高三数学基础突破复习检测29.doc

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2．函数的概念及其表示（学生版，后附教师版）

【知识梳理】
1．函数与映射的概念

函 数
映 射
两集合A、B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名 称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记 法
y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一个映射
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法: 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
4．常见函数定义域的求法
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0．
(3)一次函数、二次函数的定义域为R．
(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R．
(5)y＝tan x的定义域为.
5．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为．
(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．
(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}．
(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R．
(6)y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1，1]．
(7)y＝tan x的值域是R．

【基础考点突破】
考点1. 函数的基本概念
【例1】M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　)

A．0个　　　　　　 B．1个 C．2个 D．3个
变式训练1. 试判断下列各组中的函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，并说明理由．
(1)f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1； (2)f(x)＝x，g(x)＝；
(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2； (4)f(x)＝|x|，g(x)＝.

考点2. 分段函数
【例2】 若函数，(1)求f(－5)，f(－)，f[f(－)]的值；(2)若f(a)＝3，求a的值．

变式训练2.（1）【2016年高考北京理数】设函数.
①若，则的最大值为_________；②若无最大值，则实数的取值范围是_______.
（2）作出函数y＝2|x－1|－3|x|的图象．

考点3. 求函数解析式
【例3】 (1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，求f(x)的解析式；
(2)一次函数y＝f(x)，f(1)＝1，f(－1)＝－3，求f(3)．

变式训练3. 已知f(1＋)＝＋，试求f(x)．

考点4. 函数的定义域
【例4】 求函数的定义域．

变式训练4.（1）【2016高考江苏卷】函数的定义域是 .
（2） 函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，0) C. D．
考点5. 函数的值域
【例5】 求函数的值域．

变式训练5. 求函数f(x)＝x－的值域

【基础练习】
1．下列四组式子中，f(x)与g(x)表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝4，g(x)＝(4)4 B．f(x)＝x，g(x)＝
C．f(x)＝x，g(x)＝()2 D．f(x)＝，g(x)＝x－2
2．已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是(　　)
A．11　　　B．12　　　C．13　　　D．10
3．函数y＝的定义域是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞)
4．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，则其值域为(　　)
A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3} C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
5．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于(　　)
x
1
2
3
4
f(x)
－3
－2
－4
－1
A.－1　　　　　B．－2 C．－3 D．－4
6．已知f(－1)＝2x＋3，且f(m)＝6，则m等于(　　)
A．－ B. C. D．－
7．等腰三角形的周长为20，底边长y是一腰长x的函数，则(　　)
A．y＝10－x(0<x≤10) B．y＝10－x(0<x<10) C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5<x<10)
8．已知函数，则f(2)等于(　　)
A．0　　 B. C．1 D．2
9．函数f(x)＝x＋的图象是(　　)

10．函数f(x)＝的值域是(　　)
A．[0，＋∞) B．R C．[0,3] D．[0,2]∪{3}
11．已知a、b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．±1
12．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3,－2,－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是集合A中某个元素在映射f下对应的元素，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
13．设a<b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是(　　)

14．下图中能表示函数关系的是________．

15．设f(x)＝，则f[f(x)]＝________.
16．函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域是________．
17．设函数f(x)＝则f(－4)＝________，又f(x0)＝8，则x0＝________.
18．设f(x)＝g(x)＝则f[g(π)]＝________，g[f(2)]＝________.
19．已知全集U＝R，函数y＝＋的定义域为A，函数y＝的定义域为B.
(1)求集合A，B；(2)求(∁UA)∪(∁UB)．

20．已知二次函数f(x)满足f(0)＝0，且对任意x∈R总有f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．

2017年高考数学基础突破——集合与函数
2．函数的概念及其表示（教师版）

【知识梳理】
1．函数与映射的概念

函 数
映 射
两集合A、B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名 称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记 法
y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一个映射
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法: 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
4．常见函数定义域的求法
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0．
(3)一次函数、二次函数的定义域为R．
(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R．
(5)y＝tan x的定义域为.
5．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为．
(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．
(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}．
(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R．
(6)y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1，1]．
(7)y＝tan x的值域是R．

