九年级二次函数培优竞赛试题与答案01.pdf

.word 资料可编辑 .九年级二次函数培优竞赛试题及答案1在如在如图图的直角坐的直角坐标标系中系中，已知点已知点 A(2,0)、B(0，4)，将将线线段段 AB 绕绕点点 A 按按逆逆时针时针方向旋方向旋转转 90至至 AC(1)求点求点 C 的坐的坐标标；(2)若抛物若抛物线线 y x2ax4 经过经过点点 C14求抛物求抛物线线的解析式的解析式；在抛物在抛物线线上是否存在点上是否存在点 P(点点 C 除外除外)使使ABP 是以是以 AB 为为直角直角边边的等腰直角的等腰直角三角形三角形?若存在若存在，求出所有点求出所有点 P 的坐的坐标标；若不存在若不存在，请说请说明理由明理由.word 资料可编辑 .2如如图图 1，已知直已知直线线 y=x+3 与与 x 轴轴交于点交于点 A，与与 y 轴轴交于点交于点 B，抛物抛物线线 y=-x2+bx+c 经过经过 A、B 两点两点，与与 x 轴轴交于另一个点交于另一个点 C，对对称称轴轴与直与直线线 AB 交于点交于点E，抛物抛物线顶线顶点点为为 D.word 资料可编辑 .（1）求抛物求抛物线线的解析式的解析式；（2）在第三象限内在第三象限内，F 为为抛物抛物线线上一点上一点，以以 A、E、F 为顶为顶点的三角形面点的三角形面积为积为3，求点求点 F 的坐的坐标标；（3）点点 P 从点从点 D 出出发发，沿沿对对称称轴轴向下以每秒向下以每秒 1 个个单单位位长长度的速度匀速运度的速度匀速运动动，设设运运动动的的时间为时间为 t 秒秒，当当 t 为为何何值时值时，以以 P、B、C 为顶为顶点的三角形是直角三角点的三角形是直角三角形形？直接写出所有符合条件的直接写出所有符合条件的 t 值值.word 资料可编辑 .1.【解析解析】试题试题分析分析：（1）过过点点 C 作作 CD 垂直于垂直于 x 轴轴，由由线线段段 AB 绕绕点点 A 按逆按逆时针时针方向方向旋旋转转 90至至 AC，根据旋根据旋转转的旋的旋转转得到得到 AB=AC，且且BAC 为为直角直角，可得可得OAB与与CAD 互余互余，由由AOB 为为直角直角，可得可得OAB 与与ABO 互余互余，根据同角的余角根据同角的余角相等可得一相等可得一对对角相等角相等，再加上一再加上一对对直角相等直角相等，利用利用 ASA 可可证证明三角形明三角形 ACD 与与三角形三角形 AOB 全等全等，根据全等三角形的根据全等三角形的对应边对应边相等可得相等可得 AD=OB，CD=OA，由由A 和和 B 的坐的坐标标及位置特点求出及位置特点求出 OA 及及 OB 的的长长，可得出可得出 OD 及及 CD 的的长长，根据根据C 在第四象限得出在第四象限得出 C 的坐的坐标标；（2）由已知的抛物由已知的抛物线经过线经过点点 C，把第一把第一问问求出求出 C 的坐的坐标标代入抛物代入抛物线线解析式解析式，.word 资料可编辑 .列出关于列出关于 a 的方程的方程，求出方程的解得到求出方程的解得到 a 的的值值，确定出抛物确定出抛物线线的解析式的解析式；假假设设存在点存在点 P 使使ABP 是以是以 AB 为为直角直角边边的等腰直角三角形的等腰直角三角形，分三种情况考分三种情况考虑虑：（i）A 为为直角直角顶顶点点，过过 A 作作 AP1垂直于垂直于 AB，且且 AP1=AB，过过 P1作作 P1M垂直于垂直于 x 轴轴，如如图图所示所示，根据一根据一对对顶对对顶角相等角相等，一一对对直角相等直角相等，AB=AP1，利利用用 AAS 可可证证明三角形明三角形 AP1M 与三角形与三角形 ACD 全等全等，得出得出 AP1与与 P1M 的的长长，再再由由 P1为为第二象限的点第二象限的点，得出此得出此时时 P1的坐的坐标标，代入抛物代入抛物线线解析式中解析式中检验满检验满足足；（ii）当当 B 为为直角直角顶顶点点，过过 B 作作 BP2垂直于垂直于 BA，且且 BP2=BA，过过 P2作作 P2N 垂垂直于直于 y 轴轴，如如图图所示所示，同理同理证证明三角形明三角形 BP2N 与三角形与三角形 AOB 全等全等，得出得出 P2N与与 BN 的的长长，由由 P2为为第三象限的点第三象限的点，写出写出 