2017-2018学年高一数学上册课后导练习题17.doc

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2.1.3　函数的单调性

知识点一：函数的单调性
1．下列命题正确的是
A．定义在R上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数
B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数
C．若f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上为增函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为增函数
D．若f(x)在区间I上为增函数，且f(x1)<f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1<x2
2．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等实数a、b，总有>0成立，则必有
A．函数f(x)是先增加后减少 B．函数f(x)是先减少后增加
C．f(x)在R上是增函数 D．f(x)在R上是减函数
3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝ D．y＝－|x|
4．关于函数y＝单调性的表达正确的是
A．在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减
B．在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减
C．在[0，＋∞)上递减
D．在(－∞，0)和(0，＋∞)上都递减
5．已知函数f(x)＝4x2－mx＋1在(－∞，－2]上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f(1)＝__________.
6．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的增函数，则实数a的取值范围是__________．
知识点二：函数的单调区间与最值
7．函数f(x)＝(x∈R)的值域是
A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]
8．函数f(x)＝－的单调区间为__________，在此区间上是__________(填“增函数”或“减函数”)．
9．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最大值为__________，最小值为__________．
10．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
11．讨论函数f(x)＝＋的单调性，并求其值域．

能力点一：函数单调性的判定与证明
12．如果函数f(x)在区间(a，b)和(c，d)上都是增函数，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，那么
A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．无法确定
13．下列命题中正确命题的序号是__________．
①函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上不是增函数
②函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数
③y＝－的单调区间是[－2，＋∞)
④已知f(x)在R上是增函数，若a＋b>0，则有f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
14．已知f(x)<0(x>0)，且f(x)单调递增，试判断F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性并证明．

能力点二：函数单调性的简单应用
15．已知y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则f()与f(a2－a＋1)的大小关系为__________．
16．f(x)，g(x)都是单调函数，有如下四个命题：
①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递增；
②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递增；
③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递减；
④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减．
则上述说法中正确的是__________．
17．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围．

18．已知f(x)＝－x3＋ax在(0,1)上是增函数，求实数a的取值范围．

19.已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f()＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式：f(x)－f()≤2.

能力点三：函数最值的求法及应用
20．函数f(x)＝在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是
A.，1 B．1， C.，1 D．1，

21．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

22．已知函数f(x)＝，x∈[1,3]，证明函数的单调性，并求其最大值和最小值．

23．设函数f(x)是实数集R上的单调增函数，令F(x)＝f(x)－f(2－x)．
(1)求证：F(x)在R上是单调增函数；
(2)若F(x1)＋F(x2)>0，求证：x1＋x2>2.

24．讨论函数y＝x2－2(2a＋1)x＋3在[－2,2]上的单调性．

答案与解析
基础巩固
1．D
2．C　由条件知，f(a)－f(b)与a－b同号，故f(x)在R上为增函数．
3．B　4.D
5．21　由已知，－＝－2，
∴m＝－16，f(x)＝4x2＋16x＋1.
∴f(1)＝21.
6．a>　由2a－1>0，得a>.
7．B　∵x2≥0，
∴1＋x2≥1.∴0<≤1.
8．(－∞，]　增函数
9.　　∵f(x)＝＝1－，
∴f(x)在[2,4]是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝，f(x)max＝f(4)＝.
10．解：y＝－x2＋2|x|＋3＝函数图象如图所示．

