.ABC30.ABC 和和DEFDEF 是两个等腰直角三角形，是两个等腰直角三角形，A=D=90A=D=90，DEFDEF 的顶点的顶点 E E 位于边位于边 BCBC 的中点的中点上上（1 1）如图）如图 1 1，设，设 DEDE 与与 ABAB 交于点交于点 M M，EFEF 与与 ACAC 交于点交于点N N，求证：，求证：BEMCNEBEMCNE；（2 2）如图）如图 2 2，将，将DEFDEF 绕绕点点 E E 旋转，使得旋转，使得 DEDE 与与 BABA的延长线交于点的延长线交于点 M M，EFEF 与与ACAC 交于点交于点 N N，于是，除，于是，除（1 1）中的一对相似三角形）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论角形并证明你的结论31.31.如图，四边形如图，四边形 ABCDABCD和四边形和四边形 ACEDACED 都是平行四边形，点都是平行四边形，点 R R 为为 DEDE 的中点，的中点，BRBR 分别交分别交 ACAC、CDCD 于点于点 P P、Q Q（1 1）请写出图中各对相似三角形（相似比为）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 1 除外）除外）；（2 2）求）求 BPBP：PQPQ：QRQR32.32.如图，在如图，在ABCABC 中，中，ADBCADBC 于于 D D，DEABDEAB 于于E E，DFACDFAC 于于 F F。求证：。求证：答案：答案：1.1.答案：解：（答案：解：（1 1）ACB=90ACB=90，AC=3AC=3，BC=4BC=4AB=5AB=5又又AD=ABAD=AB，AD=5tAD=5tt=1t=1，此时，此时 CE=3CE=3，DE=3+3-5=1DE=3+3-5=1（2 2）如图当点如图当点 D D 在点在点 E E 左侧，即：左侧，即：0t0t时，时，DE=3t+3-5t=3-2tDE=3t+3-5t=3-2t若若DEGDEG 与与ACBACB 相似，有两种情况：相似，有两种情况：DEGACBDEGACB，此时，此时，即：即：，求得：，求得：t=t=；DEGBCADEGBCA，此时，此时，即：即：，求得：，求得：t=t=；如图，当点如图，当点 D D 在点在点 E E 右侧，即：右侧，即：tt时，时，DE=5t-DE=5t-(3t+3)=2t-3(3t+3)=2t-3若若DEGDEG 与与ACBACB 相似，有两种情况：相似，有两种情况：DEGACBDEGACB，此时，此时，即：即：，求得：，求得：t=t=；DEGBCADEGBCA，此时，此时，即：即：，求得：，求得：t=t=综上，综上，t t 的值为的值为或或或或或或3.3.答案：解：（答案：解：（1 1）证明：）证明：AD=CDAD=CDA=ACDA=ACDDEDE 平分平分CDBCDB 交边交边 BCBC 于点于点 E ECDE=BDECDE=BDECDBCDB 为为CDBCDB 的一个外角的一个外角CDB=A+ACD=2ACDCDB=A+ACD=2ACDCDB=CDE+BDE=2CDECDB=CDE+BDE=2CDEACD=CDEACD=CDEDEACDEAC（2 2）NCE=MBENCE=MBEEMBDEMBD，ENCDENCD，BMECNEBMECNE，如图，如图NCE=MBENCE=MBEBD=CDBD=CD又又NCE+ACD=MBE+A=90NCE+ACD=MBE+A=90ACD=AACD=AAD=CDAD=CDAD=BD=AD=BD=ABAB在在 RtABCRtABC 中，中，ACBACB9090，ACAC6 6，BCBC8 8AB=10AB=10AD=5AD=5NCE=MEBNCE=MEBEMBDEMBD，ENCDENCD，BMEENCBMEENC，如图，如图NCE=MEBNCE=MEBEMCDEMCDCDABCDAB在在 RtABCRtABC 中，中，ACBACB9090，ACAC6 6，BCBC8 8AB=10AB=10A=AA=A，ADC=ACBADC=ACBACDABCACDABC综上：综上：AD=5AD=5 或或时，时，BMEBME 与与CNECNE 相似相似4.4.