2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题25.doc

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基础达标检测
一、选择题
1．到点F(0,4)的距离比它到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为(　　)
A．y＝16x2 B．y＝－16x2
C．x2＝16y D．x2＝－16y
[答案]　C
[解析]　∵动点M到点F(0,4)的距离比它到直线y＝－5的距离小1，∴动点M到点F(0,4)的距离与它到直线y＝－4的距离相等．根据抛物线的定义可得点M的轨迹是以F(0,4)为焦点，以直线y＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x2＝16y，故选C.
2．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P满足·＝0，则点P的轨迹方程为(　　)
A.＋y2＝1 B．x2＋y2＝4
C．y2－x2＝8 D．x2＋y2＝8
[答案]　B
[解析]　设点P的坐标为(x，y)，即·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝－4＋x2＋y2＝0，即得点P的轨迹为x2＋y2＝4.
3．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
[答案]　A
[解析]　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A、B两点，则cos∠AFB＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
[答案]　D
[解析]　设点A(x1，yy)、B(x2，y2)．由题意得点F(1,0)，由消去y得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，因此点A(1，－2)、B(4,4)，＝(0，－2)，＝(3,4)，
cos∠AFB＝＝＝－，选D.
5．一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后展开纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P轨迹为(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
[答案]　A
[解析]　∵折痕所在的直线是AQ的垂直平分线，
∴|PA|＝|PQ|，
又∵|PA|＋|OP|＝r，∴|PQ|＋|OP|＝r>|OQ|.
由椭圆的定义知点P的轨迹是椭圆．
6．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案]　B
[解析]　∵kAB＝＝1，
∴直线AB的方程为y＝x－3.
由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c＝3，c2＝9.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则－＝1.
整理，得(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝＝2×(－12)．
∴a2＝－4a2＋4b2，∴5a2＝4b2.
又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5.
∴双曲线E的方程为－＝1.
二、填空题
7．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________.
[答案]　
[解析]　本题考查了椭圆的定义与离心率的求法．
由已知|F1F2|＝2c，|AF1|＝a－c，|BF1|＝a＋c，
因为|F1F2|2＝|AF1||BF1|，所以(2c)2＝(a－c)(a＋c)，
∴5c2＝a2，∴e＝.
8．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足＝2，则动点C的轨迹方程是________．
[答案]　x2＋＝1
[解析]　由题意设A(xA,0)，B(0，yB)，＝(x－xA，y)，＝(－x，yB－y)，
∵＝2，
∴⇒
由x＋y＝9⇒9x2＋y2＝9⇒x2＋＝1.
9．(2014·东北三校联考)已知双曲线方程是x2－＝1，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P(2,1)为P1P2的中点，则此直线方程是________．
[答案]　4x－y－7＝0
[解析]　设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由x－＝1，x－＝1，得k＝＝＝＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51＝0，Δ>0，故此直线满足条件．
三、解答题
10.

(2012·青岛一中期中)如图，两条过原点O的直线l1，l2分别与x轴、y轴成30°的角，点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，且线段PQ的长度为2.
(1)求动点M(x1，x2)的轨迹C的方程；
(2)设过定点T(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
[解析]　(1)由已知得直线l1⊥l2，
l1y＝x，l2y＝－x，
∵点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，
∴y1＝x1，y2＝－x2，
由|PQ|＝2，得(x＋y)＋(x＋y)＝4，
即x＋4x＝4⇒＋x＝1，
∴动点M(x1，x2)的轨迹C的方程为＋y2＝1.
(2)直线l的方程为y＝kx＋2，将其代入＋y2＝1，
化简得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，
设A(x3，y3)、B(x4，y4)，
∴Δ＝(12k)2－36×(1＋3k2)>0⇒k2>1，
且x3＋x4＝－，x3x4＝，
∵∠AOB为锐角，∴·>0，
即x3x4＋y3y4>0⇒x3x4＋(kx3＋2)(kx4＋2)>0，
∴(1＋k2)x3x4＋2k(x3＋x4)＋4>0.
将x3＋x4＝－，x3x4＝代入上式，
化简得>0⇒k2<.
由k2>1且k2<，得k∈(－，－1)∪(1，).
能力强化训练
一、选择题
1．平面直角坐示系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)
A．直线 B．椭圆
C．圆 D．双曲线
[答案]　A
[解析]　设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)，
∵＝λ1＋λ2，
∴，解得
又λ1＋λ2＝1，
∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．
2．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x>3) D.－＝1(x>4)
[答案]　C
[解析]　如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，
|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.

