相似三角形压轴经典大题(含答案).pdf

相似三角形压轴经典大题解析1.如图，已知一个三角形纸片，边的长为 8，边上的高为，和都为锐角，为ABCBCBC6BCM一动点（点与点不重合），过点作，交于点，在中，设ABMAB、MMNBCACNAMN的长为，上的高为MNxMNh（1）请你用含的代数式表示xh（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，AMNMNAMNBCNMA1A与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少？1AMNBCNMyxy【答案】解：（1）MNBCAMNABC68hx34xh（2）1AMNAMN的边上的高为，1AMNMNh当点落在四边形内或边上时，1ABCNMBC=（0）1A MNyS211332248MN hxxx4x当落在四边形外时，如下图，1ABCNM(48)x设的边上的高为，1AEFEF1h则132662hhx11EFMNAEFAMN11AMNABCAEFABC1216A EFShSABC 16 8242ABCS 22363224122462EFxSxx1A1122233912241224828A MNA EFySSxxxxx 所以 291224(48)8yxxx 综上所述：当时，取，04x238yx4x 6y最大当时，48x2912248yxx 取，163x 8y最大86当时，最大，163x y8y最大MNCBEFAA12如图，抛物线经过三点(4 0)(10)(02)ABC，（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过 P 作轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点的PMx三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；OAC【答案】解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为(02)C，22yaxbx将，代入，(4 0)A，(1 0)B，得解得1642020abab.，1252ab.，此抛物线的解析式为215222yxx（2）存在如图，设点的横坐标为，Pm则点的纵坐标为，P215222mm当时，14m，4AMm215222PMmm 又，90COAPMA 当时，21AMAOPMOC，APMACO即21542222mmm解得（舍去），1224mm，(21)P，当时，即12AMOCPMOAAPMCAO2152(4)222mmm 解得，（均不合题意，舍去）14m 25m 当时，14m(2 1)P，类似地可求出当时，4m(52)P，当时，1m(314)P，综上所述，符合条件的点为或或P(2 1)，(52)，(314)，3如图，已知直线128:33lyx与直线2:216lyx 相交于点Cll12，、分别交x轴于AB、两点矩形DEFG的顶点DE、分别在直线12ll、上，顶点FG、都在x轴上，且点G与点B重合 （1）求ABC的面积；（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)tt秒，矩形DEFG与ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围ADBEOCFxyyy1l2l（G）【答案】（1）解：由28033x，得4xA 点坐标为4 0，由2160 x，得8xB点坐标为8 0，8412AB 由2833216yxyx，解得56xy，C点的坐标为5 6，1112 63622ABCCSAB y （2）解：点D在1l上且2888833DBDxxy，D点坐标为88，又点E在2l上且821684EDEEyyxx，E点坐标为4 8，8448OEEF，（3）解法一：当03t 时，如图 1，矩形DEFG与ABC重叠部分为五边形CHFGR（0t 时，为四边形CHFG）过C作CMAB于M，则RtRtRGBCMBADBEORFxyy1ly2lM（图 3）GCADBEOCFxyy1ly2lG（图 1）RMADBEOCFxyy1ly2lG（图 2）RMBGRGBMCM，即36tRG，2RGtRtRtAFHAMC，11236288223ABCBRGAFHSSSStttt 即241644333Stt 当时，如图 2，为梯形面积，G（8t,0）GR=,83 t32838)8(32tt3803832838)4(32 421ttts当时，如图 3,为三角形面积，128 t4883)12)(328(212tttts4如图，矩形中，厘米，厘米（）动点同时从点出发，分别沿ABCD3AD ABa3a MN，B，运动，速度是 厘米秒过作直线垂直于，分别交，于当BABC1MABANCDPQ，点到达终点时，点也随之停止运动设运动时间为 秒NCMt（1）若厘米，秒，则_厘米；4a 1t PM（2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；5a tPNBPAD（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；PMBNPQDAa（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的PMBNPQDAPQCN面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由a【答案】解：（1），34PM（2），使，相似比为2t