圆与相似-解直角三角形综合题精选有答案.doc

解直1. （2012江苏镇江6分）如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC=FE。 （1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，，求弦AC的长。

2 （2012四川巴中10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°。
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值。

3（2012福建福州12分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
(1) 求证：AC平分∠DAB；
(2) 若∠B＝60º，CD＝2，求AE的长．

相似与圆
1 （2012广西北海10分）如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的切线CD互相垂直，垂足为D。
（1）求证：∠EAC＝∠CAB；
（2）若CD＝4，AD＝8：
①求O的半径；
②求tan∠BAE的值。

2（2012山东聊城10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．
（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由；
（2）当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．

3 . （2012湖北恩施12分）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．

4 （2012江苏泰州12分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2）若PC=，求⊙O的半径和线段PB的长；

15. （2012湖北黄冈8分）如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB 为直径作半圆⊙O，交AC 于点D.连结DB，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E.
（1）求证：DE 为⊙O 的切线；
（2）求证：DB2=AB·BE.

【答案】解：（1）连接OC，
∵FC=FE，∴∠FCE=∠FEC（等边对等角）。
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）。
又∵∠FEC=∠AED（对项角相等），
∴∠FCE=∠AED（等量代换）。
又∵DF⊥AB，∴∠OAC＋∠AED=900（直角三角形两锐角互余）。
∴∠OCA＋∠FCE =900（等量代换），即∠OCF =900。
∴OC⊥CF（垂直定义）。
又∵OC是⊙O的半径，∴FC是⊙O的切线（切线的定义）。
（2）连接BC。
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900（直径所对圆周角是直角）。
∵OB=OC。∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）。
∵∠OCB=∠ACB－∠ACO=900－∠ACO=∠OCF－∠ACO
=∠FCE，
∴∠OBC=∠FCE。
又∵，∴。
又∵⊙O的半径为5，∴AB=10。
在Rt△ABC中，
∴。
【考点】等腰三角形的性质，对项角的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理。
【分析】（1）要证FC是⊙O的切线，只要FC垂直于过C点的半径，所以作辅助线OC。由已知条件，根据等腰三角形的等边对等角性质，直角三角形两锐角互余的关系，经过等量代换即可得到。
（2）构造直角三角形ABC，由等量代换得到∠OBC=∠FCE，从而得到，应用锐角三角函数知识和勾股定理即可求得弦AC的长。

【答案】解：（1）连接BD，OD，
∵AB是直径，∴∠ADB=90°。
∵∠ABD=∠E=45°，∴∠DAB=45°，则AD=BD。
∴△ABD是等腰直角三角形。∴OD⊥AB。
又∵DC∥AB，∴OD⊥DC， ∴CD与⊙O相切。
（2）过点O作OF⊥AE，连接OE，
则AF=AE=×10=5。
∵OA=OE，∴∠AOF=∠AOE。
∵∠ADE=∠AOE，∴∠ADE=∠AOF。
在Rt△AOF中，sin∠AOF=，
∴sin∠ADE= sin∠AOF =。
【答案】解：(1) 证明：如图，连接OC，
∵ CD为⊙O的切线，∴ OC⊥CD。∴ ∠OCD＝90°。
∵ AD⊥CD，∴ ∠ADC＝90°。∴ ∠OCD＋∠ADC＝180°。
∴ AD∥OC。∴ ∠CAD＝∠ACO。
∵ OA＝OC，∴ ∠ACO＝∠CAO。
∴ ∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB。
(2) ∵ AB为⊙O的直径，∴ ∠ACB＝90°．
又∵ ∠B＝60°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°。
在Rt△ACD中，CD＝2，∴ AC＝2CD＝4。
在Rt△ABC中，AC＝4，∴ AB＝＝＝8。
连接OE，
∵ ∠EAO＝2∠CAB＝60°，OA＝OE，∴ △AOE是等边三角形。
∴ AE＝OA＝AB＝4。
【考点】切线的性质，平行的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质。
【分析】(1) 连接OC，由CD为⊙O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CD，由AD垂直于CD，可
得出OC平行于AD，根据两直线平行内错角相等可得出∠CAD＝∠ACO，再由OA＝OC，利用等边对等
角得到∠ACO＝∠CAO，等量代换可得出∠CAD＝∠CAO，即AC为角平分线。
(2)由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角，在Rt△ABC中，
由∠B的度数求出∠CAB的度数为30°，可得出∠CAD的度数为30°。在Rt△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由CD的长求出AC的长，在Rt△ABC中，根据cos30°及AC的长，利用锐角三角函数定义求出AB的长，从而得出半径OE的长，由∠EAO为60°，及OE＝OA，得到△AEO为等边三角形，可得出AE＝OA＝OE，即可确定出AE的长。