答案：解（答案：解（1 1）由题意：）由题意：AP=4xAP=4x，CQ=3xCQ=3x，AQ=30-3xAQ=30-3x，当当 PQBCPQBC 时，时，即：，即：解得：解得：（2 2）能，）能，AP=AP=cmcm 或或 AP=20cmAP=20cmAPQCBQAPQCBQ，则，则，即，即解得：解得：或或（舍）（舍）此时：此时：AP=AP=cmcmAPQCQBAPQCQB，则，则，即，即解得：解得：（符合题意）（符合题意）此时：此时：AP=AP=cmcm故故 AP=AP=cmcm 或或 20cm20cm 时，时，APQAPQ 与与CQBCQB 能相似能相似5.5.答案：解：设运动时间为答案：解：设运动时间为 t t，则，则 DQ=tDQ=t，AQ=6-AQ=6-t t，AP=2tAP=2t，BP=12-2tBP=12-2t（1 1）若）若QAPQAP 为等腰直角三角形，则为等腰直角三角形，则 AQ=APAQ=AP，即：，即：6-t=2t6-t=2t，t=2t=2（符合题意）（符合题意）t=2t=2 时，时，QAPQAP 为等腰直角三角形为等腰直角三角形（2 2）B=QAP=90B=QAP=90当当QAPABCQAPABC 时，时，即：，即：，解得：解得：（符合题意）（符合题意）；当当PAQABCPAQABC 时，时，即：，即：，解得：解得：（符合题意）（符合题意）当当或或时，以点时，以点 Q Q、A A、P P 为顶点的三为顶点的三角形与角形与ABCABC 相似相似6.6.答案：解：分两种情况答案：解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限第一种情况，图象经过第一、三象限过点过点 A A 作作 ABOAABOA，交待求直线于点，交待求直线于点 B B，过点，过点 A A 作作平行于平行于 y y 轴的直线交轴的直线交 x x 轴于点轴于点 C C，过点，过点 B B 作作 BDACBDAC则由上可知：则由上可知：9090由双垂直模型知：由双垂直模型知：OCAADBOCAADBAA（2 2，1 1），4545OCOC2 2，ACAC1 1，AOAOABABADADOCOC2 2，BDBDACAC1 1DD 点坐标为（点坐标为（2 2，3 3）BB 点坐标为（点坐标为（1 1，3 3）此时正比例函数表达式为：此时正比例函数表达式为：y y3x3x第二种情况，图象经过第二、四象限第二种情况，图象经过第二、四象限过点过点 A A 作作 ABOAABOA，交待求直线于点，交待求直线于点 B B，过点，过点 A A 作平行作平行于于 x x 轴的直线交轴的直线交 y y 轴于点轴于点 C C，过点，过点 B B 作作 BDACBDAC则由上可知：则由上可知：9090由双垂直模型知：由双垂直模型知：OCAADBOCAADBAA（2 2，1 1），4545OCOC1 1，ACAC2 2，AOAOABABADADOCOC1 1，BDBDACAC2 2DD 点坐标为（点坐标为（3 3，1 1）BB 点坐标为（点坐标为（3 3，11）此时正比例函数表达式为：此时正比例函数表达式为：y yx x7.7.答案：解：情形一：答案：解：情形一：情形二：情形二：情形三：情形三：8.8.答案：证明：方法一：答案：证明：方法一：连接连接 PCPC，过点，过点 P P 作作 PDACPDAC 于于 D D，则，则 PD/BCPD/BC根据折叠可知根据折叠可知 MNCPMNCP2+PCN=902+PCN=90，PCN+CNM=90PCN+CNM=902=CNM2=CNMCDP=NCM=90CDP=NCM=90PDCMCNPDCMCNMCMC：CN=PDCN=PD：DCDCPD=DAPD=DAMCMC：CN=DACN=DA：DCDCPD/BCPD/BCDADA：DC=PADC=PA：PBPBMCMC：CN=PACN=PA：PBPB方法二：如图，方法二：如图，过过 M M 作作 MDABMDAB 于于 D D，过，过 N N 作作 NEABNEAB 于于 E E由双垂直模型，可以推知由双垂直模型，可以推知PMDNPEPMDNPE，则，则，根据等比性质可知根据等比性质可知，而，而MD=DAMD=DA，NE=EBNE=EB，PM=CMPM=CM，PN=CNPN=CN，MCMC：CN=PACN=PA：PBPB9.9.