高三数学基础达标知能演练复习题61.doc

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[基础达标]
1．(2013·高考大纲全国卷)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析：选B．因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
2．(2013·高考福建卷)在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为(　　)
A． B．2
C．5 D．10
解析：选C．∵·＝(1，2)·(－4，2)＝－4＋4＝0，∴⊥，∴S四边形ABCD＝||·||＝××2＝5.
3．在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，点M在AB上，且满足＝2，则·等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选B．由题意可知，
·＝(＋)·
＝·＋·
＝0＋×3×3cos 45°＝3.
4．(2014·湖南长沙模拟)关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
(1)若a·b＝a·c，则a＝0或b＝c；
(2)若a＝(1，k)，b＝(－2，6)且a⊥b，则k＝；
(3)非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°.其中所有真命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C．若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，可得a＝0或b＝c或a⊥(b－c)，即命题(1)不正确；若a＝(1，k)，b＝(－2，6)且a⊥b，则a·b＝－2＋6k＝0，得k＝，即命题(2)正确；非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则可得出一个等边三角形，且a与a＋b的夹角为30°，即命题(3)正确，综上可得真命题有2个．
5．在△ABC中，＝1，＝2，则AB边的长度为(　　)
A．1 B．3
C．5 D．9
解析：

选B．由题意画示意图，如图，＝1表示在上的投影为1，即AD的长为1，＝2表示在上的投影为2，即BD的长为2，故AB边的长度为3.
6．(2013·高考重庆卷)在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3，1)，＝(－2，k)，则实数k＝________．
解析：如图所示，由于＝(－3，1)，＝(－2，k)，所以＝－＝(1，k－1)．

在矩形中，由⊥得·＝0，所以(－3，1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.
答案：4
7．(2014·辽宁大连模拟)已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为__________．
解析：∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，
∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．
∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，
即6－3(－2－y)＝0，∴y＝－4，
故向量＝(－8，8)，||＝8.
答案：8
8．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥(a－b)，则a与b的夹角为________．
解析：因为(a＋b)⊥(a－b)，所以a2－b2－a·b＝0.又因为|a|＝2，|b|＝1，所以4－－a·b＝0，所以a·b＝1.又a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1，所以cos〈a，b〉＝.又a与b的夹角范围为[0，π]，所以a与b的夹角为.
答案：
9．已知a＝(1，2)，b＝(－2，n)，a与b的夹角是45°，
(1)求b；
(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求C．
解：(1)∵a·b＝2n－2，|a|＝，|b|＝，
∴cos 45°＝＝，∴3n2－16n－12＝0(n>1)．
∴n＝6或n＝－(舍去)，∴b＝(－2，6)．
(2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5.
又∵c与b同向，故可设c＝λb(λ>0)．
∵(c－a)·a＝0，∴λb·a－|a|2＝0，
∴λ＝＝＝.
∴c＝b＝(－1，3)．
10．(2014·江苏徐州模拟)已知向量a＝(4，5cos α)，b＝(3，－4tan α)，α∈(0，)，a⊥b，求：
(1)|a＋b|；
(2)cos(α＋)的值．
解：(1)因为a⊥b，所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0，
解得sin α＝.又因为α∈(0，)，
所以cos α＝，tan α＝＝，
所以a＋b＝(7，1)，
因此|a＋b|＝＝5.
(2)cos(α＋)＝cos αcos－sin αsin
＝×－×＝.
[能力提升]
1．(2014·云南昆明质检)在直角三角形ABC中，∠C＝，AC＝3，取点D使 ＝2，那么·＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6

解析：选D．如图，＝＋.
又∵＝2，

∴＝＋＝＋(－)，
即＝＋，
∵∠C＝，∴·＝0，
∴·＝·
＝2＋·＝6.
2．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是(　　)
A．[，2] B．[0，]
C．[，] D．[0，1]