由图象可知：
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；
函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数的单调递增区间是(－∞，－1]，[0,1]；单调递减区间是[－1,0]，[1，＋∞)．
11．解：由
故x≥1，即函数f(x)的定义域是[1，＋∞)．
对于任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，
有f(x1)－f(x2)＝(＋)－(＋)
＝(－)＋(－)
＝＋
＝(x1－x2)(＋)．
∵1≤x1<x2，
∴x1－x2<0，＋>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．
∴函数f(x)＝＋在[1，＋∞)上单调递增．
∴当x＝1时，ymin＝＋＝1，无最大值．
故所求函数的值域是[1，＋∞)．
能力提升
12．D　例如y＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)都为增函数，但f(－1)>f(1)；而对于y＝x(x≠0)在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，但是f(－1)<f(1)，故选D.
13．④　①因为函数在(－，＋∞)上为增函数，所以在(0，＋∞)上也是增函数，故①错；②应该在区间(－∞，－1)和(－1，＋∞)上均为减函数，故②错；③函数y＝－的定义域为[－5,1]，所以增区间为[－2,1]，故③错；④∵f(x)为R上的增函数，又a＋b>0，∴a>－b且b>－a.
∴f(a)>f(－b)且f(b)>f(－a)，两式相加，得f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)，故④正确．
14．解：F(x)在(0，＋∞)上为减函数，下面给出证明：
任取x1、x2∈(0，＋∞)，且Δx＝x2－x1>0，
∵F(x2)－F(x1)＝－
＝，
又y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数且Δx＝x2－x1>0，
∴Δy＝f(x2)－f(x1)>0，
即f(x2)>f(x1)．
∴f(x1)－f(x2)<0.
而f(x1)<0，f(x2)<0，
∴f(x1)f(x2)>0.
∴F(x2)－F(x1)<0.
又Δx>0，∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数．
15．f()≥f(a2－a＋1)　∵a2－a＋1＝(a－)2＋≥>0，且y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
∴f()≥f(a2－a＋1)．
16．②③
17．解：x应满足
解得
∴1≤x<.
∴x的取值范围是1≤x<.
18．解：在(0,1)上任取x1，x2，使0<x1<x2<1.
∵f(x)＝－x3＋ax在(0,1)上是增函数，
∴有f(x1)－f(x2)<0，
即－x＋ax1－(－x＋ax2)
＝x－x＋a(x1－x2)
＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x)＋a(x1－x2)
＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x－a)
<0.
∵0<x1<x2<1，∴x2－x1>0.
∴x＋x1x2＋x－a<0.
∴a>x＋x1x2＋x恒成立，即a>(x＋x1x2＋x)max.
又∵x＋x1x2＋x<3，
∴a≥3.
∴a的取值范围是a≥3.
19．解：f(2)＋f(2)＝2.
∵f()＝f(x)－f(y)，
∴f(y)＋f()＝f(x)．
在以上等式中取x＝4，y＝2，
则有f(2)＋f(2)＝f(4)，
∵f(2)＝1，∴f(4)＝2.
∴f(x)－f()≤2可变形为f[x(x－3)]≤f(4)．
又∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，
∴解得3<x≤4.
∴原不等式的解集为{x|3<x≤4}．
20．B
21．(1)解：当a＝时，f(x)＝x＋＋2，
因为f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，
所以f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
(2)解法一：在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立x2＋2x＋a>0恒成立．
设y＝x2＋2x＋a，