答案：答案：A A解题思路：如图解题思路：如图过点过点 D D 作作 ABAB 的平行线交的平行线交 BCBC 的延长线于点的延长线于点 M M，交，交 x x 轴于轴于点点 N N，则，则M=DNA=90M=DNA=90，由于折叠，可以得到由于折叠，可以得到ABCADCABCADC，又由又由 B B（1 1，3 3）BC=DC=1BC=DC=1，AB=AD=MN=3AB=AD=MN=3，CDA=B=90CDA=B=90 1+2=901+2=90 DNA=90DNA=90 3+2=903+2=90 1=31=3 DMCANDDMCAND，设设 CM=xCM=x，则，则 DN=3xDN=3x，AN=1AN=1x x，DMDM3x3x3 3xx，则，则。答案为答案为 A A10.10.答案：解：答案：解：过点过点 C C 作作 x x 轴的平行线交轴的平行线交 y y 轴于轴于 G G，过点，过点 D D 作作 y y 轴轴的平行线交的平行线交 x x 轴于轴于 F F，交，交 GCGC 的延长线于的延长线于 E E。直线直线 y=2xy=2x2 2 与坐标轴交于与坐标轴交于 A A、B B 两点两点AA（1,01,0），B B（0,20,2）OA=1OA=1，OB=2OB=2，AB=AB=ABAB：BC=1:2BC=1:2BC=AD=BC=AD=ABO+CBG=90ABO+CBG=90，ABO+BAO=90ABO+BAO=90CBG=BAOCBG=BAO又又CGB=BOA=90CGB=BOA=90OABGBCOABGBCGB=2GB=2，GC=4GC=4GO=4GO=4CC（4,44,4）同理可得同理可得ADFBAOADFBAO，得，得DF=2DF=2，AF=4AF=4OF=5OF=5DD（5,25,2）11.11.答案：证明：（方法一）如图答案：证明：（方法一）如图延长延长 AEAE 到到 M M 使得使得 EM=AEEM=AE，连接，连接 CMCMBE=CEBE=CE，AEB=MECAEB=MEC BEACEMBEACEMCM=ABCM=AB，1=B1=BABCMABCMM=MADM=MAD，MCF=ADFMCF=ADFMCFADFMCFADFCM=ABCM=AB，AD=ACAD=AC（方法二）（方法二）过过 D D 作作 DGBCDGBC 交交 AEAE 于于 G G则则ABEADGABEADG，CEFDGFCEFDGF，AD=ACAD=AC，BE=CEBE=CE12.12.答案：证明：答案：证明：过点过点 D D 作作 DFABDFAB 交交 ACAC 的延长线于点的延长线于点 F F，则，则2=32=3ACAC 平分平分DABDAB1=21=21=31=3AD=DFAD=DFDEF=BEADEF=BEA，2=32=3BEADEFBEADEFAD=DFAD=DFACAC 为为 ABAB、ADAD 的比例中项的比例中项即即又又1=21=2ACDABCACDABC13.13.答案：解：答案：解：证明：证明：过点过点 E E 作作 PQBCPQBC 分别交分别交 BABA 延长线和延长线和 DCDC 于点于点 P P 和点和点 Q QABCDABCD，PQBCPQBC四边形四边形 PQCBPQCB 和四边形和四边形 EQCFEQCF 是平行四边形是平行四边形PBPBEFEFCQCQ，又又ABABb b，CDCDa aAPAPPB-ABPB-ABEF-bEF-b，DQDQDC-QCDC-QCa-EFa-EF14.14.答案：解：答案：解：连接连接 MFMFMM 是是 ACAC 的中点，的中点，EFEFFCFCMFAEMFAE 且且 MFMFAEAEBENBFMBENBFMBNBN：BMBMBEBE：BFBFNENE：MFMFBEBEEFEFBNBN：BMBMNENE：MFMF1:21:2BNBN：NMNM1:11:1设设NENEx x，则，则 MFMF2x2x，AEAE4x4xANAN3x3xMFAEMFAENAQMFQNAQMFQNQNQ：QMQMANAN：MFMF3:23:2BNBN：NMNM1:11:1，NQNQ：QMQM3:23:2BNBN：NQNQ：QMQM5:3:25:3:215.15.