复数知识点总结.pdf

1复数复数1、复数的概念复数的概念1.虚数单位 i（1）它的平方等于，即；12i1（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律（3）i 的乘方：，它们不超出的形式4414243*i1,ii,i1,ii,Nnnnnn ib2.复数的定义 形如的数叫做复数，分别叫做复数的实部与虚部 i(,)Rab a b,a b3.复数相等，即，那么这两个复数相等 iiabcd,ac bd4.共轭复数 时，izabizab性质：；zz 2121zzzz1121zzzz);0()(22121zzzzz2、复平面及复数的坐标表示复平面及复数的坐标表示1.复平面 在直角坐标系里，点 z 的横坐标是，纵坐标是，复数可用点来abizab(,)Z a b表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴2.复数的坐标表示 点点(,)Z a b3.复数的向量表示 向量向量OZ 4.复数的模在复平面内，复数对应点，点 Z 到原点的距离叫做复数 z 的模，izab(,)Z a bOZ 记作由定义知，z22zab3、复数的运算复数的运算1.加法 (i)(i)()()iabcdacbd2几何意义：几何意义：设对应向量，对应向量，则1izab1(,)OZa b 2izcd2(,)OZc d 对应的向量为因此复数的和可以在复平面上用平行四12zz12(,)OZOZac bd 边形法则解释2.减法 (i)(i)()()iabcdacbd几何意义：几何意义：设对应向量，对应向量，则1izab1(,)OZa b 2izcd2(,)OZc d 对应的向量为12zz1221(,)OZOZZ Zac bd 表示、两点之间的距离，也2212()()i()()zzacbdacbd1Z2Z等于向量的模12Z Z3.乘法 abicdiacbd i.4.乘方 mnm nzzz()mnmnzz1212()nnnzzzz5.除法 22abicdiacbdbcad iabiabicdicdicdicdicd.6.复数运算的常用结论（1），222(i)2iababab22(i)(i)ababab（2），2(1 i)2i2(1 i)2i（3），1 ii1 i1 ii1 i（4），1212zzzz1212zzzz1122zzzzzz（5），2z zzzz（6）121212zzzzzz（7），1212zzzz1212zzzznnzz4、复数的平方根与立方根复数的平方根与立方根1.平方根 若，则是的一个平方根，也是2(i)iabcdiabicd(i)ab的平方根 （1 的平方根是）icdi32.立方根 如果复数、满足，则称是的立方根1z2z312zz1z2z（1）1 的立方根：21,，13i22 213i22 31210（2）的立方根：113131,i,i2222zz5、复数方程复数方程1.常见图形的复数方程（1）圆：（，为常数），表示以对应的点为圆心，为半径的圆0zzr0r 0z0z0Zr（2）线段的中垂线：（其中分别对应点）12Z Z12zzzz12,z z12,Z Z（3）椭圆：（其中且），表示以对应的点122zzzza0a 122zza12,z zF1、F2 为焦点，长轴长为的椭圆2a（4）双曲线：（其中且），表示以对应的122zzzza0a 122zza12,z z点 F1、F2 为焦点，实轴长为的双曲线2a2.实系数方程在复数范围内求根（1）求根公式：21,21,221,240 20 2i40 2bbacxabxabbacxa 一对实根一对相等的实根一对共轭虚根（2）韦达定理：1212bxxacx xa