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复数教案
第一课时 3.1.1 数系的扩充与复数的概念
教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。
教学难点：复数及其相关概念的理解
教学过程：一、复习准备：
1. 提问：N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？（让学生感受数系的发展与生活是密切
2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）：
（1） （2） （3） （4）
3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程一个解，则这个解要满足什么条件？是否在实数集中？
实数与相乘、相加的结果应如何？
二、讲授新课：1. 教学复数的概念：
①定义复数：形如的数叫做复数，通常记为（复数的代数形式），其中叫虚数单位，叫实部，叫虚部，数集叫做复数集。
出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

规定：，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论：复数的代数形式中规定，取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？
③定义虚数：叫做虚数，叫做纯虚数。
④ 数集的关系：
上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？
2.出示例题2：（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）
练习：已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程的两根，试求：的值。（讨论中，k取何值时是实数？）
小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。
三、巩固练习：1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。

2．判断① 两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大。
②　复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数。
3若，则的值是？
4．．已知是虚数单位，复数，当取何实数时，是：
（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零
作业：2、3题。
第二课时 3.1.2 复数的几何意义
教学要求：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
教学难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
教学过程：一、复习准备：
1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。

2．复数，当取何值时为实数、虚数、纯虚数？
3. 若，试求的值，（呢？）
二、讲授新课：1. 复数的几何意义：
① 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？
（分析复数的代数形式，因为它是由实部和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标） 结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。
②复平面：以轴为实轴， 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。
复数与复平面内的点一一对应。
③例1：在复平面内描出复数分别对应的点。
（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是而不是）
观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？
④实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。
思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？
⑤，，
注意：人们常将复数说成点或向量，规定相等的向量表示同一复数。
2．应用例2，在我们刚才例1中，分别画出各复数所对应的向量。
练习：在复平面内画出所对应的向量。
小结：复数与复平面内的点及平面向量一一对应，复数的几何意义。
三、巩固与提高：分别写出下列各复数所对应的点的坐标。
1．
2． 若复数表示的点在虚轴上，求实数的取值。
变式：若表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数的取值。
3、作业：课本64题2、3题.
第一课时 3.2.1 复数的代数形式的加减运算
教学要求：掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。
教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义
教学难点：加、减运算的几何意义
教学过程：
一、复习准备：
1. 与复数一一对应的有？
2. 试判断下列复数在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数所对应的向量，并计算。向量的加减运算满足何种法则？
4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？
二、讲授新课：
1.复数的加法运算及几何意义
①.复数的加法法则：，则。
例1．计算（1） （2） （3）
（4）
②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出，所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）
2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若，则。
④讨论：若，试确定是否是一个确定的值？
（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）
⑤复数的加法法则及几何意义：，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。
例3．计算（1） （2） （3）
练习：已知复数，试画出，，
2．小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行。
三、巩固练习：1．计算（1）（2）（3）
2．若，求实数的取值。
变式：若表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数的取值。
3．三个复数，其中，是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定的值。
作业：课本71页1、2题。
第二课时 3.2.2 复数的代数形式的乘除运算
教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念
教学难点：乘除运算
教学过程：
一、复习准备：
1. 复数的加减法的几何意义是什么？
2. 计算（1） （2） （3）
3. 计算：（1） （2） （类比多项式的乘法引入复数的乘法）
二、讲授新课：
1.复数代数形式的乘法运算
①.复数的乘法法则：。
例1．计算（1） （2） （3）
（4）
探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？
例2．1、计算（1） （2）（3）
2、已知复数，若，试求的值。变：若，试求的值。
②共轭复数：两复数叫做互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数。
③类比，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：
其中叫做实数化因子
例3．计算，（师生共同板演一道，再学生练习）
练习：计算，
2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
三、巩固练习：1．计算（1） （2） （3）
2．若，且为纯虚数，求实数的取值。变：在复平面的下方，求。
1. 设复数，则为纯虚数的必要不充分条件是____________。
【答案】a=0
2. 已知复数，那么当a=_______时，z是实数；
当a__________________时，z是虚数；当a=___________时，z是纯虚数。
【答案】
3. 已知，则实数
【答案】
4. 若复数a满足,则复数a=___________。
【答案】1+2i
5. 已知，则复数必位于复平面的第_____象限。
【答案】第四
6. 复数在复平面对应的点在第_______象限。
【答案】第二
7. 设是虚数单位，计算________.
【答案】0
8. 已知向量对应的复数是，向量对应的复数是，
则+对应的复数是___________。
【答案】0
9. 已知复数，则的最小值
是________。
【答案】
10. 计算：

11. 复数的共轭复数是__________。
【答案】
12. 如果复数是实数，则实数____________.
【答案】复数=(m2－m)+(1+m3)i是实数，∴ 1+m3=0，m=－1
13. 设为实数，且，则 。
【答案】，
而 所以，解得x＝－1，y＝5，
所以x＋y＝4。
14. 已知是实系数一元二次方程的两根，则的值为_______
【答案】因为2+ a i，b+i（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，所以a=－1，b=2，所以实系数一元二次方程的两个根是 所以。
15.求的平方根。
【答案】3+2i 或-3-2i
16.已知复数，求实数使
【答案】
17. 已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程.
解： ，
.
若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.
，
所求的一个一元二次方程可以是.
18.求同时满足下列条件的所有复数z
(1) 是实数，且；
（2）z的实部和虚部都是整数。
19.已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数k的值。
20. 已知集合

【答案】