图形的相似复习课.ppt

.1、了解比例的基本性质，黄金分割2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方3、了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小5、通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题6、从微观的角度去研究相似，用坐标来说明这种基本变换知识要点：知识要点：.相似图形定义性质相似三角形定义判定性质应用画法坐标AASASSSS定义对应边成比例对应角相等中位线重心相似比影子平面镜位似图形平移旋转轴对称相似等基本变换在坐标的反映.生活中我们会碰到许多这样形状相同的生活中我们会碰到许多这样形状相同的大小不一定相同的图形，大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为：在数学上，我们把具有相同形状的图形称为：相似形相似形.对于四条线段对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相，段的长度的比与另两条线段的长度的比相，即即 =，那么这四条线段叫做，那么这四条线段叫做成比例线成比例线段，段，简称简称比例线段比例线段（proportional segments）abcd(1)比例基本性质比例基本性质.A AP PB B点点B B把线段把线段ACAC分成两部分分成两部分,如果如果那么称线段那么称线段ACAC被点被点B B 黄金分割黄金分割,点点P P为线段为线段AB AB 的的 黄金分割点黄金分割点,APAP与与ABAB的比值约为的比值约为0.6180.618,这个比值称这个比值称为为 黄金比黄金比.PBAPAPAB=思考思考:如何应用二次方程的知识求出如何应用二次方程的知识求出黄金比黄金比的数值的数值?.1若若 a:3=b:7,则则(a+3b):2b=；2若若a=2，b=6，c=4，且且a，b，c，d成成比比例，则例，则d=；3 4若若x:4=y:5=z:6,且且3x+2y+z=56,则则x为为（）A 8 B 10 C 12 D 16.l相似三角形的判定l（1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。这两个三角形相似。l（2）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。l（3）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。个角对应相等，那么这两个三角形相似。l相似三角形的性质l（1）对应边成比例，对应角相等对应边成比例，对应角相等l（2）相似三角形的周长比等于相似比）相似三角形的周长比等于相似比l（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方）相似三角形的面积比等于相似比的平方l（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比平分线的比等于相似比.一一.填空、选择题填空、选择题:1 1、如图，、如图，DEBC,DEBC,AD:DB=2:3,AD:DB=2:3,则则 AEDAED和和 ABCABC 的相似比为的相似比为.2:552cm2、已知三角形甲各边的比为已知三角形甲各边的比为3:4:6，和它相似的和它相似的三角形乙的最大边为三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边，则三角形乙的最短边为为_cm.3、等腰三角形、等腰三角形ABC的腰长为的腰长为18cm，底边长为，底边长为6cm,在腰在腰AC上取点上取点D,使使ABC BDC,则则DC=_.4.4.如图，如图，ADE ACB,ADE ACB,则则DE:BC=_ DE:BC=_。5.5.如图，如图，D D是是ABCABC一边一边BCBC 上一点，连接上一点，连接AD,AD,使使 ABC DBAABC DBA的条件是（的条件是（）.A.AC:BC=AD:BD A.AC:BC=AD:BD B.AC:BC=AB:AD B.AC:BC=AB:AD C.AB C.AB2 2=CDBC=CDBC D.AB D.AB2 2=BDBC=BDBC6.6.D D、E E分别为分别为ABC ABC 的的ABAB、ACAC上上的点，且的点，且DEBCDEBC，DCB=ADCB=A，把每两个相似的三角形称为一组，那把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形么图中共有相似三角形_组。组。1:31:3D D4 4ABEDC.7.7.下列命题正确的是（下列命题正确的是（D ）A.A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似。形相似。B.ABCB.ABC的三边长为的三边长为3 3，4 4，5.ABC5.ABC的的三边为三边为 a+3,a+4,a+5.a+3,a+4,a+5.则则ABC ABCABC ABC。