基于MIMO ARX模型的电力系统低频振荡识别与分析.pdf

20234创新企业增刊41随着大型电网之间联系更加紧密，通过长距离线路进行的不同区域间电力传输的功率明显增加，使低频振荡的发生越来越频繁，这一直是限制电力传输能力甚至威胁整个电力系统安全的关键问题。一直以来，电力系统稳定器（Power System Stabilizer，PSS）广泛地应用于低频振荡的抑制中1。但是，传统的就地控制无法适应电网复杂多变的工况，而广域测量系统（Wide-Area Measurement System，WAMS）利用来自电网不同区域位置的远端信号能够更好地观察区域振荡模式，弥补了就地控制的缺点2。对低频振荡进行特征分析依然是解决低频振荡问题的前提，也是进行阻尼控制的关键。现如今，研究电力系统低频振荡的主要方法大致分成两类：一类是基于模型的分析方法，即通过建立各元件的机电暂态模型，获得全系统的微分和代数方程，其依赖于模型和参数的准确性3。另一类是基于量测数据的分析方法，传统上一般采用小波算法或者希尔伯特黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT）方法4 5等。此类算法直接对某一局部动态观测信号进行分解处理，只与该信号过去时刻的取值有关，与系统输入信号无关。由于系统信息可观测程度有限，为此将量测数据用于辨识系统模型的方法能够很好地解决这个问题。辨识系统模型主要分为状态空间模型以及传递函数模型方法两种。前者，通常使用子空间状态空间系统识别（Numerical algorithm of Subspace State Space System Identification，N4SID）方法6 7或随机子空间（Stochastic Subspace Identification，SSI）识别方法8 9，通过数值计算来识别系统状态空间模型。该类型方法不仅需要表示涉及系统的输入和输出特性，而且涉及其完整的内部行为。由于存在高维矩阵的奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）过程，导致计算速度变慢，阻碍了状态空间模型应用于在线环境下的辨识以及控制。相反，传递函数模型仅表示指定的输入和输出的特性，是基于MIMO ARX模型的电力系统低频振荡识别与分析 中国能源建设集团辽宁电力勘测设计院有限公司 霍红 国家电网辽宁省电力有限公司检修分公司 徐晗桐克服高计算负担的有效方案10 11。自回归类模型已经被用于其他机械动力系统的辨识与控制12-14，然而，其所识别出的自回归模型大多数为单输入单输出（Single Input Single Output，SISO）模型，只能通过对单一量测信号进行处理和辨识，并不能较好地掌握系统中数个振荡模态之间的关系。所以，如何针对多输入多输出系统（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）快速辨识系统模型，感知电力系统的关键振荡模态（而不是仅仅单一模态）以用于低频振荡的在线控制，是自适应协调振荡阻尼控制的前提。为此，本文提出一种基于纯测量数据的MIMO外因输入自回归模型（Auto-Regressive with Extra Inputs，ARX）低频振荡模态辨识方法。首先，根据SISO ARX模型推导出MIMO ARX模型。其次，通过系统环境的扰动数据预选模型的输入输出信号。最后，通过确定的辨识参数对系统的主导振荡模态进行识别，并将其应用于低频振荡的广域阻尼控制设计中。全阶系统与量测系统的关系用于小信号分析的全阶系统模型通常采用状态空间法表示15，某一特定时刻的线性化一阶微分方程组可表示为：xA xB uyC xD u=+=+（1）式（1）中，x是状态向量，y是输出向量，u是输入向量，A是状态矩阵，B是输入矩阵，C是输出矩阵，D是前馈输入矩阵。显然，通过子空间进行构建的状态空间模型实际上就是全系统模型中的第k阶降阶模型。在AD矩阵估计之前需要确定的唯一参数是减小的模型阶数，这需要一个很大维度的SVD矩阵；MIMO ARX模型就是原有系统的等效离散传递函数模型。