【基础考点突破】
考点1. 函数的基本概念
【例1】M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　)

A．0个　　　　　　 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】用x＝a,0≤a≤2动直线去截图象，哪个始终只有一个交点，哪个就表示具有函数关系．由图可知，图(2)(3)都具有这一性质，而(1)(4)则不具有这一性质，所以有2个具有函数关系．
变式训练1. 试判断下列各组中的函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，并说明理由．
(1)f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1； (2)f(x)＝x，g(x)＝；
(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2； (4)f(x)＝|x|，g(x)＝.
【解】(1)f(x)的定义域是{x|x∈R，且x≠1}，g(x)的定义域是R，它们的定义域不同，故不是同一个函数；
(2)定义域相同都是R，但是g(x)＝|x|，即它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数；
(3)定义域相同都是R，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数；
(4)定义域相同都是R，解析式化简后都是y＝|x|，也就是对应关系相同，故是同一个函数．

考点2. 分段函数
【例2】 若函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f[f(－)]的值；(2)若f(a)＝3，求a的值．
【解析】(1)f(－5)＝－5＋2＝－3，f(－)＝(－)2＝3，f[f(－)]＝f(3)＝2×3＝6.
(2)①若a＋2＝3，则a＝1>－2不成立，舍去；
②若a2＝3，则a＝±，－2<±<2成立；
③若2a＝3，则a＝<2不成立，舍去．
变式训练2. （1）【2016年高考北京理数】设函数.
①若，则的最大值为_________；②若无最大值，则实数的取值范围是_______.
【答案】，.
【解答】解：①若a=0，则，则，
当x＜﹣1时，，此时函数为增函数；当x＞﹣1时，，此时函数为减函数，
故当时，的最大值为2.
②，令，则x=±1，若f（x）无最大值，则，或，解得：．

（2）作出函数y＝2|x－1|－3|x|的图象．
【解析】当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2；
当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；
当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2，
因此，依上述解析式作出图象如下图

考点3. 求函数解析式
【例3】 (1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，求f(x)的解析式；
(2)一次函数y＝f(x)，f(1)＝1，f(－1)＝－3，求f(3)．
【解析】(1)设反比例函数f(x)＝(k≠0)，则f(3)＝＝－6，解得k＝－18，故f(x)＝－.
(2)设一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f(1)＝1，f(－1)＝－3，
∴，解得，∴f(x)＝2x－1. ∴f(3)＝2×3－1＝5.
变式训练3. 已知f(1＋)＝＋，试求f(x)．
【解析】解法一：(换元法)令t＝1＋，则t∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，于是x＝，代入＋中，可得f(t)＝t2－t＋1，即f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
解法二：(配凑法)f(1＋)＝＋＝－＋＝(1＋)2－(1＋)＋1，因为1＋≠1，所以函数解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．

考点4. 函数的定义域
【例4】 求函数的定义域．
【解析】要使函数解析式有意义，由解得x≥－1且x≠2，所以函数定义域为{x|x≥－1且x≠2}．
变式训练4.（1）【2016高考江苏卷】函数的定义域是 .
（2）函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，0) C. D．
【解析】（1）要使函数有意义，必须，即，．故应填：，
（2）要使函数有意义，应满足解得x≤0，故选A.
考点5. 函数的值域
【例5】 求函数y＝x2＋2x(x∈[0，3])的值域．
【解析】(1)(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，因为y＝(x＋1)2－1在[0，3]上为增函数，所以0≤y≤15，
即函数y＝x2＋2x(x∈[0，3])的值域为[0，15]．

变式训练5. 求函数f(x)＝x－的值域
解: 法一：(换元法)令＝t，则t≥0且x＝，于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1，
由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是.
法二：(单调性法)f(x)的定义域为，容易判断f(x)为增函数，所以f(x)≤f＝，即函数的值域是.

