2019年高考文科数学全国III卷含答案.pdf

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1、绝密绝密启用前启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设，则=()3i12izzA2BCD1322已知集合，则()1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7UAB，U

2、BA ABCD 1,6 1,76,71,6,73已知，则()0.20.32log 0.2,2,0.2abcAabcBacbCcabDbca4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，512512最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述512两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是()A165 cmB175 cmC185 cmD190 cm5函数 f(x)=在，的图像大致为()2sincosxxxxABCD6某学校为了解 1

3、000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到，则下面4 名学生中被抽到的是()A8 号学生B200 号学生C616 号学生D815 号学生7tan255=()A2B2+C2D2+33338已知非零向量 a，b 满足=2，且（ab）b，则 a 与 b 的夹角为()abA B C D 6323569如图是求的程序框图，图中空白框中应填入()112122AA=BA=CA=DA=12A12A112A112A10双曲线 C：的一条渐近线的倾斜角为 130，则 C 的离心率为22221(0,0)xya

4、bab()A2sin40B2cos40CD1sin501cos5011ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinAbsinB=4csinC，cosA=，则=()14bcA6B5C4D312已知椭圆 C 的焦点为，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点.若12(1,0),(1,0)FF，则 C 的方程为()22|2|AFF B1|ABBFABCD2212xy22132xy22143xy22154xy二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线在点处的切线方程为_2)3(exyxx(0,0)14记 Sn为等比数列an的前 n 项和.若，则 S4=

5、_13314aS，15函数的最小值为_3()sin(2)3cos2f xxx16已知ACB=90，P 为平面 ABC 外一点，PC=2，点 P 到ACB 两边 AC，BC 的距离均为，那么 P 到平面 ABC 的距离为_3三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17（12 分）某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分

6、别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n adbcKab cd ac bdP（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818（12 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 S9=a5（1）若 a3=4，求an的通项公式；（2）若 a10，求使得 Snan的 n 的取值范围19（12 分）如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点.（1）证明：MN平面 C1DE；（2）

7、求点 C 到平面 C1DE 的距离20（12 分）已知函数 f（x）=2sinxxcosxx，f（x）为 f（x）的导数（1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若 x0，时，f（x）ax，求 a 的取值范围21.（12 分）已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，AB=4，M 过点 A，B 且与直线 x+2=0 相切（1）若 A 在直线 x+y=0 上，求M 的半径；（2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，MAMP为定值？并说明理由（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）

8、在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点 O2221141txttyt，为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2cos3 sin110（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值23选修 45：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明：（1）；222111abcabc（2）333()()()24abbccaX k B 1 .c o m 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 II 卷）文科数学文科数学1.设集合，则()1-|xxA2|xxBBAA.),1(B.)

9、2,(C.)2,1(D.2.设，则()(2)ziiz A.12iB.12i C.1 2iD.1 2i 3.已知向量，则（）(2,3)a(3,2)babA.2B.2C.5 2D.504.生物实验室有只兔子，其中只有只测量过某项指标.若从这只兔子中随机取出535只，则恰有只测量过该指标的概率为（）32A.23B.35C.25D.155.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.()甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A甲、乙、丙 B乙、甲、丙 C丙、乙、甲 D甲、丙、乙

10、6.设为奇函数，且当时，则当时，（）()f x0 x()1xf xe0 x()f xA.1xeB.1xeC.1xeD.1xe7.设为两个平面，则的充要条件是(),/A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.平行于同一条直线,D.垂直于同一平面,8.若是函数两个相邻的极值点，则=()123,44xx()sin(0)f xxA 2B.32C.1D.129.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（）)0(22ppxy1322pypxpA.2B.3C.4D.810.曲线在点处的切线方程为()2sincosyxx(,1)A.10 xy B.2210 xy C.2210 xy D.10 xy 11

11、.已知，则（）(0,)22sin2cos21sinA.15B.55C.33D.2 5512.设 F 为双曲线的右焦点，0 为坐标原点，以为直径的2222:1(0,0)xyCababOF圆与圆交于两点，若,则的离心率为()222xya,P QPQOFC:A.2B.3C.2D.5二、填空题13.若变量满足约束条件则的最大值是 .,x y23603020 xyxyy3zxy14.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有个车次的正10点率为，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，则经停该站0.97200.98100.99的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .15.的内角的

12、对边分别为.已知，则 .ABC,A B C,a b csincos0bAaBB 16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有个面，其棱长为 .(本题第一空 2 分，第二空 3分.)三、解答题17.如图，长方体的底面是正方形，点 E 在棱上，1111ABCDABC DABCD1AA.1

13、BEEC（1）证明：平面 BE 11EBC（2）若,求四棱锥的体积.1AEAE3AB 11EBBC C18.已知是各项均为正数的等比数列，.na162,2231aaa(1)求的通项公式：na(2)设，求数列的前 n 项和.nnab2log nb19.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率的频数分布表.y的分组y0.20,00,0.200.20,0.400.40,0.600.60,0.80企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值

