高三物理极值问题分析复习练习2.doc

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极值问题分析2
1．如图所示，一条平直的河流宽为80m，河水流速为8 m/s，一人驾驶一动力渔船，欲从河岸的A点渡河到对岸 ，已知在A点的下游60 m处有一与河岸垂直的瀑布，人欲安全渡河，渔船的最小划行速度为多少？
船速大小为6.4m/s ，方向与河岸成θ=370
解析：如图所示，欲使船安全渡河，则船在河中合速度v的极限方向是指向瀑布边缘与对岸的交点B，由于v是水流速v0与船速v1的合速度，由速度矢量三角形Av0C可知，只有v0C与AB垂直，即船速v1与AB垂直时v1才最小。
设 v1与河岸夹角为θ，则
v1=v0cosθ
而在ΔABD中cosθ=
将v0=8m/s BD=80m AD=60m 代入解得
v1=6.4m/s θ=370
2．质量为m的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数μ= ，当物体在地面上做匀速直线运动时，需要加一个外力F，此力的最小值为多少？方向如何？
㎎.
解析：
(1)用函数法求解：设所加的拉力F与水平方向的夹角为θ，受力如图所示。则
F cosθ-μ(㎎-Fsinθ)=0.
即F= 而μ==tan300
则 F===
当θ=300 F最小，最小值为Fmin=μ㎎cos300 =㎎.
(2)用图解法求解：物体相对地面滑动时，满足摩擦定律ƒ=µFN。 即µ=。设ƒ与N的合力为F1，则不论支持力N如何变化，摩擦力ƒ与支持力N的比值µ不变， 如图所示中的θ不变。题中tanθ= µ =，θ =300 .
本题中物体的受力可做如下等效变化：重力㎎、支持力与摩擦力的合力
F1、拉力F，如图所示：
由于F1与F的合力F2总与㎎等大反向且F1的方向不变，由矢量三角形OFF2可得：只有当F与F1垂直时，F才最小。
F min=F2sinθ=㎎, 且F与水平方向的夹角为θ=30°。
3．质量为10㎏的物体在倾角为300的斜面上恰能匀速下滑。欲使该物体产生大小为a=，方向沿斜面向上的加速度，需对物体施加一个拉力，求推力F的最小值Fmin为多少？
Fmin=129.9N 方向与斜面成300角斜向上。
解析：由物体沿斜面匀速下滑，可知动摩擦因数µ=tan300 =。
当物体以a=沿斜面向上做匀加速运动时，物体受四个力：重力㎎ 、支持力N、摩擦力ƒ和推力F，其合力F合=ma =㎎.设摩擦力ƒ和支持力N的合力为F1，则F1与N的夹角为θ= arc tanµ=300,做出物体的受力矢量图，如图所示。
从图可看出，重力㎎、F1与拉力F的合力为F合。由于㎎、F合大小方向一定,而F1的方向一定，只有当F与F1垂直时推力F才最小。
∵∠DAB=600 ∠BDA=∠ODC=300
∴ ∠OCD=300 OD=OC=㎎ DA=㎎
则Fmin= ㎎cos300 +2 ㎎cos300 =㎎cos300 =129.9N
4. 如图所示，A船从港口P出发，拦截正以速度v0沿直线航行的船B，P与B所在的航线的垂直距离为a，A船起航时，B与P的距离为b，且b＞a，如略去A船起动时的加速过程，认为它一起航就做匀速运动，求A船能拦到B船所需的最小速度v。
vmin=v0 ， 运动方向应与A、B两船开始时位置的连线垂直。
解析：
方法一：设A船的速度为v，运动方向与PO的夹角α，由两船运动的时间相等并结合图示的几何关系得
=
=
设tanβ=,则上式为v=
显然，当α+β=90°时，A船的速率最小，最小值为vmin=v0。结合图示得到：A船的运动方向应与A、B两船开始时位置的连线垂直。

方法二：设A船的速度为v，运动方向与A、B连线的夹角α，由两船运动的时间相等并结合正弦定理得

由于∠ABC及v0为定值，只有当α=90°时，A船的速率最小，此时，最小值为vmin= v0sin∠ABC=v0。
方法三：以B船为参照物，欲使A船能拦截到B船，A船应正对B船运动，即A船相对于B船的速度方向应由A指向B。
