基于GeoGebra软件探究平面曲线——以“卡西尼卵形线”教学设计为例.pdf

基于G e o G e b r a软件探究平面曲线 以“卡西尼卵形线”教学设计为例徐文祁杰(江苏省盐城中学 )摘要从卡西尼卵形线的数学文化背景出发,借助G e o G e b r a软件进行教学设计,让学生经历“发现质疑、探究分析、解决问题”的过程,培养学生自主数学探究的能力,发展学生数学建模的核心素养,实现学生的数学创新时代要义关键词卡西尼卵形线;G e o G e b r a软件;教学设计文章编号 ()普通高中数学课程标准(年版 修订)在必修课程部分指出,要将数学建模活动、数学探究活动和数学文化融入课程内容这要求高中数学教学不仅要有落实立德树人、挖掘育人价值、发展学生核心素养的教学意识,而且应将教学活动的重心放在促进学生学会学习,积极探索讲授与练习、独立思考、动手实践、合作交流等多样化的教学方式高三教学时间紧、任务重,不可对知识机械重复而大量刷题,故教学须以信息技术为载体,探究新知、触类旁通、培养创新,达到师生互动,提高课堂效率G e o G e b r a软件(下称G G B)的使用,体现“互联网”时代的特点,实现人机交流,为学生探索规律、启发思路、解决问题提供直观图象,其动态效果有助于提升学生的“四能”下文以 年广州高三一模试卷中一道多项选择题为例,就如何开展数学建模、数学探究活动和数学文化的教学进行探索题目(年广州一模)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线已知 在 平 面 直 角 坐 标 系xO y中,M(,),N(,),动点P满足PMPN,则下列结论正确的是()A点P的横坐标的取值范围是,BO P的取值范围是,C PMN面积的最大值为DPMPN的取值范围是,设计意图该题考查数学文化背景 以卡西尼卵形线为载体,要求学生自行探索卡西尼卵形线的性质以解析几何的数形结合方法,借助G G B,让知识活起来问题提出问题已知平面内两定点A,B的坐标分别为A(,)和B(,),点P为该平面上的一个动点,且P AP B,则点P的轨迹是什么图形?生:该轨迹是椭圆问题已知平面内两定点A,B的坐标分别为A(,)和B(,),点P为该平面上的一个动点,且|P AP B|,则点P的轨迹是什么图形?生:该轨迹是双曲线问题已知平面内两定点A,B的坐标分别为A(,)和B(,),点P为该平面上的一个动点,且P AP B,则点P的轨迹是什么图形?师:请大家对比这个问题,想一想,它们之间的表述有何区别和联系?生:它们分别是探究平面上一动点到两定点的距离之和、差、积为常数的轨迹问题设计意图对比教材中的知识点,从简单问题入手提出问题,引发学生思考,学会知识迁移,体现“情境与问题”核心素养操作模拟活动请利用G G B模拟其轨迹图象生:设点P(x,y),根据P AP B 得到方信息技术 中学数学月刊 年第期本文系江苏省教育学会“十四五”教育科研规划课题“江苏省高品质高中导师制的实践与探索”(B QT Y C)、盐城市教育科学“十四五”规划课题“重点高中数学社团建设的实践与探究”(L )的阶段性成果程(x)y(x)y,然后直接在软件中输入上述表达式即可课堂操作得到图图P AP B图象活动已知平面内两定点A,B的坐标分别为A(,)和B(,),点P为该平面上的一个动点,且P AP B,则点P的轨迹是什么图形?请利用G G B模拟其轨迹图象生:同刚才操作,只需在软件中输入新的表达式即可课堂操作得到图图P AP B图象活动已知平面内两定点A,B的坐标分别为A(,)和B(,),点P为该平面上的一个动点,且P AP B,则点P的轨迹是什么图形?请利用G G B模拟其轨迹图象生:同刚才操作,只需在软件中输入新的表达式即可课堂操作得到图图P AP B图象师:不错由这次图象模拟可发现,该轨迹的图形与和差积型的数据有关设计意图将复杂的几何关系通过代数的建构转化为信息技术模拟,培养了学生的数学思考能力,并和以前研究的定点定值问题做对比,产生思维突破,体现自主实践的重要性,激发了学生的学习兴趣,同时在建模过程中将具体问题简单化,体现“知识与技能”核心素养实验探究师:现在我们来探究一下,该动点的轨迹和乘积有怎样的关系活动已知平面内两定点A,B的坐标分别为A(,)和B(,),点P为该平面上的一个动点,且P AP Ba,则点P的轨迹是什么图形?请利用G G B模拟其轨迹图象生:同刚才操作,只需在软件中输入新的表达式即可课堂操作得到图图P AP Ba图象设计意图通过对具体数字抽象为字母的变化研究,用G G B模拟,体现图形变化差异,对椭圆、双曲线等知识进行了复习,激发学生的好奇心,为发展他们今后学习工作中所需的创造力打下基础,以此践行新课标的教学理念,体现“交流与反思”核心素养实验推广师:拖动a的滑动条,仔细观察,图象的确随着a的变化而变化,但是由于无法确定a是如何影响动点运动的,故再进一步对其推广定义已知平面内两定点A,B,且A Bc(c),点P为该平面上的一个动点,且P AP Ba(其中a),则点P的轨迹称为卡西尼卵形线设点P(x,y),由P AP Ba得到其代数方程(xc)y(xc)ya活动请利用G G B模拟其一般情形下的轨迹图象生:同刚才操作,只需在软件中输入新的表达式即可 年第期 中学数学月刊 信息技术课堂操作得到图图c,a 图象师:分别拖动a和c的滑动条,可发现什么关系?