14、增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到 0.01）附：.748.60220.已知是椭圆：的两个焦点，为上的点，为12,F FC22221(0,0)xyababPCO坐标原点.（1）若为等边三角形，求的离心率；2POFC（2）如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值P12PFPF12FPF16ba范围.21.已知函数.证明：()(1)ln1f xxxx（1）存在唯一的极值点；()f x（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.()0f x四、选做题（2 选 1）22.在极坐标系中，为极点，点在曲线上，直线过O00(,)M 0(0):=4sin

15、Cl点且与垂直，垂足为.(4,0)AOMP（1）当时，求及的极坐标方程；030l（2）当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程.MCPOMP23.选修 4-5：不等式选讲已知()|2|()f xxa xxxa（1）当时，求不等式的解集：1a()0f x（2）若时，求得取值范围.(,1)x()0f x a2019年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试文科数学文科数学参考答案参考答案一、选择题1C2C 3B4B5D6C7D8B9A10D11A12B二、填空题13y=3x 1415416582三、解答题17解：（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，因此男顾

16、客对该400.850商场服务满意的概率的估计值为0.8女顾客中对该商场服务满意的比率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率300.650的估计值为0.6（2）22100(40 2030 10)4.76250 50 70 30K由于，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.4.7623.84118解：（1）设的公差为d na由得95Sa 140ad由a3=4得124ad于是18,2ad 因此的通项公式为 na102nan（2）由（1）得，故.14ad(9)(5),2nnn ndand S由知，故等价于，解得1n1010a 0d nnSa21110 0nn所以n的取值范围是|110,

17、nnnN19解：（1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且1,BC ME1,BB BC1 MEBC.又因为N为的中点，所以.112MEBC1AD112NDAD由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行11=ABDC11=BCAD=MEND四边形，.又平面，所以MN平面.MNEDMN 1C DE1C DE（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得，所以DE平面，故DECH.DEBC1DEC C1C CE从而CH平面，故CH的长即为C到平面的距离，1C DE1C DE由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.117C E 4 1717CH 从而点C到平面的距离为.1C DE4 171720

18、解：（1）设，则.()()g xfx()cossin1,()cosg xxxxg xxx当时，；当时，所以在单调(0,)2x()0g x,2x()0g x()g x(0,)2递增，在单调递减.,2又，故在存在唯一零点.(0)0,0,()22ggg()g x(0,)所以在存在唯一零点.()fx(0,)（2）由题设知，可得a0.(),()0faf由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，()fx(0,)0 x00,xx；当时，所以在单调递增，在()0fx0,xx()0fx()f x00,x单调递减.0,x又，所以，当时，.(0)0,()0ff0,x()0f x 又当时，ax0，故.0,0,ax()

20、因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以2:4C yx(1,0)P1x .|=+1MP x因为，所以存在满足条件的定点P.|=|=+2(+1)=1MAMP rMP xx22解：（1）因为，且，所以C的直221111tt 22222222141211yttxtt角坐标方程为.221(1)4yxx 的直角坐标方程为.l23110 xy（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）.cos,2sinxy C上的点到的距离为.l4cos11|2cos2 3sin11|377当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为23 4cos113l.723解：（1）因为，又，故有2222222,2,

21、2abab bcbc caac1abc.222111abbccaabcabbccaabcabc所以.222111abcabc（2）因为为正数且，故有,a b c1abc 3333333()()()3()()()abbccaabbcac=3(+)(+)(+)a b b c a c3(2)(2)(2)abbcac=24.所以.333()()()24abbcca2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 II 卷）文文科科数数学学答答案案1.答案：C解析：，.1-|xxA2|xxB）（2,1 BA2.答案：D解析：因为，所以.(2)12ziii 1 2zi 3.答案：A解答：由题意知，所以.(1

22、,1)ab2ab4.答案：B解答：计测量过的 3 只兔子为、，设测量过的只兔子为、则 3 只兔子的种类有1232AB(1,2,3)(1,2,)A,则恰好有两只测量过的有种，所(1,2,)B(1,3,)A(1,3,)B(1,)A B2,3,2,3,2,3,ABA BA B6以其概率为.355.答案：A解答：根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果.6.答案：D解答：当时，又为奇函数，0 x0 x()1xfxe()f x有.()()1 xf xfxe7.答案：B解析:根据面面平行的判定定理易得答案.8.答案：A解答：由题意可知即,所以.32442TT=29.答案：D解析：抛

