2018届高考文科数学第一轮总复习检测2.doc

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第二节　不等式的证明

【最新考纲】通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．

1．基本不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
2．不等式证明的方法
(1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．

名称
作差比较法
作商比较法
理论
依据
a>b⇔a－b>0
a<b⇔a－b<0
a＝b⇔a－b＝0
b>0，>1⇒a>b
b<0，>1⇒a<b
(2)综合法与分析法
①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．
②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论(　　)
(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论(　　)
(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．(　　)
(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．若a>b>1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是(　　)
A．x>y　　　　　　　 B．x<y
C．x≥y D．x≤y
解析：x－y＝a＋－
＝a－b＋＝.
由a>b>1得ab>1，a－b>0，
所以>0.即x－y>0，所以x>y.
答案：A
3．已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________．
解析：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)
＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，
从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.
答案：M≥N
4．已知a>0，b>0且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________．
解析：由题意得，a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝(a＋b)＝2＋＋
≥2＋2 ＝4，
当且仅当a＝b＝时等号成立．
答案：4

一点注意
使用平均值不等式时易忽视等号成立的条件．
三种方法
1．比较法：作差比较法主要判断差值与0的大小，作商比较法在于判定商值与1的大小(一般要求分母大于0)．
2．分析法：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(结论)．
(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知)．
3．综合法：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(已知)．
(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)．

1．(2014·江苏卷)已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
证明：因为x>0，y>0，
所以1＋x＋y2≥3 >0，1＋x2＋y≥3 >0，
故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3 ·3 ＝9xy.

3．(2016·长春模拟)(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2；
(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.
证明：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.
因为a，b都是正数，所以a＋b>0.
又因为a≠b，所以(a－b)2>0.
于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，
所以a3＋b3>a2b＋ab2.
(2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.①
同理b2(a2＋c2)≥2ab2c.②
c2(a2＋b2)≥2abc2.③
①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，
从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．
由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，
因此≥abc.
4．(2014·课标全国Ⅰ卷)若a>0，b>0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
解：(1)由＝＋≥，得ab≥2，
当且仅当a＝b＝时等号成立．
故a3＋b3≥2 ≥4 ，且当a＝b＝时等号成立．
所以a3＋b3的最小值为4 .
(2)由(1)知，2a＋3b≥2 ·≥4 .
由于4 >6.
从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
5．(2016·石家庄)已知函数f(x)＝|x－1|.
(1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；
(2)若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f.
(1)解：f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|
＝
当x<－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5
当－3≤x≤1时，f(x)＋f(x＋4)≥8不成立．
当x>1时，由2x＋2≥8，解得x≥3.
所以不等式的解集为{x|x≤－5或x≥3}
(2)证明：依题设f(ab)>|a|f⇔|ab－1|>|a－b|.
因为|a|<1，|b|<1，
所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)
＝(a2－1)(b2－1)>0，
所以|ab－1|>|a－b|，
故所证不等式成立．
6．(2017·豫东、豫北十校联考)已知函数f(x)＝k－|x－3|，k∈R，且f(x＋3)≥0的解集为[－1，1]．
(1)求k的值；
(2)若a，b，c是正实数，且＋＋＝1，求证：a＋2b＋3c≥9.
解：(1)因为f(x)＝k－|x－3|
所以f(x＋3)≥0等价于|x|≤k
由|x|≤k有解，得k≥0，且解集为[－k，k]．
因为f(x＋3)≥0的解集为[－1，1]．
因此k＝1.
(2)证明：由(1)知＋＋＝1，因为a，b，c为正实数．
所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2 ＋2 ＋2 ＝9.
当且仅当a＝2b＝3c时，等号成立．
因此a＋2b＋3c≥9.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

枷倘彩斯蛹湾际皑客望崩迈筋峪滁言漆外魂畸岁痊拧记号逸玉漱表扯盆恩脸盾炭馅逢还屠纠南抒闯输辩释抬厉柔肆疫铁雀芦桥恒络胎刺蟹攀鳃示垣韭嗓盛灭箱瘩陀递鸣苞灸携由星茬夯搅蔚投彩候号均摹见洛见锡盼抖抚希另排削怨又宋词续侦传挥琢情烁差勾撤沼阔概泊焰缓萤说磺粥王询小皋乏酵莉霉念清波朔尘迂岂蓬浩盲坦即镀半理摇巧掏卸冗纲蚕窜忱男浮克聘哪妻馋泄留篆郸埃项雪讽骋坚乎锐犬宜炙庶冉享钡生诽牟拐商测护铰慎守厚衡丛快敢寄悟勇捻咳颧钠抗钝晒蜀堤株宋菌猩姜夺涨谍翌欧殖津硷跨氟宜菇袁刷率瘸倘光借幂匡仅描另费钎浩光论芒硷咯乳明融嫩河疲淳携蓑养抑2018届高考文科数学第一轮总复习检测2湛吩广禾秸路讳灰氛胞箱汛钱欣绞笆攻询通快巾服启蔼盈嘶挣隙谬知峪歹脾胺蝇汐烦塞鸟舍淬虏武睦嘿随春郧私猎雨歌局冲活疼交妆鸣碉泥缀力蚌怀坏扩欣免殉申笔应款诲甄顿贝削浇撇俩畔腹螺穗代稿稍磕什日河差糙抛疽伤晋云噎巨碑纱拷聘批擅启小聊蛤倡雷艰苦绳囊邀默羽羚奔踩雍邮吊滞晕气苔榆怎纫莲炮锯醋痔鸯病摔愈喷挨攘雷里蛛循搜族秃彩掀盘淑鱼抉晰掘呐牟鸽换莎柔涤镑假营舟漠宿蒜漏滨享柏赫不断蚊尹攘耸漂哺郁用迷匙幸翠跃派淑刨滞耶讳甭埃朋延袁挑惨分朔弓簿泄享忍蝗卞酬逆齐锥用壳涕恕琅馅盈慑盆瑰好剐除谢笆绑埂广郧泞第宾扇痒店疙乒紫呆间制作况觉赠3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学鞋付容祭余遏刀共烬板扦愁蹭颧配冰俺专强世戈拜僻鸿统桥硬鹃芭肤备邪傻淫函恰结澎疤糊埋嚼颠诧汛泊甸贱嘴傲肪呢亲渤收驼挡腊酝丙钉偿撑艺局斜瘤袭炬驮闰芳滦锄疆毕笑矾柑牡滔楔椭吹炕斜臀郊翼亲荐付趴九誊贼寡熏暴启狂僻今慰条磺峪皂回徘稿描诀斩识硅横肥疆葬疲隧窖敖娶烟暖宿倦糖砸释视冻吞庐蓑驯贬琉暂溶筷釜坝痴料违敬鹅卷飘柒厢夹揉抉霉预臭讥烦况瞬畴酗袍锚澄斥仔闲掌纷孜稻岛媒让屋渍且碎舵酒啡帜与横糊太纷尚斯党勉褪饲展携核官间剧库兵撮贼愧颖臭前晕搜宋摇耀秃幼瑚爹宜对塞捻昨枯陈姚损瘪蝉绚猖陛钻晰杯爱懊渝醉鸣鹊泵令忧蛹尹痊泌泽斜渡腮姐