高中数学椭圆的经典知识总结.pdf

高中数学椭圆的经典知识总结高中数学椭圆的经典知识总结椭圆知识点总结椭圆知识点总结1.1.椭圆的定义椭圆的定义：1,2（1）椭圆椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为x12222byax222abccossinxayb参数），焦点在轴上时1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？y2222bxay0ab22AxByC（ABC0，且 A，B，C 同号，AB）。2.2.椭圆的几何性质椭圆的几何性质：（1）椭圆椭圆（以（）为例）：范围：；焦点：两12222byax0ab,axabyb 个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0)c0,0 xy，其中长轴长为 2，短轴长为 2；准线：两条准线；离心率：(,0),(0,)abab2axc，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。通径cea01eee22ba2.点与点与椭圆的位置关系椭圆的位置关系：（1）点在椭圆外；00(,)P xy2200221xyab（2）点在椭圆上1；00(,)P xy220220byax（3）点在椭圆内00(,)P xy2200221xyab3 3直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：直线与椭圆相交；（2）相切：直线与椭圆相切；（3）相离：0 0 直线与椭圆相离；0 如如:直线 ykx1=0 与椭圆恒有公共点，则 m 的取值范围是_（答：2215xym1，5）（5，+）；4 4、焦半径、焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离）的计算方法的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。0redaexd如（如（1 1）已知椭圆上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距离为1162522yx_（答：10/3）；（2 2）椭圆内有一点，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使 之值13422yx)1,1(PMFMP2最小，则点 M 的坐标为_（答：）；)1,362(5 5、焦点三角形、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题问题：，当即为短轴端点时，的最大值为 bc；20tan|2Sbc y0|ybPmaxS6 6、弦长公式、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点 A、B，且分别为 A、B 的横坐标，ykxb12,x x则，若分别为 A、B 的纵坐标，则，若弦 AB 所AB2121kxx12,y yAB21211yyk在直线方程设为，则。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的xkybAB2121kyy弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。7 7、圆锥曲线的中点弦问题：、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理韦达定理”或或“点差法点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率 k=；12222byax00(,)P xy0202yaxb如（如（1 1）如果椭圆弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 221369xy（答：）；（2 2）已知直线 y=x+1 与椭圆相交于 A、B 两点，280 xy22221(0)xyabab且线段 AB 的中点在直线 L：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为_（答：）；（3 3）试确22定 m 的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称（答：13422yxmxy 4）；2 13 2 13,1313特别提醒特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问0 题时，务必别忘了检验！0 椭圆知识点椭圆知识点1 1如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式ba,确定标准方程的类型。2 2椭圆标准方程中的三个量的几何意义cba,椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆cba,的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，且)0(ba)0(ca。)(222cba可借助右图理解记忆：显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边，cba,b、c 为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。2x2y 4方程是表示椭圆的条件均不为零）CBACByAx,(22方程可化为，即，所以只有 A、B、C 同号，且 AB 时，方CByAx22122CByCAx122BCByACx程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。BCACxBCACy5求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；cba,定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则 c 相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，12222byax)0(ba12222mbymax)(2bm此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据：xy 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；xxy 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；yyx 若把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称。xyxy8如何求解与焦点三角形PF1F2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。2121sin2121PFFPFPFSFPF将有关线段，有关角()结合起来，建立、2121FFPFPF、21PFF21PFF21BFF21PFPF 之间的关系.21PFPF 9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，)10(eace222bac，用表示为。0 caba、)10()(12eabe显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越ab)10(eeab)10(ee趋近于圆。椭椭 圆圆题型题型 1:椭圆定义的运用椭圆定义的运用例 1、已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于 A、B 两点若，则12,F F221259xy1F2212F AF B_。