相似三角形综合题锦(含答案).pdf

第 1 页 共 16 页 一、相似三角形中的动点问题1.如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4，过点B 作射线 BB1AC动点 D 从点 A 出发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E 从点 C 沿射线 AC方向以每秒 3 个单位的速度运动过点 D 作 DHAB 于H，过点 E 作 EFAC 交射线 BB1 于 F，G 是 EF 中点，连接 DG设点 D 运动的时间为 t 秒（1）当 t 为何值时，AD=AB，并求出此时 DE 的长度；（2）当DEG 与ACB 相似时，求 t 的值2.如图，在ABC 中，ABC90，AB=6m，BC=8m，动点 P 以 2m/s 的速度从 A 点出发，沿 AC 向点 C 移动同时，动点 Q 以 1m/s 的速度从 C 点出发，沿 CB 向点 B 移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为 t 秒（1）当 t=2.5s 时，求CPQ 的面积；求CPQ 的面积 S（平方米）关于时间 t（秒）的函数解析式；（2）在 P，Q 移动的过程中，当CPQ 为等腰三角形时，求出 t 的值3.如图 1，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，点 D 在边 AB 上运动，DE 平分CDB 交边 BC 于点 E，EMBD，垂足为 M，ENCD，垂足为 N（1）当 ADCD 时，求证：DEAC；（2）探究：AD 为何值时，BME 与CNE 相似？4.如图所示，在ABC 中，BABC20cm，AC30cm，点 P 从 A 点出发，沿着AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，当 P 点到达 B 点时，Q 点随之停止运动设运动的时间为x（1）当 x 为何值时，PQBC？（2）APQ 与CQB 能否相似？若能，求出 AP 的长；若不能说明理由5.如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 P沿 AB 边从 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动；点 Q沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动如果 P、Q 同时出发，用 t（s）表示移动的时间（0t6）。（1）当 t 为何值时，QAP 为等腰直角三角形？（2）当 t 为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似？二、构造相似辅助线双垂直模型 6.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(2，1)，正比例函数 y=kx 的图象与线段 OA 的夹角是 45，求这个正比例函数的表达式第 2 页 共 16 页7.在ABC 中，AB=，AC=4，BC=2，以 AB 为边在 C点的异侧作ABD，使ABD 为等腰直角三角形，求线段CD 的长8.在ABC 中，AC=BC，ACB=90，点 M 是 AC 上的一点，点 N 是 BC 上的一点，沿着直线 MN 折叠，使得点 C 恰好落在边 AB 上的 P 点求证：MC：NC=AP：PB9.如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线 AC 翻折 B 点落在D 点的位置，且 AD 交 y 轴于点 E那么 D 点的坐标为（）A.B.C.D.10.已知，如图，直线 y=2x2 与坐标轴交于 A、B两点以 AB 为短边在第一象限做一个矩形 ABCD，使得矩形的两边之比为12。求 C、D 两点的坐标。三、三、构造相似辅助线A、X 字型 11.如图：ABC 中，D 是 AB 上一点，AD=AC，BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F。求证：12.四边形 ABCD 中，AC 为 AB、AD 的比例中项，且AC 平分DAB。求证：13.在梯形 ABCD 中，ABCD，ABb，CDa，E 为 AD 边上的任意一点，EFAB，且 EF 交 BC 于点 F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；第 3 页 共 16 页(3)当时，EF=当时，参照上述研究结论，请你猜想用 a、b 和 k 表示EF 的一般结论，并给出证明14.已知：如图，在ABC 中，M 是 AC 的中点，E、F 是BC 上的两点，且 BEEFFC。求 BN：NQ：QM15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的（注：重心是三角形三条中线的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例 四、相似类定值问题 16.