答案：证明：（答案：证明：（1 1）如图如图 1 1，ADAD、BEBE 为为ABCABC 的中线，且的中线，且 ADAD、BEBE 交于交于点点 O O过点过点 C C 作作 CFBECFBE，交，交 ADAD 的延长线于点的延长线于点 F FCFBECFBE 且且 E E 为为 ACAC 中点中点AEOAEOACFACF，OBDOBDFCDFCD，ACAC2AE2AEEAOEAOCAFCAFAEOACFAEOACFDD 为为 BCBC 的中点，的中点，ODBODBFDCFDCBODCFDBODCFDBOBOCFCF同理，可证另外两条中线同理，可证另外两条中线三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的线长的（2 2）如图如图 2 2，ADAD 为为ABCABC 的角平分线的角平分线过点过点 C C 作作 ABAB 的平行线的平行线 CECE 交交 ADAD 的延长线于的延长线于 E E则则BAD=EBAD=EADAD 为为ABCABC 的角平分线的角平分线BAD=CADBAD=CADE=CADE=CADACACCECECEABCEABBADCEDBADCED16.16.答案：证明：答案：证明：如图，作如图，作 DPABDPAB，DQACDQAC则四边形则四边形 MDPBMDPB 和四边形和四边形 NDQCNDQC 均为平行四边形且均为平行四边形且DPQDPQ 是等边三角形是等边三角形BP+CQBP+CQMNMN，DPDPDQDQPQPQMM、N N 分别是边分别是边 ABAB，ACAC 的中点的中点MNMNBCBCPQPQDPABDPAB，DQACDQACCDPCFBCDPCFB，BDQBECBDQBEC，DPDPDQDQPQPQBCBCABABABAB（）17.17.答案：证明：答案：证明：EF/ABEF/AB，AB/DCAB/DCEF/DCEF/DCAOEACDAOEACD，DOEDBADOEDBA，18.18.答案：证明：答案：证明：EFCDEFCD，EHABEHAB，AFEADCAFEADC，CEHCABCEHCAB，EFEFEHEH19.19.答案：证明：答案：证明：EFACEFAC，DEBCDEBC，BFEBCABFEBCA，AEDABCAEDABC，EFEFDEDEa a20.20.答案：（答案：（1 1）证明：在平行四边形）证明：在平行四边形 ABCDABCD 中，中，ADBCADBC，DRP=SDRP=S，RDB=DBSRDB=DBSDRPBSPDRPBSP同理由同理由 ABCDABCD 可证可证PTDPQBPTDPQB（2 2）证明：成立，理由如下：）证明：成立，理由如下：在平行四边形在平行四边形 ABCDABCD 中，中，ADBCADBC，PRD=SPRD=S，RDP=DBSRDP=DBSDRPBSPDRPBSP同理由同理由 ABCDABCD 可证可证PTDPQBPTDPQB21.21.答案：证明答案：证明:ABABACAC，ADAD 是中线，是中线，ADBC,BP=CPADBC,BP=CP1=21=2又又ABC=ACBABC=ACB3=43=4CFABCFAB3=F,4=F3=F,4=F又又EPC=CPFEPC=CPFEPCCPFEPCCPFBP2BP2PEPFPEPF即证所求即证所求22.22.答案：证明：答案：证明：DEABDEAB90909090ADEDBEADEDBEDE2=DE2=BFACBFAC90909090且且BEGHEABEGHEADE2=EG•EHDE2=EG•EH23.23.答案：证明：答案：证明：四边形四边形 ABCDABCD 为平行四边形为平行四边形ABCDABCD，ADBCADBC1=21=2，G=HG=H，5=65=6PAHPCGPAHPCG又又3=43=4APECPFAPECPF24.24.答案：证明：如图，连接答案：证明：如图，连接 BHBH 交交 ACAC 于点于点 E E，HH 为垂心为垂心BEACBEACEBC+BCA=90EBC+BCA=90ADBCADBC 于于 D DDAC+BCA=90DAC+BCA=90EBC=DACEBC=DAC又又BDH=ADC=90BDH=ADC=90BDHADCBDHADC，即，即BPCBPC 为直角，为直角，ADBCADBCPD2PD2BD·DCBD·DCPD2PD2AD·DHAD·DH25.25.答案：证明：答案：证明：CDCD 是是 RtABCRtABC 斜边斜边 ABAB 上的高，上的高，E E 为为 BCBC 的中点的中点CE=EB=DECE=EB=DEB=BDE=FDAB=BDE=FDAB+CAB=90B+CAB=90，ACD+CAB=90ACD+CAB=90B=ACDB=ACDFDA=ACDFDA=ACDF=FF=FFDAFCDFDAFCDADC=CDB=90ADC=CDB=90，B=ACDB=ACDACDCBDACDCBD即即26.26.