23、物线的焦点是，椭圆的焦点是，)0(22ppxy)0,2(p1322pypx)0,2(p，.pp228p10.答案：C解析：因为，所以曲线在点处的切线斜率为，2cossinyxx 2sincosyxx(,1)2故曲线在点处的切线方程为.2sincosyxx(,1)2210 xy 11.答案：B解答：，(0,)222sin2cos214sincos2cos 则，所以，12sincostan2212 5cos1tan5所以.25sin1 cos512.答案：A解析：设点坐标为，则以为直径的圆的方程为-，圆的方程F)0,2c（OF2222)2cycx（-，则-，化简得到，代入式，求得，则设点坐标为22

24、2ayxcax2cabyP，点坐标为，故，又,则化简得到),2cabca（Q),2cabca（cabPQ2OFPQ,2ccab，故.故选 A.2222bacabba 2222aaabaace二、填空题13.答案：9解答：根据不等式组约束条件可知目标函数在处取得最大值为.3zxy3,0914.答案：0.98解答：平均正点率的估计值.0.97 100.98 200.99 100.984015.答案：34解析：根据正弦定理可得,即，显然，所以sinsinsincos0BAABsinsincos0ABBsin0A，故.sincos0BB34B16.答案：26 21解析：由图 2 结合空间想象即可得到该

25、正多面体有 26 个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解.三、解答题17.答案：（1）看解析（2）看解析解答：（1）证明：因为面，面 11BC C 11AB BABE 11AB BA 又，平面；11BCBE1111C EBCCBE 11EBC（2）设则，12AAa229BEa22118+aC E 22194C Ba因为，22211=C BBEC E3a 1 11 11h3E BB C CBB C CVS13 6 3=183 18.答案：（1）；（2）122nna2n解答：(1)已知，故，求得或，又，故，则162,2231aaa162121qaqa4q2q0q4q.121112

26、42nnnnqaa(2)把代入，求得，故数列的前项和为.nanb12 nbn nbn22)12(1 nnn19.答案：详见解析解答:（1）这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例是，14721100100这类企业中产值负增长的企业比例是.2100（2）这类企业产值增长率的平均数是0.1020.10 240.30 530.50 140.70 71000.30这类企业产值增长率的方差是所以这类企业222220.100.3020.100.30240.300.30530.500.30140.700.3071000.0296 产值增长率的标准差是.220.0296748.6020.172040.17

27、10010020.答案：详见解析解答:（1）若为等边三角形，则的坐标为，代入方程，可得，2POFP3,22cc22221xyab22223144ccab解得，所以.242 3e 31e（2）由题意可得，因为，所以，122PFPFa12PFPF222124PFPFc 所以，所以，22121224PFPFPFPFc 222122444PFPFacb 所以，所以，解得.2122PFPFb 1 22121162PF FSPFPFb 4b 因为，即，即，212124PFPFPFPF 21224aPFPF 212aPFPF 所以，所以.232a 4 2a 21.答案：见解析解答：（1），设，1()ln(0

28、)fxxxx1()lng xxx211()0g xxx则在上递增，()g x(0,)(1)10 g11(2)ln2ln022ge所以存在唯一，使得，0(1,2)x00()()0fxg x当时，当时，00 xx0()()0g xg x0 xx0()()0g xg x所以在上递减，在上递增，所以存在唯一的极值点.()f x0(0,)x0(,)x()f x（2）由（1）知存在唯一，使得，即，0(1,2)x0()0fx001lnxx，00000000011()(1)ln1(1)1()0 f xxxxxxxxx，22221113()(1)(2)110 feeee2222()2(1)130 f eeee所

29、以函数在上，上分别有一个零点.()f x0(0,)x0(,)x设，则，12()()0f xf x(1)20 f1021 xxx有，1111111(1)ln10ln1 xxxxxx，2222221(1)ln10ln1 xxxxxx设，当时，恒有，1()ln1xh xxx0,1x x1()()0h xhx则时，有.12()()0h xh x121x x22.答案：（1），的极坐标方程：；02 3lsin()26（2）点轨迹的极坐标方程为.P=4cos(,)4 2 解析：（1）当时，0300=4sin4sin2 33以为原点，极轴为轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有，则直线Ox(3,3)M(4,0)

30、A3OMk的斜率，由点斜式可得直线：，化成极坐标方程为；l33k l3(4)3yx sin()26（2），则点的轨迹为以为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为lOM2OPAPOA，化成极坐标方程为，又在线段上，由可得，22(2)4xy=4cosPOM4sin4cos4点轨迹的极坐标方程为.P=4cos(,)4 2 23.答案（1）看解析（2）看解析解答：（1）当时，1a 22242(2),()12(1)22(12),242(1).xxxf xxxxxxxxxx所以不等式等价于或或解得不等式的解集为()0f x 224202xxx22012xx224201xxx。2x x（2）当时，由，可知恒成立，当时根据条件可知1a(,1)x()2()(1)0f xax x1a 不恒成立。所以的取值范围是。()0f x a1a X k B 1 .c o m

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