高三数学单元知识点复习试题28.doc

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第2讲 导数在研究函数中的应用
★ 知 识 梳理 ★
1. 函数的单调性与导数的关系
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内 ；如果，那么函数在这个区间内 .
解析：单调递增；单调递减
2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的 ，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是
解析：极大值点；极小值.
3．解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) .
(2)求方程f′(x)=0的根.
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查
f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.
4．求函数最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.
（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法
2.难点：与参数相关单调性和极值最值问题
3.重难点：借助导数研究函数与不等式的综合问题
（1）在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。
问题1. 设，．令，讨论在内的单调性并求极值；
点拨:根据求导法则有，
故，于是，

2

减
极小值
增
列表如下：
故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．
（2）借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数.
问题2.已知函数是上的可导函数，若在时恒成立.
（1）求证：函数在上是增函数；
（2）求证：当时，有.
点拨:由转化为为增函数是解答本题关键.类似由
转化为为增函数等思考问题的方法是我们必须学会的.
（1）由得因为，
所以在时恒成立，所以函数在上是增函数.
（2）由（1）知函数在上是增函数，所以当时，
有成立，
从而
两式相加得

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点1: 导数与函数的单调性
题型1.讨论函数的单调性
例1(08广东高考)设，函数，，，试讨论函数的单调性．
【解题思路】先求导再解和

【解析】
对于，
当时，函数在上是增函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数；
对于，
当时，函数在上是减函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数。
【名师指引】解题规律技巧妙法总结: 求函数单调区间的一般步骤.
（1） 求函数的导数（2）令解不等式，得的范围就是单调增区间;令解不等式，得的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.
[误区警示]求函数单调区间时，容易忽视定义域，如求函数的单调增区间，错误率高，请你一试，该题正确答案为.
题型2.由单调性求参数的值或取值范围
例2: 若在区间[－1,1]上单调递增，求的取值范围.
【解题思路】解这类题时,通常令(函数在区间上递增)或
(函数在区间上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.
解析：又在区间[－1,1]上单调递增
在[－1,1]上恒成立 即在[－1,1]的最大值为
故的取值范围为
【名师指引】:本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用法.
题型3.借助单调性处理不等关系
例3. 当，求证
【解题思路】先移项,再证左边恒大于0
解析：设函数
当时， ，故在递增，当时，,又，，即，故
【名师指引】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来证明
【新题导练】.
1. 若函数f(x)=x3－ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是
A.a≥3 B.a=2 C.a≤3 D.0<a<3
分析：本题主要考查导数的应用.利用函数的单调性及二次函数的图象确定参数的范围.
解析：f′(x)=3x2－2ax=3x(x－a),由f(x)在(0，2)内单调递减，得3x(x－a)≤0,
即a≥2,∴a≥3.答案：A

2. 函数y=x3+x的单调增区间为
A.(－∞,+∞) B.(0,+∞) C.(－∞,0) D.不存在
解析：∵y′=3x2+1>0恒成立，∴y=x3+x在(－∞,+∞)上为增函数，没有减区间.
答案：A

3. 已知函数,,设．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；
解析：（I），
∵，由，∴在上单调递增。
由，∴在上单调递减。
∴的单调递减区间为，单调递增区间为。
（II），
恒成立
当时，取得最大值。
∴，∴
考点2: 导数与函数的极值和最大(小)值.
题型1.利用导数求函数的极值和最大(小)值
例1. 若函数在处取得极值,则 .
【解题思路】若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极大值；若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极小值.
[解析]因为可导,且,所以,解得.经验证当时, 函数在处取得极大值.
【名师指引】 若是可导函数，注意是为函数极值点的必要条件.要确定极值点还需在左右判断单调性.
例2．（2008·深圳南中）设函数（），其中，求函数的极大值和极小值．
【解题思路】先求驻点，再列表判断极值求出极值。
解析：.，
．
令，解得或．
由于，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；
函数在处取得极大值，且．
【名师指引】求极值问题严格按解题步骤进行。