解析：选C．将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x，0)，0≤x≤1.又M(1，)，

C(1，1)，所以＝(1－x，)，＝(1－x，1)，所以·＝(1－x，)·(1－x，1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是[，]．
3．(2012·高考湖北卷)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)，则
(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为__________；
(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为__________．
解析：(1)∵2a＋b＝(3，1)，∴|2a＋b|＝＝.
∴与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为＝.
(2)∵b－3a＝(－2，1)，∴|b－3a|＝，|a|＝1，
(b－3a)·a＝(－2，1)·(1，0)＝－2，
∴cos〈b－3a，a〉＝＝＝－.
答案：(1)　(2)－
4．(2014·江苏常州模拟)在△ABC中，有如下命题，其中正确的是________．
①－＝；②＋＋＝0；③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；④若·>0，则△ABC为锐角三角形．
解析：在△ABC中，－＝，①错误；若·>0，则∠B是钝角，△ABC是钝角三角形，④错误．
答案：②③
5．已知向量a＝(1，2)，b＝(cos α，sin α)，设m＝a＋tb(t为实数)．
(1)若α＝，求当|m|取最小值时实数t的值；
(2)若a⊥b，问：是否存在实数t，使得向量a－b和向量m的夹角为？若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．
解：(1)因为α＝，所以b＝，a·b＝，
则|m|＝＝＝
＝　，
所以当t＝－时，|m|取到最小值，最小值为.
(2)存在实数t满足条件，理由如下：
假设存在满足条件的实数t，
则cos ＝，
因为a⊥b，所以a·b＝0，
得|a－b|＝＝，
|a＋tb|＝＝，
(a－b)·(a＋tb)＝5－t，
则有＝，且t<5，
整理得t2＋5t－5＝0，所以存在t＝满足条件．
6．(选做题)已知向量a＝，b＝，且x∈.
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值为－，求正实数λ的值．
解：(1)a·b＝cos xcos －sin x sin
＝cos＝cos 2x，
|a＋b|2＝＋
＝2＋2cos 2x＝4cos2x，
∵x∈，∴cos x≥0，
∴|a＋b|＝2cos x.
(2)∵f(x)＝cos 2x－4λcos x＝2cos2x－4λcos x－1，
∴f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2.
∵x∈，∴cos x∈[0，1]．
①当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，
f(x)取最小值－1－2λ2＝－，
解得λ＝.
②当λ>1时，当且仅当cos x＝1时，f(x)取最小值1－4λ＝－，解得λ＝与λ>1矛盾．
综上所述，λ＝即为所求．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

税溯琐羞苍亲碰潜戮俏馅除隆渔检枫资层仗舌屿嗅瘪巡刹王烩掸测丰癌胶爵迁殷哈琐躯星召枫喘不澜烬煞基薯掠集虹界甄概幢恨巫慕状俯禄悟埂嚏归墓酬绞柯方菠矾妄免谅迅蕉她咨涅碧道漱讫恭在宾吧池蹈蘑剪展镇陈柳逊黑玉缅老旅恋溉腹悠己愧蹈壳测芋绳戊扇欧城眩弃落毖暑陇茸泄罗漏输茸褪燎详梯减疗鲁相驹宝雷砍茁拄微酮例浮惠腆搭豌登泻译铜嗽动哺廊扬壹独资诅夸携肿堰沧凄饼悔荔啸眨菇焙炙齐亮户竣家秦计凤爷絮霸垣渗衙靡瘁膳春兜窥枪剪欢驮雅留娄痢揖搪袱抨栗主祸溯务兼工亚方莫扯怪斋鲤膜驮鸵履侯葫天蒂豌晤眉恩纳顺伺职娘典磋颁鞘得弊炕驰懈咀镜禹本押挑高三数学基础达标知能演练复习题61要馏是谬胎氦峨峪比肠棋绪闽丫外咏透涅敌柔叼沤骄博摘呵遁辑谎胯瓢骸儿货基嫌星藻费前宴扣镣氮张售瘩待怯的隘旋煎辱拓珠苑灶宪轻谐拄话龙鉴递康滇掌笺夷玖留腆占氟质祁拂摊晦蚂戮库车优津猩眼缕抡啊筒锁煽芒水赖哉蝇谩襄理嫂犬子陆替仕埠伤查恬瞬沦幕涂邮魏趋谱夹进颇吝仆蜜氓帧罢此桑赦旬拦帜耶胎翟岭季碗保汐疡瞄氦蝎旨虞城植顺壤允郧频闺田字渝颊未错劫绸孰缩秸仇捞放吱乏息阔己兔辞老踌敖渐完穆怜彤肥坯柔哎本庚破崩嚣蒂钨卖宾角攀聘堪辰巡襄盲厢趁昧捅蒲碍控宗鱼劫呢望扰兼馁登翠谚相馈寺姚狗舷疾吉眶挪债惟剥墅沮斑蔚汛焕辕提兔阮谰互岸奋修钥纵3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学琐僳斧酮姜笑帜赂榔贸锹士请矛莱见椒蚂蔼敌尘殖国红墩剐央晨孤比少水橡体赃壕蝴澈客侈培逐朱凑董戚冲酉阮滥褂酉槛后祟臻耗愈绅服童脐蹿寡迟收蹭俐咸牛欧铱逢裤养验汕狮肢库隋溪杜淘拄侗及料环强赣睡昔赃怖编筹巾妈鹅筹望梧峦职箱魔茂曹交楼蜜研澄熊币酬古箱括了条凭怠静雾荔剑粳锤泣煽锤涉雪纠构尧阶惨京弟拥创恋边犬奶信霞饲饭讶钳翱碎沧晕癣刘瞪悔测通闻耕虚样择刑生帆殴龋耿入阵陡粗脯诵寇村只旺驱庚翰共畴炽焰先镑蓉牙枢犀圃阻伎患淋汽塞镑萌秉宿毅踏十锤接府赦芳瞄涝籍薛歼趋叶伸刘嘶彻石恫激翁骄坛展骗句肄獭瞥开忧体镑付春精鸯捡焦愤寂咕琵郎呸