P2的坐的坐标标，代入抛物代入抛物线线解析式中解析式中检检验满验满足足；（iii）当当 B 为为直角直角顶顶点点，过过 B 作作 BP3垂直于垂直于 BA，且且 BP3=BA，如如图图所示所示，过过 P3作作 P3H 垂直于垂直于 y 轴轴，同理可同理可证证明三角形明三角形 P3BH 全等于三角形全等于三角形AOB，可得出可得出 P3H 与与 BH 的的长长，由由 P3为为第四象限的点第四象限的点，写出写出 P3的坐的坐标标，代入代入抛物抛物线线解析式解析式检验检验，不不满满足足，综综上上，得到所有得到所有满满足足题题意的意的 P 的坐的坐标标试题试题解析解析：（1）过过 C 作作 CDx 轴轴，垂足垂足为为 D，BAAC，OAB+CAD=90，又又AOB=90，OAB+OBA=90，CAD=OBA，又又 AB=AC，AOB=ADC=90，AOB CDA，又又 A（1，0），B（0，2），OA=CD=1，OB=AD=2，.word 资料可编辑 .OD=OA+AD=3，又又 C 为为第四象限的点第四象限的点，C 的坐的坐标为标为（3，1）；（2）抛物抛物线线 y=x2+ax+2 经过经过点点 C，且且 C（3，1），12把把 C 的坐的坐标标代入得代入得：1=+3a+2，解得解得：a=，9212则则抛物抛物线线的解析式的解析式为为 y=x2+x+2；1212存在点存在点 P，ABP 是以是以 AB 为为直角直角边边的等腰直角三角形的等腰直角三角形，（i）若以若以 AB 为为直角直角边边，点点 A 为为直角直角顶顶点点，则则延延长长 CA 至点至点 P1使得使得 P1A=CA，得到等腰直角三角形得到等腰直角三角形 ABP1，过过点点 P1作作P1Mx 轴轴，如如图图所示所示，AP1=CA，MAP1=CAD，P1MA=CDA=90，AMP1 ADC，AM=AD=2，P1M=CD=1，P1（1，1），经检验经检验点点 P1在抛物在抛物线线 y=x2+x+2 上上；1212（ii）若以若以 AB 为为直角直角边边，点点 B 为为直角直角顶顶点点，则过则过点点 B 作作 BP2BA，且使得且使得BP2=AB，得到等腰直角三角形得到等腰直角三角形 ABP2，过过点点 P2作作 P2Ny 轴轴，如如图图，.word 资料可编辑 .同理可同理可证证BP2N ABO，NP2=OB=2，BN=OA=1，P2（2，1），经检验经检验 P2（2，1）也在抛物也在抛物线线 y=x2+x+2 上上；1212（iii）若以若以 AB 为为直角直角边边，点点 B 为为直角直角顶顶点点，则过则过点点 B 作作 BP3BA，且使得且使得BP3=AB，得到等腰直角三角形得到等腰直角三角形 ABP3，过过点点 P3作作 P3Hy 轴轴，如如图图，同理可同理可证证BP3H BAO，HP3=OB=2，BH=OA=1，P3（2，3），经检验经检验 P3（2，3）不在抛物不在抛物线线 y=x2+x+2 上上；1212则则符合条件的点有符合条件的点有 P1（1，1），P2（2，1）两点两点考点考点：1.二次函数二次函数综综合合题题 2.点的坐点的坐标标 3.等腰直角三角形等腰直角三角形2.【答案答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）（，）（3）当当 t 为为秒秒3212 3212 43或或 2 秒或秒或 3 秒或秒或秒秒时时，以以 P、B、C 为顶为顶点的三角形是直角三角形点的三角形是直角三角形143【解析解析】.word 资料可编辑 .试题试题分析分析：（1）先由直先由直线线 AB 的解析式的解析式为为 y=x+3，求出它与求出它与 x 轴轴的交点的交点 A、与与 y 轴轴的交点的交点 B 的坐的坐标标，再将再将 A、B 两点的坐两点的坐标标代入代入 y=-x2+bx+c，运用待定运用待定系数法即可求出抛物系数法即可求出抛物线线的解析式的解析式；（2）设设第三象限内的点第三象限内的点 F 的坐的坐标为标为（m，-m2-2m+3），运用配方法求出抛物运用配方法求出抛物线线的的对对称称轴轴及及顶顶点点 D 的坐的坐标标，再再设设抛物抛物线线的的对对称称轴轴与与 x 轴轴交于点交于点 G，连连接接FG，根据根据 