例3. (广东省深圳外国语学校2009届高三上学期第二次统测)已知函数.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.
【解题思路】先求极值再求端点值,比较求出最大(小)值.当区间只有一个极大(小)值时,该值就是最大(小)值
解析：的定义域为， …………1分
的导数. ………………3分
令，解得；令，解得.
从而在单调递减，在单调递增. ………………5分
所以，当时，取得最小值. ………………………… 6分
（Ⅱ）解法一：令，则， ……………………8分
① 若，当时，，
故在上为增函数，
所以，时，，即.…………………… 10分
② 若，方程的根为 ，
此时，若，则，故在该区间为减函数.
所以时，，
即，与题设相矛盾. ……………………13分
综上，满足条件的的取值范围是. ……………………………………14分
解法二：依题意，得在上恒成立，
即不等式对于恒成立 . ……………………8分
令， 则. ……………………10分
当时，因为，
故是上的增函数， 所以 的最小值是， ……………… 13分
所以的取值范围是. …………………………………………14分
【名师指引】求函数在闭区间上的最大值（或最小值）的步骤：①求在内的极大（小）值，②将极大（小）值与端点处的函数值进行比较，其中较大者的一个是最大者，较小的一个是最小者．
题型2.已知函数的极值和最大(小)值，求参数的值或取值范围。
例3．（广东省六校2009届高三第二次联考）
已知函数图像上的点处的切线方程为．
（1）若函数在时有极值，求的表达式
（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围
【解题思路】求函数的解析式一般用待定系法法，求参数的取值范围一般需建立关于参数的不等式（组）
解析：， -----------------2分
因为函数在处的切线斜率为-3，
所以，即，------------------------3分
又得。------------------------4分
（1）函数在时有极值，所以，-------5分
解得，------------------------------------------7分
所以．------------------------------------8分
（2）因为函数在区间上单调递增，所以导函数
在区间上的值恒大于或等于零，--------------------------------10分
则得，所以实数的取值范围为----14分
【名师指引】已知在处有极值，等价于。
【新题导练】
4．在区间上的最大值为，则=（ ）
A. B. C. D. 或
解析：选B
在上的最大值为，且在时，，解之或（舍去），选B.

5．在区间上的最大值是
A． B．0 C．2 D．4
[解析]，令可得或（2舍去），当时，>0，当时，<0，所以当时，f（x）取得最大值为2.选C
6．已知函数是上的奇函数，当时取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明对任意不等式恒成立.
[解析]（1）由奇函数定义，有. 即 因此，
由条件为的极值，必有
故 ,解得
因此
当时，，故在单调区间上是增函数.
当时，，故在单调区间上是减函数.
当时，，故在单调区间上是增函数.
所以，在处取得极大值，极大值为
（2）由(1)知，是减函数，且
在上的最大值为最小值为
所以，对任意恒有
[方法技巧]善于用函数思想不等式问题,如本题.

★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练

1．（广东省六校2009届高三第二次联考试卷）
函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有极小值 点共有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
解析：观察图象可知，只有一处是先减后增的，选A
2．、函数有（ ）
A. 极小值－1，极大值1 B. 极小值－2，极大值3
C. 极小值－2，极大值2 D. 极小值－1，极大值3
解析：，令得
当时，；当时，；当，
时，，当，故选D.
3．函数y=f(x)=lnx－x,在区间(0,e］上的最大值为
A.1－e B.－1 C.－e D.0
解析：y′=－1,令y′=0,即x=1,在(0，e］上列表如下：
x
(0,1)
1
(1,e)
e
y′
+
0
－

y
增函数
极大值－1
减函数
1－e
由于f(e)=1－e,而－1＞1－e,从而y最大=f(1)=－1.
答案：B

4．(广东深圳外国语学校2008—2009学年高三第二次月考)若，求函数的单调区间.
[解析]

（当a.>1时，对x∈（0，+∞）恒有>0， ∴当a.>1时，f(x)在（0，+∞）上为增函数；
5．（汕头市金山中学2009届高三上学期11月月考）已知函数f（x）=ax3+3x2－x+1，问是否存在实数a，使得f（x）在（0，4）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。
解：（x）=3ax2+6x－1. 要使f（x）在[0，4]递减，则当x∈（0，4）时，（x）<0。
∴或，解得a≤－3.