【基础练习】
1．下列四组式子中，f(x)与g(x)表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝4，g(x)＝(4)4 B．f(x)＝x，g(x)＝
C．f(x)＝x，g(x)＝()2 D．f(x)＝，g(x)＝x－2
答案：B
解析：A、C、D定义域不同，B定义域、对应关系、值域都相同．
2．已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是(　　)
A．11　　　B．12　　　C．13　　　D．10
解析：f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
答案：C
3．函数y＝的定义域是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞)
解析：由题知∴x<0且x≠－1，即定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)．
答案：C
4．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，则其值域为(　　)
A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
解析：x＝0，y＝0；x＝1，y＝－1；x＝2，y＝0；x＝3，y＝3，∴值域为{－1,0,3}．
答案：A
5．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于(　　)
x
1
2
3
4
f(x)
－3
－2
－4
－1
A.－1　　　　　B．－2 C．－3 D．－4
答案：D
6．已知f(－1)＝2x＋3，且f(m)＝6，则m等于(　　)
A．－ B. C. D．－
解析：令2x＋3＝6，得x＝，所以m＝－1＝×－1＝－，或先求f(x)的解析式，再由f(m)＝6，求m.
答案：A
7．等腰三角形的周长为20，底边长y是一腰长x的函数，则(　　)
A．y＝10－x(0<x≤10) B．y＝10－x(0<x<10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5<x<10)
解析：∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x，解不等式组，得5<x<10.
答案：D
8．已知函数，则f(2)等于(　　)
A．0　　 B. C．1 D．2
解析：f(2)＝＝1.
答案：C
9．函数f(x)＝x＋的图象是(　　)

解析：f(x)＝画出f(x)的图象可知选C.
答案：C
10．函数f(x)＝的值域是(　　)
A．[0，＋∞) B．R C．[0,3] D．[0,2]∪{3}
答案：D
11．已知a、b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．±1
解析：∵f：x→x，∴M＝N. ∴解得a＝1，b＝0.∴a＋b＝1.
答案：C
12．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3,－2,－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是集合A中某个元素在映射f下对应的元素，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：∵|±3|＝3，|±2|＝2，|±1|＝1，|4|＝4，∴B＝{1,2,3,4}．
答案：A
13．设a<b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是(　　)

解析：由于f(a)＝0，f(b)＝0，则函数的图象过点(a,0)，(b,0)．
当x<b时，则x－b<0，(x－a)2>0，此时f(x)<0，即在区间(－∞，a)∪(a，b)上，函数的图象位于x轴下方，排除A、B、D.
答案：C
14．下图中能表示函数关系的是________．

解析：(3)中元素2对应着两个元素1和3，不符合函数定义．(1)、(2)、(4)均符合函数定义．
答案：(1)(2)(4)
15．设f(x)＝，则f[f(x)]＝________.
解析：f[f(x)]＝f()＝＝＝.
答案：
16．函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域是________．

解析：画出函数的图象，如右图所示，
观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[f(2)，f(5))，即函数的值域是[2,11)．
答案：[2,11)
17．设函数f(x)＝则f(－4)＝________，又f(x0)＝8，则x0＝________.
解析：f(－4)＝(－4)2＋2＝18；令x2＋2＝8，解得x＝±，∵x≤2，∴x＝－；令2x＝8，解得x＝4.综上可知x0＝－或4.
答案：18　4或－
18．设f(x)＝g(x)＝则f[g(π)]＝________，g[f(2)]＝________.
解析：f[g(π)]＝f(2)＝3×2＋1＝7，g[f(2)]＝g(7)＝2.
答案：7　2
19．已知全集U＝R，函数y＝＋的定义域为A，函数y＝的定义域为B.
(1)求集合A，B；
(2)求(∁UA)∪(∁UB)．
解：(1)函数y＝＋应满足∴x≥2.∴A＝{x|x≥2}．
函数y＝应满足∴x≥－2且x≠3. ∴B＝{x|x≥－2且x≠3}．
(2)∁UA＝{x|x<2}，∁UB＝{x|x<－2或x＝3}，∴(∁UA)∪(∁UB)＝{x|x<2或x＝3}．

20．已知二次函数f(x)满足f(0)＝0，且对任意x∈R总有f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝c＝0，
∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，
f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1.
∴∴∴f(x)＝x2＋x.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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