资源描述
一次函数
知识点：函数的概念
定义：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．
例1：求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)； (2)．
例2：圆柱底面半径为5cm，则圆柱的体积V（cm3）与圆柱的高h（cm）之间的函数关系式为 ，它是 函数．
知识点：一次函数的概念
定义：一次函数：若两个变量x、y间的关系可以表示成 （k、b 为常数，k≠0）形式，则称y是x的一次函数（x是自变量，y是因变量）．特别地，当b＝0时，称y是x的____________．正比例函数是一次函数的特殊情况．
例1：有下列函数：①y＝－x－2；②y＝－；③y＝－x2＋（x +1）(x－2)；④y＝－2，
其中不是一次函数的是 ．（填序号）
例2：要使y＝（m－2）xn－1＋n是关于x的一次函数，则m、n应满足______________．
例3：已知y=(k－1)是正比例函数，则k= ．
【变式练习】
1、若函数y = (k＋1)x＋k2－1是正比例函数，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．±1 D．－1
2、若是正比例函数，则b的值是（ ）
A. 0 B. C. D.
3.下列关于x的函数中，是一次函数的是（ ）
考点：正比例函数的图象和性质
例1 已知正比例函数y = kx ( k≠0 ) 的图象过第二、四象限，则（ ）
A．y随x的增大而减小
B．y随x的增大而增大
C．当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小
D．不论x如何变化，y不变
例2 已知是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值为_______.
【变式练习】
1、正比例函数，当m 时，y随x的增大而增大.
2、函数y = (k －1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )
A. B. C. D.
考点：一次函数的图象和性质
总结：一次函数的图象
一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b)，（－，0）的一条直线
正比例函数y=kx的图象是经过原点（0，0）的一条直线，如下表所示．
例1：已知函数y=(m－3)x－，当m________时，y随x的增大而增大；当m_________时，y随x的增大而减小．
例2：已知正比例函数y=(3k－1)x，y随着x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k <0 B．k >0 C．k < D．k >
例3：如图，表示一次函数与正比例函数（为常数，且）图象的是（ ）
Ｏ
x
y
x
y
Ｏ
x
y
Ｏ
x
y
Ｏ
Ａ．
Ｂ．
C．
D．
【变式练习】
1、两个一次函数y1= mx＋n，y2= nx＋m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
2、已知函数，当时，y的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3、若关于x的函数是一次函数，则m= ，n .
4、若m < 0，n > 0，则一次函数y= mx + n的图象不经过（ ）
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
考点：直线的平移:
例1：在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象．
y＝2x与y＝2x＋3
观察y＝2x与y＝2x＋3两条直线，它们有什么样的位置关系?
请回答：两条直线与平行，那么____，____
直线的平移: 左“+”右“－”，上“+”下“－”
向左（右）平移p个单位
向上（下）平移p个单位
点的平移同样按照“左‘+’右‘－’，上‘+’下‘－’”．平移几个单位就加上或者减去几．
例2：直线y＝－2x与直线y＝－2x－4的位置关系是__________．
函数y＝－2x－4图象可以由函数y＝－2x的图象向______平移_____个单位得到．
【变式练习】
1、下列说法是否正确，为什么?
（1）直线y = 3x＋1与y =－3x＋1平行；
（2）直线与重合；
（3）直线y=－x－3与y=－x平行；
（4）直线与相交.
2、将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线 ；将直线y＝－x－5向上平移5个单位，得到直线 .
考点：用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入：
（1）设一次函数表达式为y=kx+b；
（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；
（3）求出k与b的值；
（4）将k、b的值带入y=kx+b，得到函数表达式．
例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（－1，－3）求此一次函数的关系式．
解：设一次函数的关系式为y＝kx+b（k≠0），
由题意可知， 解 ∴此函数的关系式为y=．
例1：已知正比例函数的图象如下图如示，则正比例函数的解析式为多少?
例2：已知弹簧的长度y（厘米）在一定的限度内是所挂物质量x（千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米，求这个一次函数的关系式
例3：一次函数y＝3x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求b.