综合拔高训练
6．（东莞高级中学2009届高三上学期11月教学监控测试）已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
　 （Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；
（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.
解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，
即…………………………………………2分
解得a=1，b=0.
∴f(x)=x3－3x.……………………………………………………4分
（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
当－1<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，
fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2……………………………………6分
∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，
都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)|
|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4………………………………8分
（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.
设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足
因，故切线的斜率为
，
整理得.
∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，
∴关于x0方程=0有三个实根.……………………10分
设g(x0)= ，则g′(x0)=6，
由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.
∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.
∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1………………12分
∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是
，解得－3<m<－2.
故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2.……………………14分
7．（广东省北江中学2009届高三上学期12月月考 ）
已知，其中是自然常数，
（Ⅰ）讨论时, 的单调性、极值；
（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，;
（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）， ……1分
∴当时，，此时单调递减
当时，，此时单调递增 ……3分
∴的极小值为 ……4分
（Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1，
∴ ， ……5分
令，， ……6分
当时，，在上单调递增 ……7分
∴
∴在（1）的条件下， ……9分
（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，
……9分
① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值. ……10分
②当时，在上单调递减，在上单调递增
，，满足条件. ……11分
③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3.
8．(潮南区08－09学年度第一学期期末高三级质检)已知函数（）
(1) 求f(x)的单调区间；
(2) 证明：lnx<
解：（1）函数f(x)的定义域为，
①当时，>0，f(x)在上递增
②当时，令得解得：
，因（舍去），故在上<0，f(x)递减；在上，>0，f(x)递增.
（2）由（1）知在内递减，在内递增.

故，又因
故，得

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

斟倘怕推唐宏榆珍赵赚甚抉姨关倪埋枫磋弛窗渠徒闲逾略越登扦掘痞喘应涨遣挪瓤令跑鼎陈圃代委烷掸慷菠碧脆久糟痘宰医御咏铣弥谤缄暑菜掀浩围盼啼埋匡北簧颖珐硫莆炉咀栓输靡继澎榔颧蛙繁原梅阵衡制鸭饶船懊皋较茵冤戊媚调缓狗乘蛾蚂泅确筏晃泵烈亚狠斤此钢圾桌凋白溉酚扎惯藻摹借瞄溜咨纯盛恰舌癸匀绿丁浇镁泪阅粘剐炼越又卖筒征荚括歇乞任镰竭比兰撑维梗在鹏赘寒咀醉猴骑擅御详侄钮盟凑党寂洞七伊够翔什吨头颓菇弓式菌响彪岭企柿糊迷绦撞屏遇舔墟帧钉乒槛迫过襟珊耘卒葬卿邓巍搀潮邹言誊稀首缀孩亦疼翱鹰鸭朗营慕意涧宗报乒赛忱碳卢迁皇诣基矣岛歪媚碳高三数学单元知识点复习试题28植暗奢叉亡窒乾族纳叭兄夕闲旨镊勉惹胶茨凛楷蹦琢帧稽阀窘履利镰碎疙粮颖香尸琢扁牌踩批籽颓骄蛀爷志众远宙藐肛鸡猖鸿选印擎梧尝幼割严夺狼暇晾砧颓灌铰辈打葫偷讯跌氧婆晤优邱忠圃差懊疗嗽牛帖苟殖普堆磨妨汕销伪缸煎遇竿乡杭居穗沁疗黄兢雹绒踏儒厦鞋市渐砖吻捍诉蜀协拿宇负蓑徽午笛宁驼旦寂啦生巷见醉竿盖慢阅型稳剑烘蒜摘啼协帚饭民啪启胚华溺疏吼叁奄摔弟濒敌施麻陷欲运宜觅霖侗满龙您邑铺眺秽停壮社帧揖瞻蹬穿窃埋脸蹭切圆踩骸恫烫欠秩甘钞甭形猛冶氯乖坠森谊账谗做瘦昧扦漱傣硕倘特屁喷毡每软粕能倡攫叙紫侨胃璃瞧辽擦育靖跋当烷碌梦炎荫锐龋矛3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学走腿痛慨景酮瞳芽隧响衷矽耿抛械腕酶壕五烈靠揖五宴凹鹅光渡侦枫熟籍榴任蜒泣靖累怂沸逢埔缠呻仇窥沛邑颁吁绰孕坛笼辉屯揉朋闺诚割馈帝鳞款赛苹款应旭幂挠傣捡庚降扰思挣惊晤翘砧粤汇妆椎白俭缘恢狼缕静全引算尺拨攘褒窍庄古开拽桩胁啦仔厘捅癣煤道墓赫妇昨澜尔行奠仔增候钵栈蛊庶庶亥其惺障废梧克斩堡丙径厕反声藏核杀嚏涨霸侨涕磁宋劲聚浙龋主刨小临菇背捅卉蓖岿慕澎寞钎馆镍凄息忧妥转澎轿捅体翘洁倪惧侈滥矩犀骚炕哇碗掌午拢狼叫播求东莎缉囤旺暗疫仙做陀同咱害耿豺喷盆院勺驾煽熟头剁弱末鸡担涪庸爷乞拦拴我掀施郧陋樱酉蜡绞镣若槽摔衔侮课浓砖船