基于式（1），输入和输出之间的连续传递函数能够表示为：1()()G sC sIABD=+（2）当确定系统的输入和输出后，则可以将系统模型表示42技术创新20234如下：11111212221()()()()()()()()()()()()nnmmnnmGsGsu sy sGsGsu sy sGsGsu sys=?（3）式（3）中，ui（s）和yi（s）分别是第i个输入和第j个输出向量元素。相应的，Gij是位于（i，j）的矩阵G中的元素即对应的传递函数。m和n分别是系统输出个数和系统输入的个数。由于矩阵G的每个元素Gij的分母都包含系统中的某一个特征值，所以式（2）可以表示为：()11()()riiG sG ss=（4）式（4）中，i为在该系统中第i个振荡模式。在所述模型中，特征多项式可以观测到系统大部分可观测到的区域间模式和对系统某些部分可观测到的本地振荡模式。由于通过量测数据计算出的传递函数是全电力系统模型的降阶模型，并且每个传递函数都包含公分母，所以可以大大降低模型阶数以及计算量。基于MIMO ARX模型辨识基本原理ARX辨识模型通常，人们把待辨识的被控系统看作“黑箱”，认为它只关注系统中输入与输出特征，而不探究系统内具体结构，是一种基于系统输入、输出，利用某种最小误差准则来确定描述系统行为的一种数学模型15 16，如图1所示。建立模型的辨识过程一般包括如下基本步骤：输入、输出数据的采集与预处理，模型结构的选择和参数估计，模型的验证。图1中的u（k）作为输入和y（k）作为输出，都是属于可量测到的数据；G（z-1）代表系统内部等效的模型，在本文中属于传递函数，能够反映输入与输出之间存在的关系；e（k）是零均值的随机噪声。自回归模型属于时间序列分析方法中的一种，它结构简单、鲁棒性强。当量测数据噪声含量少时，算法精度高；当量测数据噪声较多时，可适当增加模型的阶数，改善噪声对算法精度的影响。由于其易于在计算机上实现，受到很多学者的关注，并作为动态线性模型用于商业软件17。ARX通用的传递函数的模型为：()()()()()z y tz u te t=+（5）式（5）中，a（z）和b（z）表示输入以及输出的平移算子多项式，e（t）表示模型建立时的初始误差值。由此可推导出MIMO ARX模型为：（6）MIMO ARX模型矩阵形式的表达式为：11111111(),()(),(),()()MNNNNMMNtte tttet=+?ybbuaaybbu（7）由于e（t）是建立模型时固有的误差值，当假设所辨识模型是准确无误的，则可认为e（t）可忽略不计。于是，式（7）可以表达为：1111111(),(),(),()MNNNNMMtttt=?ybbuaaybbu（8）其中，T11111T11,()(),(),()(),(,),NNMMNNMtttttt=?aaYyybbUuubb （9）那么，1()()tt=YU （10）原系统与通过传递函数所构建的MIMO ARX模型两者的关系，如图2所示。基于最小二乘法的MIMO ARX辨识估计本文主要使用基于最小二乘算法的ARX模型进行参数估计。MIMO ARX模型的差分方程可表示为：11()()()+e()nnabiiiiz ta y tibu tit=+（11）u k()e k()y k()1G z()图1 ARX模型的黑箱结构1uNu1yNy1uNuN1yNy?()G sARXR R图2 原系统与MIMO ARX模型的关系20234创新企业增刊43式（11）中，z（t）为系统输出量的第k次值；y（t）为系统输出量的第k次真值，y（t-1）为系统输出量的第t-1次真值，以此类推。同理，u（t）为系统第k个输入值，u（k-1）为系统的第k-1个输入值。最小二乘法（least squares，LS）目的是存在一个的估计值，使每次测量的Zm和估计 确定的测量估计 的差值平方和最小18，即：()()min()TmmmmJZHZH=（12）要使式（12）达到最小，根据极值定理，则有：()0TmmmJHZH=（13）则q的最小二乘估计为：1()TTmmmmH HH Z=（14）由以上公式可以得出，最小二乘估计虽然不能满足以上每个方程，但它使得整体误差达到最小满意值，这种方法对系统整体的误差是有帮助的，尤其是对e（t）来说。MIMO ARX模型阶数选取对于所设计的MIMO ARX模型，要进行阶数的辨识以满足辨识需求。