答案：证明：（答案：证明：（1 1）ACBACBADCADC9090AAACDACD9090BCMBCMACDACD9090AABCMBCM同理可得：同理可得：MDHMDHMBDMBDCMBCMBCDBCDBMBDMBD9090MBDMBDADEADEADCADCMDHMDH9090MDHMDHADEADECMBCMBAEDCBMAEDCBM（2 2）由上问可知：）由上问可知：，即，即故只需证明故只需证明即可即可AAAA，ACDACDABCABCACDABCACDABC，即，即27.27.答案：（答案：（1 1）将结论写成比例的形式，）将结论写成比例的形式，可以考虑证明可以考虑证明FDBFCDFDBFCD（已经有一个公共角（已经有一个公共角FF）RtACDRtACD 中，中，E E 是是 ACAC 的中点的中点DE=AEDE=AEA=ADEA=ADEADE=FDBADE=FDBA=FDBA=FDB而而A+ACD=90A+ACD=90FCD+ACD=90FCD+ACD=90A=FCDA=FCDFCD=FDBFCD=FDB而而F=FF=FFBDFDCFBDFDC（2 2）判断：）判断：GDGD 与与 EFEF 垂直垂直RtCDBRtCDB 中，中，G G 是是 BCBC 的中点，的中点，GDGDGBGBGDB=GBDGDB=GBD而而GBD+FCD=90GBD+FCD=90又又FCD=FDBFCD=FDB（1 1 的结论）的结论）GDB+FDB=90GDB+FDB=90GDEFGDEF28.28.答案：证明：由四边形答案：证明：由四边形 ABCDABCD、DEFGDEFG 都是正方形可知，都是正方形可知，ADC=GDE=90ADC=GDE=90，则，则CDG=ADE=ADG+90CDG=ADE=ADG+90在在和和中中则则DAM=DCNDAM=DCN又又ANM=CNDANM=CNDANMCNDANMCND则则29.29.答案：证明：找模型。答案：证明：找模型。（1 1）BCDBCD、BDGBDG，CDGCDG 构成母子型相似。构成母子型相似。BDGDCGBDGDCGDG2DG2BG·CGBG·CG（2 2）分析：将等积式转化为比例式。）分析：将等积式转化为比例式。BG·CGBG·CGGF·GHGF·GHGFC=EFHGFC=EFH，而，而EFH+H=90EFH+H=90，GFC+FCG=90GFC+FCG=90H=FCGH=FCG而而HGB=CGF=90HGB=CGF=90HBGCFGHBGCFGBG·CGBG·CGGF·GHGF·GH30.30.答案：（答案：（1 1）证明：）证明：MEBMEBNECNEC1801804545135135MEBMEBEMBEMBNECNECEMBEMB又又B=CB=CBEMCNEBEMCNE（2 2）COEEONCOEEON证明：证明：OEN=COEN=C4545，COECOEEONEONCOEEONCOEEON31.31.答案：解：（答案：解：（1 1）BCPBERBCPBER，CQPDQRCQPDQR，ABPCQPABPCQP，DQRABPDQRABP（2 2）ACDEACDEBCPBERBCPBER四边形四边形 ABCDABCD 和四边形和四边形 ACEDACED 都是平行四边形都是平行四边形AD=BCAD=BC，AD=CEAD=CEBC=CEBC=CE，即点，即点 C C 为为 BEBE 的中点的中点又又ACDEACDECQPDQRCQPDQR点点 R R 为为 DEDE 的中点的中点DR=REDR=RE综上：综上：BPBP：PQPQ：QRQR3 3：1 1：2 232.32.答案：证明：答案：证明：ADBCADBC，DEABDEABADBAEDADBAEDADADAEAE ABAB同理可证：同理可证：ADADAFAF ACACAEAE ABABAFAF ACAC反比例函数典型例题反比例函数典型例题1 1、（20112011宁波）正方形的宁波）正方形的 A1B1P1P2A1B1P1P2 顶点顶点 P1P1、P2P2 在在反比例函数反比例函数 y=y=x2（x x0 0）的图象上，顶点）的图象上，顶点 A1A1、B1B1 分分别在别在 x