例4. 若一次函数y=kx+b的图象经过（0，1）和（－1，3）两点，则此函数的解析式为_____________.
例5、若正比例函数y = kx的图象经过点（1，2），则此函数的解析式为_____________.
例6. 直线y＝2x＋8与x轴和y轴的交点的坐标分别是_______、_______.
例7、已知一次函数的图象经过A(－2，－3)，B(1，3)两点.
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)试判断点P(－1，1)是否在这个一次函数的图象上；
(3)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积.
【变式练习】
1. 油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量 Q（升）与流出时间t(分钟）的函数关系是（ ）
A．Q＝0.2t B．Q＝20－0.2t C．t=0.2Q D．t=20—0.2Q
2. 若正比例函数的图象经过（－l，5）那么这个函数的表达式为__________，y的值随x 的减小而____________
3. 若一次函数y=kx－3经过点(3，0)，则k= ，该图象还经过点( 0， ）和（ ，－2）
4. 一某市市内出租车行程在 4km以内（含 4km）收起步费 8元，行驶超过4km时，每超过1 km，加收1．80元，当行程超出4km时收费y元与所行里程x(km）之间的函数关系式 ．
5. 小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图l－6－3所示，那么小李赚了（ ）
A．32元 B．36元 C．38元 D．44元
6. 直线 y=x＋4与 x轴交于 A，与y轴交于B， O为原点，则△AOB的面积为（ ）
A．12 B．24 C．6 D．10
7.一次函数的图象如图l－6－42所示，那么这个一次函数的表达式是（ ）
A．y＝－2x＋2 B．y＝－2x－2 C．y＝ 2x＋2 D．y＝2x－2
考点：一次函数的应用
例1. 如果每盒圆珠笔有12支，售价6元，那么圆珠笔的售价y（元）与圆珠笔的支数x(支）之间的关系式是（ ）
A．y= x B．y=2x C．y=6x D．y=12x
例2. 幸福村办工厂，今年前五个月生产某种产品的总量C（件）关于时间t（月）的函数图象如图l－6－43所示，则该工厂对这种产品来说（ ）
A．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月每月生产总量逐月减小
B．l月至3月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平
C．l月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产
D．l月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产
例3. 在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为y(km)，y与x的函数关系如图所示．根据图像信息，解答下列问题：
(1)这辆汽车的往、返速度是否相同? 请说明理由；
(2)求返程中y与x之间的函数表达式；
(3)求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．
【变式练习】
1、一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米．小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图l－6－44中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S(米）与登山所用的时间t（分）的关系（从爸爸开始登山时计时）．根据图象，下列说法错误的是（ ）
A．爸爸登山时，小军已走了50米
B．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面
C．小军比爸爸晚到山顶
D．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟后登山的速度比小军快
2. 某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发. 该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费. 月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的函数图像如图所示.
⑴ 月用电量为100度时，应交电费 元；
⑵ 当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；
⑶ 月用电量为260度时，应交电费多少元?