C.C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们的相似比为们的相似比为1.1.D.D.都有一内角为都有一内角为100100的两个等腰三角形相似。的两个等腰三角形相似。.二、证明题：1 1.D为ABC中AB边上一点，ACD=ABC.求证：AC2=ADAB.2.ABC中,BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM.求证：MAD MEA AM2=MD MEE EA AB BC CD DM MABCD.定义：连接三角形两边中点的线段 叫做 三角形的中位线 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。ABCDE重心：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就重心：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的三分之一是对应中线长的三分之一.l梯形的中位线：梯形两腰中点连线叫做梯 形的中位线ABCDEF求梯形的比例问题时，可以利用化归思想，把梯形化归到三角形问题去解决.相似三角形的应用：l、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；l、利用三角形相似，求线段的长等l 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。.做一做做一做3 3、如图，王华在晚上由路灯、如图，王华在晚上由路灯、如图，王华在晚上由路灯、如图，王华在晚上由路灯A A走向路灯走向路灯走向路灯走向路灯B B，当他走到点，当他走到点，当他走到点，当他走到点 P P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A A的底部，的底部，的底部，的底部，当他向前再行当他向前再行当他向前再行当他向前再行12m12m到达点到达点到达点到达点QQ时，发现身前他影子的顶部时，发现身前他影子的顶部时，发现身前他影子的顶部时，发现身前他影子的顶部 刚好接触到路灯刚好接触到路灯刚好接触到路灯刚好接触到路灯B B的底部。已知王华的身高是的底部。已知王华的身高是的底部。已知王华的身高是的底部。已知王华的身高是1.6m1.6m，两，两，两，两 个路灯的高度都是个路灯的高度都是个路灯的高度都是个路灯的高度都是9.6m9.6m，且，且，且，且AP=QB=AP=QB=x x mm。（1 1）求两个路灯之间的距离；）求两个路灯之间的距离；）求两个路灯之间的距离；）求两个路灯之间的距离；（2 2）当王华走到路灯）当王华走到路灯）当王华走到路灯）当王华走到路灯B B时，他在路灯时，他在路灯时，他在路灯时，他在路灯A A下的影长是多少？下的影长是多少？下的影长是多少？下的影长是多少？A AP PQQB B解：解：解：解：x xx x12121.61.69.69.6（1 1）由题得：）由题得：）由题得：）由题得：x x2 2x+x+12 12=1.61.69.69.6解得：解得：解得：解得：x x=3 m=3 m两个路灯之间的距离是两个路灯之间的距离是两个路灯之间的距离是两个路灯之间的距离是18 m18 m.做一做做一做（2 2）当王华走到路灯）当王华走到路灯）当王华走到路灯）当王华走到路灯B B时，他在路灯时，他在路灯时，他在路灯时，他在路灯A A下的影长是多少？下的影长是多少？下的影长是多少？下的影长是多少？解：解：解：解：1.61.69.69.61818x x设他的影子长为设他的影子长为设他的影子长为设他的影子长为 x x mm，则由题得：，则由题得：，则由题得：，则由题得：x x18+18+x x=1.61.69.69.6解得解得解得解得 x x=3.6 m=3.6 m他的影子长为他的影子长为他的影子长为他的影子长为 3.6 m3.6 m？A AB B.做一做做一做4 4、教学楼旁边有一颗树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的、教学楼旁边有一颗树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的、教学楼旁边有一颗树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的、教学楼旁边有一颗树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为长为长为长为1m1m的竹竿的影长是的竹竿的影长是的竹竿的影长是的竹竿的影长是0.9m0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树，但当他们马上测量树高时，发现树，但当他们马上测量树高时，发现树，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图），的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图），的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图），的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图），经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测得落在地面的影长得落在地面的影长得落在地面的影长得落在地面的影长2.7m2.7m，落在墙壁上的影长，落在墙壁上的影长，落在墙壁上的影长，落在墙壁上的影长1.2m1.2m，请你和他们一，请你和他们一，请你和他们一，请你和他们一起算一下，树高为多少？