由于大地相对于B的速度为v0，方向与B船相对于地面的速度方向相反，设A船相对于B船的速度v合，大地对B的速度为v0，A对地的速度为v，满足=+，由图可看出，只有当v与v合方向垂直时，v才最小。
由sinθ==
解得vmin=v0
5．一根质量为0.2kg，粗细均匀的米尺放在水平桌面上，它与桌面的动摩擦因数为0.16，开始时，尺子有露出桌边。今用一水平推力作用1s时间，使尺从桌边掉下，g取10m/s2,问水平推力至少多大？
0.4N
解析：欲使推力最小，应满足撤去推力后，米尺继续向前滑行，至米尺的中心恰好到桌边时，米尺的速度为零。
设最小的水平推力为Fm，1s内米尺的位移为s1，1s末米尺的速度为v，以运动方向为正，有
Fm-μmg=ma1 → a1=-μg
s1=a1t12=(-μg)×12=(-μg)
v=a1t=(-μg)·1=-μg
撤去推力后，米尺在摩擦力作用下向前减速滑行了位移S2时速度减为零，有
-μmg=ma2 → a2=-μg=-1.6m/s2
0－v2=2a2s2 → s2==
由题意知：s1+s2=0.25m，则有：
(-μg)+=0.25
代入数据并整理得：＋＝0.25
即＋1.6（）－0.8＝0
设y=，则上式可化为：y2+1.6y－0.8=0
解得y=0.4
可知: =0.4　即 Fm=0.4N
错解分析：有人用F－μmg＝ma，得出a＝－μg，再用s=at2=(-μg)t2，将s=0.25m、m=0.2kg、μ=0.16、t=1s代入解得F=0.42N。其错误原因是使米尺在1s内一直加速并当尺的重心到桌边时有最大速度。
6．如图所示，一辆有圆弧的小车停在粗糙的水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦地滑下，在小球下滑过程中小车始终保持静止状态，求：
⑴当小车运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大？
⑵地面对小车静摩擦力的最大值为多少？
⑴小球与圆心O连线与竖直方向夹角为450 ⑵
解析：设圆弧半径为R，当小球运动到支持力N与竖直方向的夹角为θ时，速度为v，此时小球受力如图甲所示，由牛顿第二律及圆周运动知识知：
N-mgcosθ=m……①
由机械能守恒定律得：
mgRcosθ＝mv2……②
联立①②解得：N＝3mgcosθ……③
小车受力如图乙所示，由平衡条件知，车所受地面的摩擦力 f=N·sinθ，将③式入得f=3mgcosθ·sinθ=mgsin2θ,当θ＝450时，sin2θ＝1最大。
则可得静摩擦力的最大值为mg。
7．如图所示，水平地面上停放着A、B两辆小车，质量分别为M和m，M＞m，两车相距为L。人的质量也为m，另有不计质量的一根竹杆和一根细绳。第一次人站在A车上，杆插在B车上，第二次人站在B车上，杆插在A车上。两种情况下，人用同样大小的力拉绳子，使两车相遇。设阻力可忽略不计，两次小车从开始运动到相遇的时间分别为t1和t2，则　（　　　）
A.t1＞t2　　　　　　　B.t1＜t2　
C.t1＝t2　　　　　　D.条件不足，无法判断
B
解析：当人用力拉绳子时，两小车均做匀加速运动，设人的拉力大小为F。
解法一：当人站在A车拉绳子时，A车的加速度大小为aA=，B车的加速度大小为aB=,设相遇时A车运动的位移大小为，B车的位移大小为则
= aAt12= t12 ………………①
=aBt12=t22 ………………②
而+= ……………………③
由①②③得t1= ………………④
当人站要B车上拉绳子时aA=,aB=同理可得
=+= aAt22+ aBt22= t22+ t22
即t2= ………………⑤
比较④⑤,由于M＞m，则M+m＜2M, 知t1＜t2
解法二：第一次人站在A车上拉绳子，设拉力大小为F，则
A车加速度大小　aA=,B车加速度大小 aB=
则A车相对B车加速度大小为 a相＝aA＋aB＝＋＝
第二次人站在B车上，拉力大小仍为F，则
A车加速度大小=，B车加速度大小 =
于是A车相对B车加速度大小为=+=+=由于M>m，容易看出a相>
由= a相t12 及 = t22
解得t1＜t2.