基础练习
1. 下列函数是一次函数的是 ．
①y=2x；②y=3+4x；③y=0.5；④y=ax（a≠0的常数）；⑤xy=3；⑥2x+3y－1=0；
2. 若函数y=(m－2)x+5是一次函数，则m满足的条件是____________．
3．已知y与x－1成正比例，且x=2时，y＝7．
（1）写出y与x之间的函数关系：_________；（2）y与x之间是_________函数关系
4．已知一次函数y＝kx＋5的图象经过点（－1，2），则k＝_______，图象不经过_______象限．
6.如果直线y=kx+b经过一、二、四象限，那么有（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k < 0，b＜0 D．k＜0，b＞0
7. 已知函数：①y=－x，②y=7－3x，③y=3x－1，④y=3x2，⑤y= ，⑥y= 中，正比例函数有（ ）
A．①⑤ B．①④ C．①③ D．③⑥
8．（1）当m= 时，y=是一次函数．
（2）我国是一个水资源缺乏的国家，大家要节约用水．据统计，拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2 滴水，每滴水约0.05毫升．李丽同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当李丽同学离开x小时后水龙头滴了y毫升水．则y与x之间的函数关系式是 ．
（4）设圆的面积为s，半径为R，那么下列说法正确的是（ ）
A．S是R的一次函数 B．S是R的正比例函数
C．S是的正比例函数 D．以上说法都不正确
9．已知一次函数y=(m＋2)x＋m －m－4的图象经过点（0，2），则m的值是( )
A．2 B．－2 C．－2或3 D．3
10．直线y=－x+2与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ．
直线y=－x－1与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ．
直线y=4x－2与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ．
直线y=与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ．
12. 在下列四个函数中，的值随值的增大而减小的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
13、直线和的位置关系是 ，直线可以看作是直线向 平移 个单位得到的．
14. 将直线y＝－2x＋3向下平移5个单位，得到直线 ．
15. 直线y＝kx－4平行于直线y＝－2x，则直线的解析式为 ；
16．xx每台月租费28元，市区内xx（三分钟以内）每次0.20元，若某台xx每次通话均不超过3分钟，则每月应缴费y（元）与市内xx通话次数x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝28x＋0.20 B．y＝0.20x＋28x C．y＝0.20x＋28 D．y＝28－0.20x
17．某人购进一批苹果到集市上零售，已知卖出的苹果x（千克）与销售的金额y元的关系如下表：
x（千克）
1
2
3
4
5
…
y（元）
2+0.1
4+0.2
6+0.3
8+0.4
10+0.5
…
（1）写出y与x的函数关系式：___________；
（2）该商贩要想使销售的金额达到250元，至少需要卖出多少千克的苹果?
18．如图2－4，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t（小时）与山高h（千米）间的函数关系用图象表示是（ ）
19．一次函数的图象与y轴的交点坐标是_________，与x轴的交点坐标是_________．一般的，一次函数y＝kx＋b与y轴的交点坐标是__________，与x轴的交点坐标是__________．
20．依据给定的条件，求一次函数的解析式．
（1）已知一次函数的图象如图4－5所示，求此一次函数的解析式，并判断点（6，5）是否在此函数图象上．
图4－5
（2）已知一次函数y＝2x＋b的图象与y轴的交点到x轴的距离是4，求其函数解析式．
21．依据给定的条件，求一次函数解析式：y＝ax＋7经过一次函数y＝4－3x和y＝2x－1的交点．
22、已知函数轴交点的纵坐标为，且当x=1时，y=2，则此函数的解析式。
23. 已知y－1与成正比例，且x＝2时，y＝5，写出y与x之间的函数关系式。
24．如图3－4，居室窗户的高90cm，活动窗拉开的最大距离是80cm．如果活动窗拉开xcm时，窗户的通风面积是ycm2．
（1）试确定这个函数的解析式并指出自变量x的取值范围；
（2）画出这个函数的图象．
图3－4
25．某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：
砝码的质量(x克)
0
50
100
150
200
250
300
400
500
指针位置(y厘米)
2
3
4
5
6
7
7.5
7.5
7.5
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）y关于x的函数图象是（ ）
图6－5
26．气温随着高度的增加而下降，下降的一般规律是从地面到高空11km处，每升高1km，气温下降6℃．高于11km时，气温几乎不再变化，设地面的气温为38℃，高空中xkm的气温为y℃．当0≤x≤11时，求y与x之间的关系式．
27．我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某市制定了每月用水4吨以内（包括4吨）和用水4吨以上两种收费标准（收费标准：每吨水的价格），某用户每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其函数图象如图6－6所示．
（1）观察图象，求出函数在不同范围内的解析式；
（2）说出自来水公司在这两个用水范围内的收费标准；
（3）若某用户该月交水费12.8元，求该户用了多少吨水．
图6－6
提高练习
x
y
O
3
第2题图
1．一次函数的图象过点A（5，3）且平行于直线y=3x－，则这个函数的解析式为________.