如图，在等边ABC 中，M、N 分别是边 AB，AC 的中点，D 为 MN 上任意一点，BD、CD 的延长线分别交 AC、AB 于点 E、F求证：17.已知：如图，梯形 ABCD 中，AB/DC，对角线 AC、BD 交于O，过 O 作 EF/AB 分别交AD、BC 于 E、F。求证：18.如图，在ABC 中，已知 CD 为边 AB 上的高，正方形 EFGH 的四个顶点分别在ABC 上。求证：第 4 页 共 16 页19.已知，在ABC 中作内接菱形 CDEF，设菱形的边长为a求证：五、五、相似之共线线段的比例问题 20.（1）如图 1，点在平行四边形 ABCD 的对角线 BD上，一直线过点 P 分别交 BA，BC 的延长线于点 Q，S，交于点求证：（2）如图 2，图 3，当点在平行四边形 ABCD 的对角线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图 2 为例进行证明或说明）；21.已知：如图，ABC 中，ABAC，AD 是中线，P 是AD 上一点，过 C 作 CFAB，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF于 F求证：BP2PEPF 22.如图，已知ΔABC中，AD，BF 分别为BC，AC 边上的高，过 D作 AB 的垂线交 AB 于 E，交 BF 于 G，交 AC 延长线于 H。求证：DE2=EGEH 第 5 页 共 16 页23.已知如图，P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过 P 的直线与 AD、BC、CD 的延长线、AB 的延长线分别相交于点 E、F、G、H.求证：24.已知，如图，锐角ABC 中，ADBC 于D，H 为垂心（三角形三条高线的交点）；在 AD 上有一点 P，且BPC 为直角求证：PD2ADDH。六、相似之等积式类型综合 25.已知如图，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高，E 为 BC 的中点，ED 的延长线交 CA 于 F。求证：26 如图，在 RtABC 中，CD是斜边 AB 上的高，点 M 在CD 上，DHBM 且与 AC 的延长线交于点 E.求证：（1）AEDCBM；（2）27.如图，ABC 是直角三角形，ACB=90，CDAB 于 D，E 是 AC 的中点，ED 的延长线与 CB 的延长线交于点 F.（1）求证：.（2）若 G 是 BC 的中点，连接 GD，GD 与 EF 垂直吗？并说明理由.28.如图，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点第 6 页 共 16 页N求证：29.如图，BD、CE 分别是ABC 的两边上的高，过 D 作DGBC 于 G，分别交 CE 及 BA 的延长线于 F、H。求证：（1）DG2BGCG；（2）BGCGGFGH 七、相似基本模型应用 30.ABC 和DEF 是两个等腰直角三角形，A=D=90，DEF 的顶点 E 位于边 BC 的中点上（1）如图 1，设 DE 与 AB 交于点 M，EF 与 AC 交于点N，求证：BEMCNE；（2）如图 2，将DEF 绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点 M，EF 与 AC 交于点 N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论31.如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR分别交 AC、CD 于点 P、Q（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外）；（2）求 BP：PQ：QR32.如图，在ABC 中，ADBC 于 D，DEAB 于E，DFAC 于 F。求证：答案：1.答案：答案：解：（1）ACB=90，AC=3，BC=4AB=5又AD=AB，AD=5tt=1，此时CE=3，DE=3+3-5=1第 7 页 共 16 页（2）如图当点D 在点 E 左侧，即：0t时，DE=3t+3-5t=3-2t若DEG 与ACB 相似，有两种情况：DEGACB，此时，即：，求得：t=；DEGBCA，此时，即：，求得：t=；如图，当点D 在点 E 右侧，即：t时，DE=5t-(3t+3)=2t-3若DEG 与ACB 相似，有两种情况：DEGACB，此时，即：，求得：t=；DEGBCA，此时，即：，求得：t=综上，t的值为或或或3.答案：答案：解：（1）证明：AD=CDA=ACDDE平分CDB 交边 BC 于点 ECDE=BDECDB 为CDB 的一个外角CDB=A+ACD=2ACDCDB=CDE+BDE=2CDEACD=CDEDEAC（2）NCE=MBEEMBD，ENCD，BMECNE，如图NCE=MBEBD=CD又NCE+ACD=MBE+A=90ACD=AAD=CDAD=BD=AB在RtABC 中，ACB90，AC6，BC8AB=10AD=5NCE=MEBEMBD，ENCD，BMEENC，如图NCE=MEBEMCDCDAB在RtABC 中，ACB90，AC6，BC8AB=10A=A，ADC=ACBACDABC第 8 页 共 16 页综上：AD=5或时，BME 与CNE 相似4.