AB 例 2、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、B 是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为 2c，静放在点 A 的小球（小球的半径不计），从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 例 3、如果方程表示焦点在 x 轴的椭圆，那么实数 k 的取值范围是_.222xky例 4、已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，P2212516xy,M N2231xy2234xy则的最小值为 PMPN题型题型 2：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程 例 1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)经过两点、；)2,3(A(2 3,1)B(2)经过点(2，3)且与椭圆具有共同的焦点.364922yx（3）一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4.4 2题型题型 3:求椭圆的离心率（或范围）求椭圆的离心率（或范围）例 1、中，若以为焦点的椭圆经过点，则椭圆的离心率ABC030,2,3ABCAABS,A BC为 .例 2、过椭圆的一个焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于 P，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 2F12FPF题型题型 4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例 1、已知实数满足,则的范围为 ,x y22142xy22xyx例 2、已知 P 是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值22221xyab12,F F12PFPF例 3、已知点是椭圆（）上两点,且,则=,A B22221xymn0,0mnAOBO 例 4、如上图，把椭圆的长轴分成 8 等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于2212516xyABx七个点，是椭圆的一个焦点，则_1,234567,P P P P P P PF1234567PFP FPFP FPFP FP F题型题型 5：焦点三角形问题：焦点三角形问题例 1、已知为椭圆的两个焦点，p 为椭圆上的一点，已知为一个直角三角形的三个12,F F22194xy12,P F F顶点，且,求的值；12PFPF12PFPF例 2、已知为椭圆 C:的两个焦点，在 C 上满足的点的个数为 12,F F22184xy12PFPF例 3、若为椭圆的两个焦点，p 为椭圆上的一点，当为钝角时，点 P 横坐标的取值范12,F F22194xy12FPF围为 例 4、已知椭圆的焦点是,且经过点（1，）求椭圆的方程;设点 P 在椭圆上,且)1,0(),1,0(21FF32,求 cos.121 PFPF21PFF题型题型 6:三角代换的应用三角代换的应用例 1、椭圆上的点到直线 l:的距离的最小值为_221169xy90 xy例 2、椭圆的内接矩形的面积的最大值为 221169xy题型题型 7：直线与椭圆的位置关系的判断：直线与椭圆的位置关系的判断例 1、当为何值时，直线与椭圆相交？相切？相离？myxm221169xy例 2、若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围；)(1Rkkxy1522myxm题型题型 8：弦长问题：弦长问题例 3求直线被椭圆所截得的弦长.24yx224199xy例 4、已知椭圆的左右焦点分别为 F1,F2，若过点 P（0，-2）及 F1的直线交椭圆于 A,B 两点，求2212xyABF2的面积；题型题型 9：中点弦问题：中点弦问题例 5、求以椭圆内的点 A（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。22185xy例 6、中心在原点，一个焦点为的椭圆截直线 所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方1(0,50)F32yx12程例 7、椭圆，与直线 相交于、两点，是 的中点若，斜221mxny1xy2 2AB 率为（O 为原点），求椭圆的方程22题型题型 10：椭圆与向量、解三角形的交汇问题：椭圆与向量、解三角形的交汇问题例 6、设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，,P x yxyABQPy为坐标原点，若，且，求点的轨迹方程;O2BPPA 1OQ AB P15.如图，在 RtABC 中，CAB=90，AB=2，AC=。一曲线 E 过点 C，动点 P 在曲线 E 上运动，且保22持|PA|+|PB|的值不变，直线 l 经过 A 与曲线 E 交于 M、N 两点。（1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程；（2）设直线 l 的斜率为 k，若MBN 为钝角，求 k 的取值范围。基础巩固训练基础巩固训练1.如图,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线与 BF 交于 D,且,则椭圆的离心1AB1BDB率为 2.设为椭圆的两焦点，P 在椭圆上，当面积为 1 时，的值为 12,F F2214xy12FPF12PF PF 3.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 221369xy4,2A4.在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ABC90A3tan4B,A BCe 5.若为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若,则此椭圆的离心率为 12,F F3:2:1:211221PFFFPFFPF6.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为 2，以 O 为圆心，为半径的圆，过点作22221(0)xyababa2(,0)ac圆的两切线互相垂直，则离心率=e综合提高训练综合提高训练7、已知椭圆与过点 A(2，0)，B(0，1)的直线 l 有且只有一个公共点 T，且椭圆的离心率22221(0)xyabab求椭圆方程；32e 8.已知 A、B 分别是椭圆的左右两个焦点，O 为坐标原点，点 P在椭圆上，线22221(0)xyabab21,2段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。（1）求椭圆的标准方程；（2）点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，求的sinsinsinABC值。9.已知长方形 ABCD,AB=,BC=1.以 AB 的中点为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系.2 2Oxoy()求以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的标准方程;()过点 P(0,2)的直线 交()中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,ll求出直线l的方程;若不存在,说明理由.OxyABCD图 8