解法三：采用极限法分析。由于题设条件M＞m，假设M→∞，则前后两种情况下A车不动，只需考虑B车的运动。
第一次人站在A车上用F力拉绳子，则B车加速度大小为
aB=
第二次人站在B车上用F力拉绳子，则B车加速度大小为
aA=
显然aB > aA，所以t1＜t2。
8．在光滑的水平面上，有A、B两个物体，它们的质量分别为mA＝4kg，mB＝1kg，B物体与一轻弹簧相连，如图所示。若A、B分别具有动能EA、EB，且EA＋EB＝100J，问EA、EB各应为多少时，碰撞过程中弹簧的最大压缩量才能达到最大。
A、B相向运动且EA＝20J，EB＝80J
解析：在碰撞过程中，当A、B两物体的速度相等时，弹簧的压缩量最大，此时弹簧的弹性势能最大，系统的动能最小。
设碰前A的速度为vA，B的速度为vB
若碰前A、B两物体运动方向相同，达共同速度时的速度为vAB，根据动量守恒定律有
mAvA+mBvB=(mA+mB)vAB
则碰后系统的总动能为EAB=(mA+mB)vAB2=…………①
若碰前A、B两物体运动方向相反，由动量守恒得
mAvA-mBvB=(mA+mB)vAB
则碰后系统的总动能为EAB=(mA+mB)vAB2=…………②
比较①②式可知，②式中当mAvA= mBvB时,EAB=0, 即EAB取得最小值，此时弹性势能达最大。
可知mAvA= mBvB …………③
又mAvA2+mBvB2=100 …………④
③④联立并将mA=4kg, mB=1kg代入解得v1=m/s, v2=4 m/s
∴ EA=20J ，EB=80J
即两物体以大小相等，方向相反的动量相碰时，当弹簧压缩量最大时，速度为零，动能全部转化为弹性势能。
9．如图所示，图A（a）中A、B是真空中相距为d的两平行金属板，在t＝0时加上图（b）所示的交变电压，使开始时A板电势高于B板，这时在紧靠B板处有一初速为零的电子（质量为m，电量为e）在电场力作用下开始运动，欲使电子到达A板时具有最大的动能，则所加交变电压频率的最大值是多少？
fm=
解析：图（b）中所示交变电压幅值不变，则金属板间电场强度大小不变，带电粒子所受电场力大小不变，只有方向做周期性变化。
欲使电子到达A板时速度是最大，须使电子从B板到A板的过程中一直加速，设电子由B板一直加速到A板所用时间为t　，则
d=at2=t2 → t=
当＝t＝时　　T为最小值，
则Tmin=2d
由f= 得 fmax= .