生:当ac时,可发现轨迹是一个倒“字形”的图形师:我们称此时的图象为双纽线还有其他关系吗?生:当ac时,其轨迹是两个围绕焦点的封闭圈的图形生:当c,a 时,其轨迹是一个封闭的下凹的图形生:当c,a 时,其图形变化为一个上凸图形师:从下凹变到上凸,应该有一个平缓的过程,请猜测一下,此时c与a应该满足一个怎样的关系?生:当a c时,曲线中部变平师:我们现在将上述种情况的图形用G G B汇总出来课堂操作得到图图a,c取不同值时的图象师:由图,我们可以得到图象的哪些性质?生:其图象关于x轴、y轴和原点对称生:P AP Bc生:当点P运动到左、右两端点时,O P最长设计意图通过对双字母的变化研究,用G G B模拟,体现复杂与简单的辩证关系,并能从中得到定量与定性的结果,激发学生的创造力,摒弃高三数学“为复习而复习,无新知识可学”这一论调,体现“思维与表达”的核心素养实验总结师:由图象可以得到以下几个性质性质卡西尼卵形线关于x轴、y轴和原点对称性质P AP Bc性质当ac时,O P a设计意图通过对加、减、乘不同的数学运算,建立起数学模型变化;又通过对上面“a,c的滑动条变化”的数据分析,将原本一道较为抽象的多项选择题,运用G G B模拟,转化为易于直观想象且生动形象的图象来解读,内含“特殊与一般”的逻辑推理关系,实质体现了“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析”这六大数学核心素养练习升华不少学生的学习停留在只会做基础的套路题和简单的变式题的层面上,对考试中的把关题、创新题型有恐惧感,此外新高考数学文化题的阅读量的提升让学生望而生畏,为此设计了如下的思考题练习已知平面内两定点A,B,且A Bc(c),点P为该平面上的一个动点,且P AP Ba(其中a),求SP A B的最大值生:设A P B,则SP A BP AP Bs i nas i na,此时师:由此,我们可以得到性质性质SP A Ba定义若点P满足P AP B,我们称这样的点P为卡西尼卵形线的稳定点师:现在我们请同学根据图对原题进行解答生:对于选项A,有两种方法可以求解法 一:设 点P(x,y),根 据 题 意 得(x)y(x)y,化简得xy x,由y xx,解得x,故选项A不正确法二:直接取y,此时解得x,结合图可知x,所以选项A不正确(下转第 页)信息技术 中学数学月刊 年第期xyzx y z,解得x y z,所以x yy zz x(x y z),即不等式成立点评(x yy zz x)x y z(xyz)x y zx y z ,同样可以得到不等式将问题推广,得到下列结论:推广正实数x,y,z及正整数m,n,k满足(mnk)x(mnk)y(mnk)z(mnk)x y z,求证:m x yn y zk z x(mnk)证 明由 已 知 条 件 及 均 值 不 等 式,得(mnk)x y z(mnk)x(mnk)y(mnk)z(mnk)(mnk)xm nkymn kzmnk,解得xkmymnznk(mnk),所以m x yn y zk z x(mnk)mnk(x y)m(y z)n(z x)k(mnk)mnkxkmymnznk(mnk)mnk(mnk)(mnk),即不等式成立类似地,可以证明:推广正实数x,y,z,p及正整数m,n,k满足(mnk)x(mnk)y(mnk)z(mnk)pp x y z,求证:m x yn y zk z xp(mnk)上面对竞赛题及其逆命题的推广,只是将已知条件和要证明的不等式中变量的系数进行了拓展,但不等式等号成立的条件仍然是xyz,对于其他取等号的条件,不等式会怎样变化呢?留给有兴趣的读者去思考吧参考文献赵成海,关迪,孙乐汉一道 年马其顿数学赛题的证法探究J中学生数学,():(上接第 页)生:对于选项B,同样 有两种方法 可以求解法一:O Pxy x,且x,可得O P,所以选项B正确法二:取x,得y,取y,得x,结合图,可得O P,所以选项B正确生:对于选项C,SPMNPMPN,此时P,或P,所以选项C正确生:对于选项D,当P是图最右端点时,PMPN,所以选项D不正确师:本题答案为B C如果知道卡西尼卵形线的相关图象及其性质结论,这道题就能迎刃而解设计意图前后呼应使问题得到解决,避免了空洞讲解或不得要领,让学生真懂、真会,拓宽视野,既解决了本节课一开始提出的问题,又体现了对数学文化题的研究模式课后作业师:请用本节课探究问题的方案,探索平面内一动点到两定点的距离之比为常数的点的轨迹图形(阿波罗尼斯圆)启发思考数学探究活动是新课程中必不可少的一部分,它是一个将抽象问题具体化、复杂问题简单化的辩证思维过程本次教学通过学生手动操作G G B,直观地、多角度地对数学难题进行深度探究,有效提升了学生的学习兴趣,拓展了学生的数学思维,为新知识的探究理解提供了有效途径,也呈现了新课程的教学思路参考文献中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准(年版 年修订)M北京:人民教育出版社,:年第期 中学数学月刊 竞赛之窗