由文献19可知，参数估计和阶次辨识是彼此依赖的关系，即对被控制系统参数估计需使用己知的阶数信息，而辨识阶次也需要估计后的参数ai和bi。本文采用最小化信息量准则（Akaike Information Criterion，AIC）进行模型阶次的选取。当使用AIC准则计算出的AIC值为最小时，该值所对应的模型阶次即是备选用阶次（na和nb）的数值。模型池中有几个候选模型，这将会避免在一个更新周期内多次修改模型，从而使识别过程能够保持计算效率。在模型池中，根据先验知识采用MIMO ARX模型的阶数，模型池中MIMO ARX模型的最高阶为50。通过上述介绍的最小二乘法进行参数的辨识以及计算，选择模型池内具有最高精度指标的时域和频域模型作为识别模型。如果有部分模型识别后的模态分析结果不能满足精度要求，该模型将暂时被抛弃，不再使用该参数进行更新辨识。MIMO ARX模型分析系统辨识成功后就能够对所建立的模型进一步的分析。基于上述分析，MIMO ARX模型是实际原有系统的等效传递函数模型，通过一组离散时域差分方程表示出来。由式（10）可知，输入U（t）和输出Y（t）都属于在离散域的传递函数，针对系统中的主导振荡模式的特征值分析，并通过Tustin反变换将通过辨识得到的离散域传递函数进行处理得到连续域传递函数，如下式所示：111/21/2()()()()()sssTzsTG sY s Uszz+=（15）式（15）中，s为连续域内算子，z为离散域内算子，Ts为采样间隔时间。由于辨识过程中可能会引入非预期的模式，这些模式都是一些数字伪影和较弱的模式，因为要讨论的是低频振荡的小信号稳定问题，所以需要简化模型，把这些模式进行过滤（从0.2Hz至2.5Hz）出主导振荡模式，即保留辨识后模型里特定范围内能够反映系统动态信息的重要特征根。根据上文的定义，构建MIMOARX模型之后，存在多个输入以及多个输出，而对于后续设计的广域阻尼控制一般来说是对应一个输入以及一个输出，即控制信号以及反馈信号，需要对预设信号集进行筛选。因此，本文采用留数法来最终选择具有较高能控性和可控性的PSS附加阻尼控制回路。基于留数法的广域PSS设计思想是计算指定模式的留数，所选输入输出对应的留数最大即为广域控制回路，得出该模式需补偿的相位，从而得到控制器相关参数。留数的大小说明对应模式的特征根沿着实轴向左半平面移动的能力大小。以特征向量表示对应留数，如下式所示：kkkRCB=（16）式（16）中，B属于Rnp的输入矩阵，C属于Rqn是输出矩阵，k和k是特征根k的右特征向量以及左特征向量。综上所述，由辨识得到系统等价传递函数模型的主导特征根NMK，计算出RNMK后就可以对优选的控制回路进行相位补偿施加广域阻尼控制。袁野等20提供了PSS的超前滞后环节参数的计算公式。基于MIMO ARX模型辨识具体流程输入信号选择辨识的第一步是选择输入信号。理论上，如果将ARX模型应用于振荡模式的估计，任何可测量的信号都可作为模型的输入。然而，由于使用MIMO ARX模型的最终目的是适用于广域阻尼控制，所以模型的输入应取电力系统中的实际可控信号，例如PSS、柔性交流输电系统（FACTS）设备以及高压直流（HVDC）线路上的可控设定点。励磁系统的参考电压Vref 基准通常给定为一个恒定值，用来使发电机端电压能够保持在其额定值附近。对于本地PSS，其输出VPSS附加在Vref 以提供抑制本地振荡模式的阻尼。如果将量测数据用44技术创新20234于ARX模型识别，则可以选择Vref 和系统的扰动信号之和作为输入。所以本文选择电压基准Vref、机端电压Vt和VPSS输出之和作为本文搭建的ARX模型的输入信号。输出信号选择ARX模型的输出应当反映出电力系统中主要振荡模式。发电机的功角、转子角速度、联络线有功功率以及频率等都是最常用的能够反映振荡模式的观测信号。对于现今的大型电力系统来说，选择过多的信号会导致辨识模型维度过大，增加计算的负担以及模型的精度。所以，我们可以为每个区域的机群选择一个具有代表性的信号。传统上，一般是在离线环境中使用简单二阶发电机模型进行相关性指标（CCI）计算得到同调机组中的主导机群。由于识别同调机群的过程并不一定保证在测量中可以观察到区域间模式，因此采用快速傅里叶变换（FFT）用以选择各区域中ARX模型的最优输出。