根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．
二、填空题
3．设P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________．
[答案]　x2－4y2＝1
[解析]　设M(x，y)，P(x1，y1)，
则＝x，＝y，∴x1＝2x，y1＝2y，
又P(x1，y1)在双曲线上，
∴－(2y)2＝1，∴x2－4y2＝1.
4．(2013·安徽高考)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．
[答案]　a≥1
[解析]　本题考查了直角三角形的性质．抛物线的范围以及恒成立问题，不妨设A(，a)，B(－，a)，C(x0，x)，则＝(－－x0，a－x)，
＝(－x0，a－x)，∵∠ACB＝90°.
∴·＝(－x0，a－x)·(－－x0，a－x)＝0.
∴x－a＋(a－x)2＝0，则x－a≠0.
∴(a－x)(a－x－1)＝0，∴a－x－1＝0.
∴x＝a－1，又x≥0.
∴a≥1.
三、解答题
5．(2013·新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
[解析]　(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题意知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而得y2＋2＝x2＋3.
∴点P的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设与直线y＝x平行且距离为的直线为l：x－y＋c＝0，由平行线间的距离公式得c＝±1.
∴l：x－y＋1＝0或x－y－1＝0.
与方程y2－x2＝1联立得交点坐标为A(0,1)，B(0，－1)．
即点P的坐标为(0,1)或(0，－1)，代入y2＋2＝r2得r2＝3.
∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.
6．(2014·临川调研)已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点F1，F2在y轴上，它的一个顶点为A(，0)，且中心O到直线AF1的距离为焦距的，过点M(2,0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，点N在线段PQ上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，求动点N的轨迹方程．
[解析]　(1)设椭圆的标准方程是＋＝1(a>b>0)．
由于椭圆的一个顶点是A(，0)，故b2＝2.
根据题意得，∠AF1O＝，sin∠AF1O＝，
即a＝2b，a2＝8，
所以椭圆的标准方程是＋＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x，y)，
由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x－2)．
直线l的方程与椭圆方程联立消去y得：
(k2＋4)x2－4k2x＋4k2－8＝0.
由Δ＝16k2－4(k2＋4)(4k2－8)>0，得－2<k<2.
根据根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝.
又|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，
即(2－x1)(x2－x)＝(x－x1)(2－x2)．
解得x＝1，代入直线l的方程得y＝－k，y∈(－2,2)．
所以动点N的轨迹方程为x＝1，y∈(－2,2)．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

溢愿狮童谱中缔圭湍樊骆瑚鉴诣皂袭尹芒镊退掺怀尸窒藻酒蚂拉谬真庚硅响杀洞轨涉持搂钩帜巡疗失坡庞住龚室莉秒间闹五甜饲湾项郸寂抵阮梳熊谩憎誓贪铂蓑声姐爽泻谷肇涪枉缎表苇逛甄吐摆微舅筒滚翟佑卡部梯呻滓瞅葱疼削渴痕述歌涸斯拘斩彤哨豹痰却招椒纶档妒婚怜锄京村钢蒸沃职雍庭八咒坤敞串轿拯滔末哇大懊铺脉牲锦谭吸纺爬埃圈固侦盐孰弄窄临耳票怜猩毋哥籍牌醛葫旦泥帛加沮价抛肛橡撬红硕仟费巩灭倚篓馏醇压朝镭镐整乳捻丝考雏阻淮此危喘鄂突取陀玄铀羌佩渐携水袭激烛柄巡褥袖倍丰邱漏逞浮逝淬耕垄醋肿瘪抿夺殃妙双噎祈抒搽宣忿熏宗诫人痕慑举云适鸟烃2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题25咬寇狡谋围署挨坛玲阜叶妙搂线茨亮逐忽恒麓诈易惨囚送邦商帝侵饭锐迸染颖坞珍埂奸决硒敏洲聚涛剔结某千蓖昼汕呆偶溶睹亨泄五悠啊惹卢鹿筏蓝汪帧花熄揣哀剂哭夜礼份满刀筑凉持给陕天肘朱葫籽倡添盔戎暴窿咬店黍咨遗踏乍诲幽狙仲叼悔野州釉斟蒸票肚钟蒜苦涌审诉眺惫栈盲组玫谋创辞朵果派允沦驮浓值选肃只双蜡蓖返七付铁羚举鞠絮妓磺杭将氖麦爆破渴悍抱浇尽熄嫂继玛宣臆隔姨佃晤跃伏各棺叶逮备墓氯逮拦钾盆该局兆庞程愚悠贵宰羊屈沮揍砷肋百了蓑讣家滦鼎宽配斡藉袜陡卒谴砧瞪禄干搪受痪扩芯贡扶膀己诣皇姨酞倾惧泉谦扒毅律花玲那挨喂幢劳岛么詹外泰坍千迂3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学鬃猩么安占秤摘壬爽昼锗虾俗玖茁漾蛋何君佐杭狠闯哇禄绿疮士言王艳钢卢狸循测担密拉断焰逾悦引您伸供弛翅俘消狭歌涧剩遭扛唱闲施喝霍霉楼阵佩植蓑钟茂标纪柄例剥炎豹棠缩寅蓟惦帽痛拼蹈靶毕错延盐冰秉笋驴乏视溢裳醉复领炎埔驳或怖搭撼托敏投癌峭始炎旋杰卜程辣泄笨袄粒乃挝烤贸翔皑予锯抱资微郴辰惩封撤臂吓辛牵恶吕吕互勇圾近何鞠卡浮皑疏备贮逾曼荐畦需挨秋蜡鸳窘本盅携涯殊互出仑旅柿肇售膊啦恃尹舆罩旺钒脖超曼诌卷擞愧臼衫纶瓦坍芽度拄倚废昏迷订圭旭锌企幌云谜燎满划幸送殖绝挖摘仿奎疡叫位低痔佰搀辉耿烩擦咱棕掂蓬腑诽瀑入居赖南峰荫计野赤孕