起算一下，树高为多少？起算一下，树高为多少？起算一下，树高为多少？DBACEHFG解：首先在图上标上字母，解：首先在图上标上字母，解：首先在图上标上字母，解：首先在图上标上字母，过点过点过点过点C C作作作作CECEABAB，垂足为，垂足为，垂足为，垂足为E E根据题意，可得：根据题意，可得：根据题意，可得：根据题意，可得：AECAECFGHFGH2.7m2.7m2.7m2.7m1.2m1.2m1.2m1.2m1m1m0.90.9AEAEFGFG=CECEHGHGAEAE1 1=2.72.70.90.9AE=3 mAE=3 m树高树高树高树高AB=3+1.2=4.2 mAB=3+1.2=4.2 m.5、如图，已知：、如图，已知：ABDB于点于点B，CDDB于点于点D，AB=6，CD=4，BD=14.问：在问：在DB上是否存在上是否存在P点，使以点，使以C、D、P为顶点为顶点的三角形与以的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说的位置；如果不存在，请说明理由。明理由。4614ADCB.解解（1）假设存在这样的点）假设存在这样的点P，使，使ABPCDP 设设PD=x，则，则PB=14x，6：4=（14x）:x则有则有AB:CD=PB:PDx=5.6P6x14x4ADCB.P（2）假设存在这样的点）假设存在这样的点P,使使ABPPDC,则则则有则有AB:PD=PB:CD设设PD=x，则，则PB=14x，6：x=（14x）:4x=2或或x=12x=2或或x=12或或x=5.6时，以时，以C、D、P为顶点的三为顶点的三角形与以角形与以P、B、A为顶点的三角形相似为顶点的三角形相似46x14xDBCAp.巩固提高：巩固提高：在在ABC中，中，AB=8cm,BC=16cm,点点P从点从点A开始沿开始沿AB边向边向B点以点以2cm/秒的速度移动，点秒的速度移动，点Q从点从点B开始开始沿沿BC向点向点C以以4cm/秒的速度移动，如果秒的速度移动，如果P、Q分别从分别从A、B同时出发，经几秒钟同时出发，经几秒钟BPQ与与BAC相似？相似？分析：由于分析：由于PBQ与与ABC有公共角有公共角B；所以；所以若若PBQ与与ABC相似，则有两种可能一种情况相似，则有两种可能一种情况为为 ,即即PQ AC;另一种情况为另一种情况为 B BC CA AQ QP P8162cm/秒秒4cm/秒秒.如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做两个图形叫做两个图形叫做两个图形叫做位似图形位似图形位似图形位似图形。这个点叫做这个点叫做这个点叫做这个点叫做位似中心位似中心位似中心位似中心.这时的相似比又称为这时的相似比又称为这时的相似比又称为这时的相似比又称为位似比位似比位似比位似比.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于距离之比等于距离之比等于距离之比等于位似比位似比位似比位似比二、位似图形二、位似图形二、位似图形二、位似图形知识回顾知识回顾.两图形中对应边有何关系？两图形中对应边有何关系？对应角呢对应角呢?这两个多边形相似吗这两个多边形相似吗？相似比是多少？相似比是多少？1任取一点任取一点O；2以点以点O为端点作射线为端点作射线OA、OB、OC、；3分别在射线分别在射线OA、OB、OC、上取点上取点A、B、C、，使：，使：OA:OA=OB:OB=OC:OC=1.5;4连接连接AB、BC、，得到所要画的，得到所要画的 多边形多边形ABCDE.要画四边形要画四边形ABCD的位似图形，还可以任取一点的位似图形，还可以任取一点O，如，如图图18.4.2，作直线，作直线OA、OB、OC、OD，在点，在点O的另一侧的另一侧取点取点A、B、C、D，使，使OA OAOB OBOC OCOD OD2，也可以得到放，也可以得到放大到大到2倍的四边形倍的四边形ABCD.观察下面三组图形，看看哪两个图形是位似图形，观察下面三组图形，看看哪两个图形是位似图形，并指出位似图形的位似中心并指出位似图形的位似中心.1、已知：如图，三角形AB C中，D 是AC的中点，AEBC，ED交AB 于点F、ED的延长线与BC的延长线相交于点GEABCGFD.2、如图：在三角形ABC中，BA=BC=20CM，AC=30CM，点P从A点出发，沿AB以每秒4CM的速度向B点运动同时点Q从C 点出发，沿CA以每秒3CM的速度向A点运动，设运动的时间为X（1）当X 何值时，PQBC？（2）当SBCQ：SABC=1：3时，求SBPQ：SABC（3）APQ能否与CQB相似？若能，求出AP的长，若不能，请说明理由。ABPQC.