将主导模式的频率点的幅值进行归一化，对候选测量信号进行从高到低的排序，在主导模式的频率点选取各区域幅值相对最高的信号作为构造的MIMO ARX模型输出变量。总之，通过FFT计算对目标系统中的区域间振荡模式都具有最佳的可观测性，保留了系统的主要特性，能够满足低频振荡辨识的需要。模型估计在使用系统环境内的量测数据之前，就必须消除量测量中的直流分量。通常情况下，这一处理方法称作“去趋势”，以防止辨识结果结果被非零均值和趋势项所干扰。时间序列的趋势是在整个需要识别的时间窗口内，某些性质发生缓慢、渐进的变化。对于辨识系统来说，所有的量测信号都应该做去趋势处理。去趋势有不同的方法，如一阶差分、曲线拟合和数字拟合等，本文采用的是一阶差分的方法，如下式所示：()()()sy ty ty tT=（17）式（17）中，)(ty为初始量测数据，y（t）为去趋势之后的数据。对于被控系统主要研究原始信号y（t）产生的动态变化，而不是去趋势处理后的信号y（t）。为了从去趋势信号中获得原始信号，一阶差分的逆形式为：()()()sy ty ty tT=+（18）由于式（10）建立的方程是线性的模型，ARX模型的参数可以通过上小节介绍的线性最小二乘方法来估计求解。模型验证在识别ARX模型之后，必须检验所辨识的模型是否有足够的精度，是否可用于描述系统振荡特性。本文分别从时域以及频域两个方面对所辨识的ARX模型进行验证。在时域中，将辨识出的模型的响应与实际的响应进行比较，为了评价模型的响应是否与实际响应相匹配，拟合精度指数定义为：1100%iiiiYYFYY=（19）式（19）中，Yi是模型辨识后的估计响应，iY是实际系统中的真实响应，而iY是实际系统几个周期内真实响应的平均值。该指数表示模型描述系统动态过程中的精度。如果F=100，结果意味着模型估计的响应和系统测量的真实响应之间的完美匹配，与实际系统吻合较好。由于低频振荡问题属于小干扰稳定问题，主要研究系统在受到扰动的第一摆后的动态响应过程，所以暂态过程中的辨识精度可不要求达到100%。在频域中，将由MIMO ARX模型的分母多项式计算的特征值与基于小干扰分析的特征值计算测的结果进行比较。基于采样周期Ts，可以将实部以及虚部的模式表示如下：()1lnsjT+=（20）式（20）中，是Z离散域中的极向量。判定辨识的系统模型良好与否取决于两个标准，拟合准确度应超过85%，并且特征值实部和虚部与基于模型法的小干扰计算后的结果相比较在频域上的偏差要小于0.05。需要注意的是，如果由于系统运行需要等其他原因导致系统的拓扑结构发生变化，原先设定好的输入信号和输出信号暂时失效或不可量测，则需要手动重新计算选择输入与输出信号的获取位置。算例分析本文采用Matlab Simulink搭建两区域四机电力系统算例进行仿真辨识验证。Kundur21等提供了该系统的潮流数据，线路参数以及发电机、励磁系统、原动机调速器的具体模型参数，并在发电机G1和G3安装本地PSS。由于在该系统中只包含两个本地PSS，所以设计的MIMO ARX模型的输入分别是发电机G1和G3上的励磁电压。而MIMO ARX模型的输出需对系统的主导振荡模式具有良好20234创新企业增刊45型的传统PSS也采用相同控制回路进行对比。随后进行仿真验证，系统正常运行，1s后在7号联络线上发生三相短路故障，1.2s后进行切除，并观察系统的动态响应曲线，如图3所示。图3（a）为系统正常运行，1s后在7号联络线上发生三相短路故障，1.1s后进行切除后系统的动态响应曲线；图3（b）为系统正常运行，1s后在7号联络线上发生三相短路故障，1.2s后进行切除后系统的动态响应曲线。由图3（a）和图3（b）可知，当系统没有安装由远端量测信号作为反馈控制信号的PSS时，系统振荡剧烈，需要很长时间恢复到稳定状态。通过本文所述辨识方法，由辨识模型计算所需环节控制参数，安装广域PSS。故障发生后，系统在3秒左右就已经在很小范围波动，并且系统迅速恢复到稳定状态，增强了系统的阻尼。以上仿真结果表明，通过本文基于量测数据设计的MIMO ARX模型能够准确识别系统振荡模态，并且能对系统内发电机组进行能控能观性分析，设计广域阻尼控制回路，从而进一步对系统低频振荡进行抑制。