SAEF=SAEG+SAFG-SEFG=3，列出关于列出关于 m 的方程的方程，解方程求出解方程求出 m的的值值，进进而得出点而得出点 F 的坐的坐标标；（3）设设 P 点坐点坐标为标为（-1，n）先由先由 B、C 两点坐两点坐标标，运用勾股定理求出运用勾股定理求出BC2=10，再分三种情况再分三种情况进进行行讨论讨论：PBC=90，先由勾股定理得出先由勾股定理得出PB2+BC2=PC2，据此列出关于据此列出关于 n 的方程的方程，求出求出 n 的的值值，再再计计算出算出 PD 的的长长度度，然后根据然后根据时间时间=路程路程速度速度，即可求出此即可求出此时对应时对应的的 t 值值；BPC=90，同同可可求出求出对应对应的的 t 值值；BCP=90，同同可求出可求出对应对应的的 t 值值试题试题解析解析：（1）y=x+3 与与 x 轴轴交于点交于点 A，与与 y 轴轴交于点交于点 B，当当 y=0 时时，x=-3，即即 A 点坐点坐标为标为（-3，0），当当 x=0 时时，y=3，即即 B 点坐点坐标为标为（0，3），将将 A（-3，0），B（0，3）代入代入 y=-x2+bx+c，得得，解得解得，930c3bc 23bc 抛物抛物线线的解析式的解析式为为 y=-x2-2x+3；（2）如如图图 1，.word 资料可编辑 .设设第三象限内的点第三象限内的点 F 的坐的坐标为标为（m，-m2-2m+3），则则 m0，-m2-2m+30y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，对对称称轴为轴为直直线线 x=-1，顶顶点点 D 的坐的坐标为标为（-1，4），设设抛物抛物线线的的对对称称轴轴与与 x 轴轴交于点交于点 G，连连接接 FG，则则 G（-1，0），AG=2直直线线 AB 的解析式的解析式为为 y=x+3，当当 x=-1 时时，y=-1+3=2，E 点坐点坐标为标为（-1，2）SAEF=SAEG+SAFG-SEFG=22+2（m2+2m-3）-2（-1-121212m）=m2+3m，以以 A、E、F 为顶为顶点的三角形面点的三角形面积为积为 3 时时，m2+3m=3，解得解得：，（舍去舍去），13212m 23212m 当当时时，-m2-2m+3=-m2-3m+m+3=-3+m+3=m=，3212m 3212 点点 F 的坐的坐标为标为（，）；3212 3212（3）设设 P 点坐点坐标为标为（-1，n）.word 资料可编辑 .B（0，3），C（1，0），BC2=12+32=10分三种情况分三种情况：如如图图 2，如果如果PBC=90，那么那么 PB2+BC2=PC2，即即（0+1）2+（n-3）2+10=（1+1）2+（n-0）2，化化简简整理得整理得 6n=16，解得解得 n=，83P 点坐点坐标为标为（-1，），83顶顶点点 D 的坐的坐标为标为（-1，4），PD=4-=，8343点点 P 的速度的速度为为每秒每秒 1 个个单单位位长长度度，t1=；43如如图图 3，如果如果BPC=90，那么那么 PB2+PC2=BC2，.word 资料可编辑 .即即（0+1）2+（n-3）2+（1+1）2+（n-0）2=10，化化简简整理得整理得 n2-3n+2=0，解得解得 n=2 或或 1，P 点坐点坐标为标为（-1，2）或或（-1，1），顶顶点点 D 的坐的坐标为标为（-1，4），PD=4-2=2 或或 PD=4-1=3，点点 P 的速度的速度为为每秒每秒 1 个个单单位位长长度度，t2=2，t3=3；如如图图 4，如果如果BCP=90，那么那么 BC2+PC2=PB2，即即 10+（1+1）2+（n-0）2=（0+1）2+（n-3）2，化化简简整理得整理得 6n=-4，解得解得 n=-，23.word 资料可编辑 .P 点坐点坐标为标为（-1，-），23顶顶点点 D 的坐的坐标为标为（-1，4），PD=4+=，23143点点 P 的速度的速度为为每秒每秒 1 个个单单位位长长度度，t4=；143综综上可知上可知，当当 t 为为秒或秒或 2 秒或秒或 3 秒或秒或秒秒时时，以以 P、B、C 为顶为顶点的三角形点的三角形43143是直角三角形是直角三角形