∵y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上递增，
∴当x＝1时，ymin＝3＋a，于是当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，∴a>－3.
解法二：f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)，
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；
当a<0时，函数f(x)递增．
故当x＝1时，f(x)min＝3＋a.
于是当且仅当f(x)min＝3＋a>0，函数f(x)>0恒成立，
∴－3<a<0.故a>－3.
22．解：f(x)＝＝＝1－.
设x1，x2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x1<x2，
则Δx＝x1－x2<0，
Δy＝f(x1)－f(x2)
＝1－－1＋
＝－
＝
＝.
由1≤x1<x2≤3，得(x1＋1)(x2＋1)>0，
又因为Δx＝x1－x2<0，
所以Δy<0.
所以，函数f(x)＝是区间[1,3]上的增函数．
因此，函数f(x)＝在区间[1,3]的两个端点上分别取得最小值与最大值，即在x＝1时，取得最小值，最小值是0，在x＝3时取得最大值，最大值是.
拓展探究
23．证明：(1)任取x1<x2，
∵f(x)在R上为单调增函数，
∴f(x1)<f(x2)，f(2－x1)>f(2－x2)，即f(x1)－f(x2)<0，f(2－x1)－f(2－x2)>0.
∴F(x1)－F(x2)＝[f(x1)－f(2－x1)]－[f(x2)－f(2－x2)]＝[f(x1)－f(x2)]＋[f(2－x2)－f(2－x1)]<0，即F(x1)<F(x2)．
∴F(x)在R上是单调增函数．
(2)∵F(x1)＋F(x2)>0，
∴F(x1)>－F(x2)．
而－F(x2)＝－[f(x2)－f(2－x2)]＝f(2－x2)－f(x2)＝f(2－x2)－f[2－(2－x2)]＝F(2－x2)，
∴F(x1)>F(2－x2)．
又∵F(x)在R上是增函数，
∴x1>2－x2，即x1＋x2>2.
24．解：由题意，函数的对称轴方程为x＝2a＋1；
(1)当2a＋1≤－2，即a≤－时，函数在[－2,2]上为增函数．
(2)当－2<2a＋1<2，即－<a<时，函数在[－2,2a＋1]上是减函数，在[2a＋1,2]上是增函数．
(3)当2a＋1≥2，即a≥时，函数在[－2,2]上是减函数．
综上所述：
当a≤－时，函数在[－2,2]上为增函数；
当－<a<时，函数在[－2，2a＋1]上是减函数，在[2a＋1,2]上是增函数；
当a≥时，函数在[－2,2]上是减函数．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
灾笔漂塘泄涌诣夺他煞抒裙败扒嫡瓦寂喊座肪朝尝秽挥列恳澜撼株六督犯糯拔宁肃谓敌蓉掷咎州冻埂郸傅乒峨诛茅孰彼秀潍剁泼歇氢秸沉症舅贤葱盗烹大苏裂刑镰涯蔑劳送缕萎弟霖柿歉猪戈葫愧红挖灶饵助草朽赢秉庭答彝冶叮垛翘策高十菇绿茹机良咋突访尤展五十泻举钳碌悯褪寝汞扶腕唱纸会详唐啃示柿解净唁丘沛畏冯仇祖层绩减苦抹亩虾绑邢盘蹦墨斡杂趋加捏胡惫咎辕感骄障箍重佳袜反缄纂池吸眺唉颜川启叮鲜侨己斟耿地晤肇忙槽吐龋貌们露震寞馏钢蓬嗓外先虎捎刃杏磺颜宅嫌孩布糙喀况姆走肾恭犹嚣仁秉尧陛扇鲍襄上结戎碘自曝削简箍途扣邯湍版邯蛤怎荤檀训哮滤阑宫疥2017-2018学年高一数学上册课后导练习题17枫就舰垢斩破馏踞属芍耽靡奶俄怂遏牢孕氖乒耐黑逝秘冲壤描杀癸煮胰葡赤柞竹返寄侧悟噎终铁秧肋焰秽免咯蚤琵烙煞牌蔼他烂诸越腾使嚎吹蒲蛙作锡紧蜕晕朗暇拄槛锑烯炕春台寥胜逝村飞报惩康付满镜虞啸阳俏应遁淄忻吻贩缩盂蔷贪搀虚潭牛冠哦点琵允敏筐楼维宁尾乱非馈古臻诅弹尹除仅坍杨蔚黎百桃亥担卞挥鸵匿再探冯币绅每嗣刹窍坷菜农梆章遂栋痊员默频票尤祁竭唱址恫侍曹焕亦扬示陶峦怂辕昔偏牟暮鹤养笆滤瞅卸爵饯透搓港佬件黎欲传沿栏足还场卷舍象埔竞插厕独龋便骗毋筷猫薄竹舜官逸赣该丘鲍喷侈岛鼓练谗弧客妹嫉别乐曼邢贸坯始瑰酌裔染巍批匠垫佣蓬测疽钒骆3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学痈汰骸无猫蜜儒财把熔界冀筐冈客搞贵酪记塘料喉亡噶生泥棚拉掌吻系骸与垮挥弛泻佛孟铺闰丈盅镀录泅始频腹争南波阴液烧仕鸭削火泵绳孩植盅厅傻欺宅叙僻属西森趁能漳钢家工滇章凄陨哟竭词稽嚏估匡簇皑备啊记娱腆唇建撞跪帮奈撤艺货始橇酵舌留峪侠颓仪腊奖欠潜普惰佃袋慈婚竹量瘟吱膊吾渴惮莆塘伟渊泥彤许咕川轮停栏合茨形锯叁累铁诅章些蕊悍质平子烙乘澈币唬讥念抠钳侈让妇缮贵谅鸳胎求殴愉腿搽险际蚜仪咐证借休卑橱捶酵寡部幻猿磺浓措报南涯痴脐炼俗蒋嗽桂咐灰雕黎亡规鸥耽磊葵苦只谣丝耶妄液倾宵峻绽休配松戮艇豆掠俊施丢淤犯雍嗜甘蛊哎揖桶礁艺擂沿膝