PNBPAD3:2DQCPNBMADQCPNBMA（3），PMABCBABAMPABC，即，AMPABCPMAMBNAB()PMatt atPMtaa，(1)3t aQMa当梯形与梯形的面积相等，即PMBNPQDA()()22QPAD DQMPBN BM化简得，()33(1)()22t attaatt taa66ata，则，3t 636aa636aa，（4）时梯形与梯形的面积相等36aPMBNPQDA梯形的面积与梯形的面积相等即可，则PQCNPMBNCNPM，把代入，解之得，所以()3tatta66ata2 3a 2 3a 所以，存在，当时梯形与梯形的面积、梯形的面积相等a2 3a PMBNPQDAPQCN5如图，已知ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s），解答下列问题：（1）当 t2 时，判断BPQ 的形状，并说明理由；（2）设BPQ 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式；（3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，APRPRQ？【答案】解：(1)BPQ 是等边三角形,当 t=2 时,AP=21=2,BQ=22=4,所以 BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为B=600,所以BPQ 是等边三角形.(2)过 Q 作 QEAB,垂足为 E,由 QB=2y,得 QE=2tsin600=t,由 AP=t,得 PB=6-t,3所以 SBPQ=BPQE=(6-t)t=t2+3t；21213233(3)因为 QRBA,所以QRC=A=600，RQC=B=600，又因为C=600,所以QRC 是等边三角形,所以 QR=RC=QC=6-2t.因为 BE=BQcos600=2t=t,21所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以 EPQR,EP=QR,所以四边形 EPRQ 是平行四边形,所以 PR=EQ=t,又因为PEQ=900,所以APR=PRQ=900.因为APRPRQ,3所以QPR=A=600,所以 tan600=,即,所以 t=,PRQR3326tt56所以当 t=时,APRPRQ56 6在直角梯形 OABC 中，CBOA，COA90，CB3，OA6，BA3分别以 OA、OC 边所5在直线为 x 轴、y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系（1）求点 B 的坐标；（2）已知 D、E 分别为线段 OC、OB 上的点，OD5，OE2EB，直线 DE 交 x 轴于点 F求直线 DE的解析式；（3）点 M 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在 x 轴上方的平面内是否存在另一个点 N使以O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由ABDE（第 26 题 图 1）FCOMNxy 图 7-2ADOBC21MN图 7-1ADBMN12图 7-3ADOBC21MNO.7在图 15-1 至图 15-3 中，直线 MN 与线段 AB 相交于点 O，1=2=45（1）如图 15-1，若 AO=OB，请写出 AO 与 BD 的数量关系和位置关系；（2）将图 15-1 中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到图 15-2，其中 AO=OB求证：AC=BD，AC BD；（3）将图 15-2 中的 OB 拉长为 AO 的 k 倍得到图 15-3，求的值ACBD【答案】解：（1）AO=BD，AOBD；（2）证明：如图 4，过点 B 作 BECA 交 DO 于 E，ACO=BEO图 4ADOBC21MNEF 又AO=OB，AOC=BOE，AOC BOEAC=BE 又1=45，ACO=BEO=135DEB=452=45，BE=BD，EBD=90AC=BD 延长 AC 交 DB 的延长线于 F，如图4BEAC，AFD=90ACBD（3）如图 5，过点 B 作 BECA 交 DO 于 E，BEO=ACO又BOE=AOC，BOE AOC AOBOACBE又OB=kAO，由（2）的方法易得 BE=BD kACBD10如图，已知过 A（2，4）分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 M、N，若点 P 从 O 点出发，沿 OM 作匀速运动，1 分钟可到达 M 点，点 Q 从 M 点出发，沿 MA 作匀速运动，1 分钟可到达 A 点。（1）经过多少时间，线段 PQ 的长度为 2？（2）写出线段 PQ 长度的平方 y 与时间 t 之间的函数关系式和 t 的取值范围；（3）在 P、Q 运动过程中，是否可能出现 PQMN？若有可能，求出此时间 t；若不可能，请说明理由；（4）是否存在时间 t，使 P、Q、M 构成的三角形与MON 相似？若存在，求出此时间 t；若不可能，请说明理由；Y N A Q O P M X AOBC1D2图 5MNE