【答案】（1）证明：连接OC。
∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC。
又∵CD⊥AE，∴OC∥AE。∴∠1＝∠3。
∵OC＝OA，∴∠2＝∠3。
∴∠1＝∠2，即∠EAC＝∠CAB。
（2）解：①连接BC。
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°。
∵∠1＝∠2，∴△ACD∽△ABC。∴。
∵AC2＝AD2＋CD2＝42＋82＝80，
∴AB＝＝10。
∴⊙O的半径为10÷2＝5。
②连接CF与BF。
∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC＋∠AFC＝180°。
∵∠DFC＋∠AFC＝180°，∴∠DFC＝∠ABC。
∵∠2＋∠ABC＝90°， ∠DFC＋∠DCF＝90°，
∴∠2＝∠DCF。
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCF。
∵∠CDF＝∠CDF，∴△DCF∽△DAC。∴ 。∴DF＝＝2。
∴AF＝AD－DF＝8－2＝6。
∵AB是⊙O的直径，∴∠BFA＝90°。
∴BF＝＝8。∴tan∠BAD＝。
【考点】切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。
【分析】（1）连接OC，由CD是⊙O的切线，CD⊥OC，又由CD⊥AE，即可判定OC∥AE，根据平行线的性质与等腰三角形的性质，即可证得∠EAC=∠CAB。
（2）①连接BC，易证得△ACD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长，
从而可得⊙O的半径长。
②连接CF与BF．由四边形ABCF是⊙O的内接四边形，易证得△DCF∽△DAC，然后根据
相似三角形的对应边成比例，求得AF的长，又由AB是⊙O的直径，即可得∠BFA是直角，利用勾股定理求得BF的长，即可求得tan∠BAE的值。

【答案】解：（1）当点P是的中点时，DP是⊙O的切线。理由如下：
连接AP。
∵AB=AC，∴。
又∵，∴。∴PA是⊙O的直径。
∵，∴∠1=∠2。
又∵AB=AC，∴PA⊥BC。
又∵DP∥BC，∴DP⊥PA。∴DP是⊙O的切线。
（2）连接OB，设PA交BC于点E。．
由垂径定理，得BE=BC=6。
在Rt△ABE中，由勾股定理，得：AE=。
设⊙O的半径为r，则OE=8﹣r，
在Rt△OBE中，由勾股定理，得：r2=62+（8﹣r）2，解得r=。
∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D。
又∵∠1=∠1，∴△ABE∽△ADP，
∴，即，解得：。
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据当点P是的中点时，得出，得出PA是⊙O的直径，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，问题得证。
（2）利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出△ABE∽△ADP，即可得出DP的长。

【答案】解：（1）证明：连接OB，
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC。
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。
∴∠OBA+∠ABC=90°。∴OB⊥BC。
∴BC是⊙O的切线。
（2）连接OF，AF，BF，
∵DA=DO，CD⊥OA，
∴△OAF是等边三角形。
∴∠AOF=60°。
∴∠ABF=∠AOF=30°。
（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，
∴EG=BE=5。
易证Rt△ADE∽Rt△CGE，
∴sin∠ECG=sin∠A=，
∴。
∴。
又∵CD=15，CE=13，∴DE=2，
由Rt△ADE∽Rt△CGE得，即，解得。
∴⊙O的半径为2AD=。
【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。
【分析】（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。
（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。
（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG=BE=5，由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，从而求出⊙O的半径。
【答案】解：（1）AB=AC。理由如下：
连接OB。
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°。
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°。
∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB。
∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC。
∴AB=AC。
（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，
设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5－r。
又∵PC=，
∴ 。
由（1）AB=AC得，解得：r=3。
∴AB=AC=4。
∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC。
∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA。∴，即，解得。
【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，
∠ACP+∠CPB=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可。
（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5－r，根据AB=AC推出
，求出r，证△DPB∽△CPA，得出 ，代入求出PB即可。
（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范围，再根据相离得出r＜5，即可得出答案。

【答案】证明：（1）连接OD、BD，则∠ADB=90°（圆周角定理），
∵BA=BC，∴CD=AD（三线合一）。
又∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线。
∴OD∥BC。
∵∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE。
∴DE为⊙O的切线。
（2）∵∠BED=∠BDC =900，∠EBD=∠DBC，
∴△BED∽△BDC，∴。
又∵AB=BC，∴。∴BD2=AB•BE。
【考点】切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）连接OD、BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，从而得出点D是AC中点，判断出OD是△ABC的中位线，利用中位线的性质得出∠ODE=90°，这样可判断出结论。
（2）根据题意可判断△BED∽△BDC，从而可得BD2=BC•BE，将BC替换成AB即可得出结论。