的可观测性，对所有发电机组的转子角速度采用FFT选择每个区域内最优的广域反馈信号作为模型的输出。对于获取系统的动态响应数据，发电机的投切、负载的变化以及线路的开断都可激发系统的固有模态特性，本文对系统施加不同的轻微扰动，以模拟实际电力系统在运行过程中的随机波动或干扰。在对施加不同扰动情形下，G1和G3的转子角速度对应的幅值与在各区域中其他机组的转子角速度幅值相比都较大。所以，1和3的转子角速度是每个区域内最佳观测信号，选择1和3作为MIMO模型的输出信号，以及之前选择的输入信号V1和V3，包含两个输入和两个输出的ARX模型就这样构建完成。根据AIC准则，选择模型辨识的阶数，得到参数na=10，nb=5。随后，使用最小二乘法进行估计，通过时域动态输出响应的比较及频域主要系统低频振荡模态的分析检验辨识的MIMO ARX模型的准确性。在时域验证方面，将真实量测数据作为基准计算拟合精度，用于时域验证。为了增加对照组实验，在相同的环境条件下采用N4SID辨识算法的辨识结果进行比较，其模型阶数设置为20。结果表明，采用本文所设计的方法拟合的估计曲线要略优于传统子空间辨识方法拟合的估计曲线，更加接近实际动态输出曲线。表1分别给出了用N4SID与模型辨识后的拟合精度与计算时间，与上文得出的结论一致，后者辨识精度要明显准确一些。如果两个模型需要得到相似的结果，则N4SID模型的辨识需要3s4s左右，而MIMO ARX模型则需要1s左右的时间，后者计算时间远小于前者。对辨识模型频域验证，并与基于模型的特征根分析并比对，结果见表2，可以发现特征值误差不大，基本能准确反映主导模式的频率以及阻尼比，为后续广域阻尼控制提供了理论基础。构建MIMO ARX模型后，可知系统传递函数模型，并采用留数法选择最终控制信号以及反馈信号。把区间振荡模式看作为主导振荡模式，计算留数之后进行归一化处理。选取能控性较强的机组以及可观性较好的信号，并施加广域阻尼控制，留数计算的结果见表3。由表3可知，以发电机G1对应的励磁电压V1作为控制地点以及发电机3作为广域反馈信号。对设计广域PSS进行简单的验证。根据之前辨识所确定的广域控制回路并通过相位补偿法计算所得到的控制器参数为：K=30，T1=T3=0.289，T2=T4=0.208。高通滤波器系数取Tw=10。基于模表1 拟合精度指数比较辨识方法拟合精度/%计算时间/sec输出1输出2N4SID89.6692.083.67MIMO ARX97.4198.321.14表2 系统模态分析对比频率/Hz阻尼比模型分析MIMO ARX模型分析MIMO ARX本地11.221.140.260.25本地21.270.920.240.22区间10.650.650.040.03表3 留数法选择控制回路13V10.81V30.650.946技术创新20234辨识J.电网技术,2011,35(01):59-65.9Sarmadi S A,Venkatasubramanian V.Electromechanical Mode Estimation Using Recursive Adaptive Stochastic Subspace IdentificationJ.IEEE 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Models to Centrally Coordinate Controllable DevicesJ.IEEE Transactions on Power Delivery,2011,26(2):988-997.8蔡国伟,杨德友,张俊丰,等.基于实测信号的电力系统低频振荡模态02468101214161820t/s-2.0-1.5-1.0-0.500.51.01.52.02.5无WPSS传统的WPSS基于辨识的WPSS发电机G1和G3的相对角速度/pu10-302468101214161820t/s-2.0-1.5-1.0-0.500.51.01.52.02.5无WPSS传统的WPSS基于辨识的WPSS发电机G1和G3的相对角速度/pu10-3（a）系统发生三相短路后0.1秒切除的动态响应曲线（b）系统发生三相短路后0.2秒切除的动态响应曲线图3 不同情况下的动态响应曲线