答案：答案：解（1）由题意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，当PQBC 时，即：解得：（2）能，AP=cm 或 AP=20cmAPQCBQ，则，即解得：或（舍）此时：AP=cmAPQCQB，则，即解得：（符合题意）此时：AP=cm故AP=cm 或 20cm 时，APQ 与CQB 能相似5.答案：答案：解：设运动时间为 t，则 DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t（1）若QAP 为等腰直角三角形，则 AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（符合题意）t=2时，QAP 为等腰直角三角形（2）B=QAP=90当QAPABC时，即：，解得：（符合题意）；当PAQABC时，即：，解得：（符合题意）当或时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似6.答案：答案：解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限过点A 作 ABOA，交待求直线于点 B，过点 A 作平行于 y 轴的直线交 x 轴于点 C，过点 B 作 BDAC则由上可知：90由双垂直模型知：OCAADBA（2，1），45OC2，AC1，AOABADOC2，BDAC1D点坐标为（2，3）B点坐标为（1，3）此时正比例函数表达式为：y3x第二种情况，图象经过第二、四象限过点A 作 ABOA，交待求直线于点 B，过点 A 作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 C，过点 B 作 BDAC则由上可知：90第 9 页 共 16 页由双垂直模型知：OCAADBA（2，1），45OC1，AC2，AOABADOC1，BDAC2D点坐标为（3，1）B点坐标为（3，1）此时正比例函数表达式为：yx7.答案：答案：解：情形一：情形二：情形三：8.答案：答案：证明：方法一：连接PC，过点 P 作 PDAC 于 D，则 PD/BC根据折叠可知MNCP2+PCN=90，PCN+CNM=902=CNMCDP=NCM=90PDCMCN第 10 页 共 16 页MC：CN=PD：DCPD=DAMC：CN=DA：DCPD/BCDA：DC=PA：PBMC：CN=PA：PB方法二：如图，过M 作 MDAB 于 D，过 N 作 NEAB 于 E由双垂直模型，可以推知PMDNPE，则，根据等比性质可知，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN，MC：CN=PA：PB9.答案：答案：A解题思路：解题思路：如图过点 D 作 AB 的平行线交 BC 的延长线于点 M，交 x 轴于点 N，则M=DNA=90，由于折叠，可以得到ABCADC，又由 B（1，3）BC=DC=1，AB=AD=MN=3，CDA=B=90 1+2=90 DNA=90 3+2=90 1=3 DMCAND，设 CM=x，则 DN=3x，AN=1x，DM3x3x，则。答案为A10.答案：答案：解：过点C 作 x 轴的平行线交 y 轴于 G，过点 D 作 y 轴的平行线交 x 轴于 F，交 GC 的延长线于 E。直线y=2x2 与坐标轴交于 A、B 两点A（1,0），B（0,2）OA=1，OB=2，AB=AB：BC=1:2BC=AD=ABO+CBG=90，ABO+BAO=90CBG=BAO又CGB=BOA=90OABGBCGB=2，GC=4GO=4C（4,4）同理可得ADFBAO，得DF=2，AF=4 OF=5D（5,2）11.答案：答案：证明：（方法一）如图延长AE 到 M 使得 EM=AE，连接 CM第 11 页 共 16 页BE=CE，AEB=MEC BEACEMCM=AB，1=BABCMM=MAD，MCF=ADFMCFADFCM=AB，AD=AC（方法二）过D 作 DGBC 交 AE 于 G则ABEADG，CEFDGF，AD=AC，BE=CE12.答案：答案：证明：过点D 作 DFAB 交 AC 的延长线于点 F，则2=3AC平分DAB1=21=3AD=DFDEF=BEA，2=3BEADEFAD=DFAC为 AB、AD 的比例中项即又1=2ACDABC13.答案：答案：解：证明：过点E 作 PQBC 分别交 BA 延长线和 DC 于点 P 和点 QABCD，PQBC四边形PQCB 和四边形 EQCF 是平行四边形PBEFCQ，又ABb，CDaAPPB-ABEF-b，DQDC-QCa-EF第 12 页 共 16 页14.