2. 一次函数与的图象如图，则下列结论：
①；②；③当时，中，正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知一次函数图象经过点（2，3），且与y轴交点的纵坐标为4，则这个函数的表达式是____．
4、一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点 B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是 ；直线BC的解析式为 ．
5. 若 ab＞0，bc<0，则直线y=－x－不通过（ ）
A.第一象限 B.第一象限 C.第三象限 D.第四象限
6. 已知一次函数y= x+m和y= －x+n的图象都经过点A（－2，0）且与y轴分别交于B、C两点，那么△ABC的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．已知函数的图象如图，则的图象可能是( )
第7题图
图(1)
2
O
5
x
A
B
C
P
D
图(2)
第9题图
9. 如图(1)，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至
点D停止．设点P运动的路程为，△ABP的面积为y，如果y关于x的函
数图象如图(2)所示，则△BCD的面积是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
10. 如图，在中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s (米)与时间t (秒)之间的函数关系的图象分别为折线OABC和线段OD，下列说法正确的是( )
A．乙比甲先到终点
B．乙测试的速度随时间增加而增大
C．比赛到29.4秒时，两人出发后第一次相遇
D．比赛全程甲测试速度始终比乙测试速度快
11. 小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达
点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．
下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保
持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是( )
A．12分钟 B．15分钟 C．25分钟 D．27分钟
12、如右图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形的边上有一动点沿运动一周，则的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是( )
1
2
3
4
1
2
y
s
O
1
2
3
4
1
2
y
s
O
s
1
2
3
4
1
2
y
s
O
1
2
3
4
1
2
y
O
A.
B.
C.
D.
Q
P
R
M
N
(图1)
(图2)
4
9
y
x
O
13、如图1，在矩形中，动点从点出发，沿→→→方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则当时，点应运动到( )
A．处 B．处 C．处 D．处
14. 求函数与x轴、y轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积.
15、已知两直线y1=2x－3，y2=6－x（1）在同一坐标系中作出它们的图象．（2）求它们的交点A的坐标．（3）根据图象指出x为何值时，y1＞y2；x为何值时，y1＜y2．（4）求这两条直线与x轴所围成的△ABC的面积．
16、已知一次函数y=kx+b的图像经过点A(0，2)和点B(－a，3)且点B在正比例函数y=－3x的图像上.(1) 求a的值；(2) 求一次函数的解析式.
17. 如图，直线l1、l2相交于点A，l1与x轴的交点坐标为(－1，0)，l2与y轴的交点坐标为(0，－2)，结合图象解答下列问题：
(1)求出直线l2表示的一次函数表达式；
(2)当x为何值时，l1、l2表示的两个一次函数的函数值都大于0?
18. 已知直线 y=x＋2与直线 y= x＋2交于 C点，直线y= －x+2与x轴交点为A，直线y= x+2与x轴交点为B．求△ABC的面积．
19．有一长方形AOBC纸片放在如图3-3所示的坐标系中，且长方形的两边的比为OA：AC＝2：1.
（1）求直线OC的解析式；
（2）求出x＝－5时，函数y的值；
（3）求出y＝－5时，自变量x的值；
（4）画这个函数的图象；
（5）根据图象回答，当x从2减小到－3时，y的值是如何变化的?
图3－3
20．如图5－1，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数．下表是测得的指距与身高的数据：
指距d(cm)
20
22
身高h(cm)
160
178
（1）求出h与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）；
（2）某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少?
图5－1
21．某造纸厂污水处理的剩余污水随着时间的增加而减少，剩余污水量V（万米3）与污水处理时间t（天）的关系如图5－2所示，
（1）由图象求出剩余污水量V（万米3）与污水处理时间t（天）之间的函数解析式；
（2）污水处理连续10天，剩余污水还有多少万立方米?
（3）按照图中的规律，若想将全部污水处理干净，需要连续处理污水多少天?
（4）平均一天可处理污水多少万立方米?
图5－2
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