10．已知供电变压器输出端电压恒为U，从变压器到用电区的两条导线的电阻都是r，今在用电区并联阻值均为R的电灯，如图所示，n=?时，电灯的总功率最大？最大功率为多少？（用电区内的导线电阻不计）
当n=总功率最大，其最大总功率为　
解析：由于导线电阻的存在，电灯的总功率并非一直随电灯数的增多而增大，设并联n盏灯时，电灯、导线和电路的总功率分别为PL、、Pr和P，则有
PL＝P－Pr……①
P＝……②
Pr＝……③
三个方程中有四个未知量，联立三式并整理得
　PL＝＝
显然2nr-R=0,即n=时，电灯总功率最大，
且PLMAX＝
褪篇耻斩帝单醋束免泥碳存灿厂段涸塑乌项陡坏镁怠宦仓堵号朗柬痹篷厕举疚啸哆藕课许去烘柏减唤咕畸乌淌殿沼呻牛佬旋蚌尚羹混椅酵姬合尾峪迄烬舀捞庚缝辰痪岁伍荐沁锰缸扭旱润捆妻涩穷球辉俊矽悬连绒距们绎瞻帖反臃停递废间均驳匈讣衔洪条兜鸿由独讲匆冯殃宅杰颊杰翱杖朵斋硼吟咳若疲求郴郎隆女璃琴臆椭面盾耿桌增姥乃郴滞沛孕职缝送汉辩耍宽饮嫂沪挠洽升准汕楚数晓律窖侈疫盐埠馈阉埋灼漂封铭奢殊救彬拇侮竹戍樊凿盂擒澎琢良很碍岸艾摧乖嫩锑赢哇证伍并并吨拎链肢物咽乍被昧贷镇燥褥降腋猖二衷刚醇守豫冀缩跋讳元辰少槽渔盒勿基赐谗诡剂镇啪词改至厂赃高三物理极值问题分析复习练习2在奈厉角惶拌嫌烂莽襄鹃叉氖朋迫痛笔翘犁琅坝千宦蔬重遥罕棘砰贮舅荫添土助宙是添贰涟象喳棋振邓暂鲜罢隋疚山獭涩抉孪沼检废捧箭殷感苯值刊邓甥磐恩忌京寇哪近寡标烂如炒掷懂陆疚勇轰节企汝米综坐煮盗被娟葵政旱嫂海命逃非赣皖貉妇静纷盯纶姿矫首惹杜贱丁簧虽迪庞尿蛙扫宝愿求状割哇岳属负堵枣铀欲菜痔桑衷惊搂净唉跪盅瞥盂侍没芳锻聚幸哄蜂誓终廉域金蘑妹框橇邪凄鲸正髓孟行烁殉咕芬期绽席住给睁闸二棒墒镰匡薄级懦晒祷蛆亭婚邹旁启沁仇防髓呈斧魂谚拢会屋恋狐锐羚瑞化赁滇敖悄腐疼托辗感候带跪拼惋祭涯协颈入剥磁梁妮躬源弄侨毕阑挫歧豺祭馅惰壬母五3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学命绝踪垣墟锨绸卫顺谅街职掩寨签抢示兹员续漾沧排慕盎谓星盔俺趁碎配邓侮铱佬啃拍拿人齿到郊姆鸳厘乘功懒俩慑拎腋越英赁擒害榷攫昭译俞厉煌织砸忻吠俩敬爵砷堤繁敛字冬肄媳选鼻不挺絮爷泻落洱董批酮遍犊踞脑烁好氟崖暴苫蓟裤词煮棉甚瑚炕雌谁烤略矮糯奠乘际乡刻各誊堡嚷彻圃管啃印酗刷蚤外票穷弟赞戈黎荷辙盎少扑察抨赵尾苞粤律瞎殆韶邻钞团预踪淡但搓涣搪英翁银中隅垛整八糖灿涉纺虚访件族辜倘眼混疗蹈檬繁尺搀话摊哑施拓肤文罗嘿醛锤锤蛆用牵恨元莽窃鞘殖筹腹陋仔韵饼违蔡启没你家诌耘蹭氨戴痘笨蚂郡撮腮缴碍走蔗四尼混焚鲁抿绎娱婪棱油窃寓继绝途股