答案：答案：解：连接MFM是 AC 的中点，EFFCMFAE且 MFAEBENBFMBN：BMBE：BFNE：MFBEEFBN：BMNE：MF1:2BN：NM1:1设NEx，则 MF2x，AE4xAN3x MFAENAQMFQNQ：QMAN：MF3:2BN：NM1:1，NQ：QM3:2BN：NQ：QM5:3:215.答案：答案：证明：（1）如图1，AD、BE 为ABC 的中线，且 AD、BE 交于点 O过点C 作 CFBE，交 AD 的延长线于点 FCFBE且 E 为 AC 中点AEOACF，OBDFCD，AC2AEEAOCAFAEOACFD为 BC 的中点，ODBFDCBODCFDBOCF同理，可证另外两条中线三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的（2）如图2，AD 为ABC 的角平分线过点C 作 AB 的平行线 CE 交 AD 的延长线于 E则BAD=EAD为ABC 的角平分线BAD=CADE=CADACCECEABBADCED16.答案：答案：证明：如图，作DPAB，DQAC则四边形MDPB 和四边形 NDQC 均为平行四边形且DPQ 是等边三角形BP+CQMN，DPDQPQM、N分别是边 AB，AC 的中点MNBCPQDPAB，DQACCDPCFB，BDQBEC，第 13 页 共 16 页DPDQPQBCABAB（）17.答案：答案：证明：EF/AB，AB/DCEF/DCAOEACD，DOEDBA，18.答案：答案：证明：EFCD，EHAB，AFEADC，CEHCAB，EFEH19.答案：答案：证明：EFAC，DEBC，BFEBCA，AEDABC，EFDEa20.答案：答案：（1）证明：在平行四边形 ABCD 中，ADBC，DRP=S，RDB=DBSDRPBSP同理由ABCD 可证PTDPQB（2）证明：成立，理由如下：在平行四边形ABCD 中，ADBC，PRD=S，RDP=DBSDRPBSP同理由ABCD 可证PTDPQB21.答案：答案：证明:第 14 页 共 16 页ABAC，AD是中线，ADBC,BP=CP1=2又ABC=ACB3=4CFAB3=F,4=F又EPC=CPFEPCCPFBP2PEPF即证所求22.答案：答案：证明：DEAB9090ADEDBEDE2=BFAC9090且BEGHEADE2=EG•EH23.答案：答案：证明：四边形ABCD 为平行四边形ABCD，ADBC1=2，G=H，5=6PAHPCG又3=4APECPF24.答案：答案：证明：如图，连接 BH 交 AC 于点 E，H为垂心BEACEBC+BCA=90ADBC于 DDAC+BCA=90EBC=DAC又BDH=ADC=90BDHADC，即BPC 为直角，ADBCPD2BD·DCPD2AD·DH25.答案：答案：证明：CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高，E为 BC 的中点CE=EB=DEB=BDE=FDAB+CAB=90，ACD+CAB=90B=ACDFDA=ACDF=FFDAFCDADC=CDB=90，B=ACDACDCBD第 15 页 共 16 页即26.答案：答案：证明：（1）ACBADC90AACD90BCMACD90ABCM同理可得：MDHMBDCMBCDBMBD90MBDADEADCMDH90MDHADECMBAEDCBM（2）由上问可知：，即故只需证明即可AA，ACDABCACDABC，即27.答案：答案：（1）将结论写成比例的形式，可以考虑证明FDBFCD（已经有一个公共角F）RtACD中，E 是 AC 的中点DE=AEA=ADEADE=FDBA=FDB而A+ACD=90FCD+ACD=90A=FCDFCD=FDB而F=FFBDFDC（2）判断：GD 与 EF 垂直RtCDB 中，G 是 BC 的中点，GDGBGDB=GBD而GBD+FCD=90 又FCD=FDB（1 的结论）GDB+FDB=90GDEF28.答案：答案：证明：由四边形 ABCD、DEFG 都是正方形可知，ADC=GDE=90，则CDG=ADE=ADG+90在和中则DAM=DCN又ANM=CNDANMCND则29.答案：答案：证明：找模型。（1）BCD、BDG，CDG 构成母子型相似。BDGDCGDG2BG·CG（2）分析：将等积式转化为比例式。BG·CGGF·GHGFC=EFH，而EFH+H=90，GFC+FCG=90H=FCG而HGB=CGF=90HBGCFGBG·CGGF·GH30.答案：答案：（1）证明：MEBNEC18045135MEBEMBNECEMB又B=CBEMCNE（2）COEEON证明：OEN=C45，COEEONCOEEON31.答案：答案：解：（1）BCPBER，CQPDQR，ABPCQP，DQRABP第 16 页 共 16 页（2）ACDEBCPBER四边形ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形AD=BC，AD=CEBC=CE，即点C 为 BE 的中点又ACDECQPDQR点R 为 DE 的中点DR=RE综上：BP：PQ：QR3：1：232.答案：答案：证明：ADBC，DEABADBAEDADAE AB同理可证：ADAF ACAE ABAF AC