年(全国卷II)(含答案)高考文科数学.pdf

试卷第 1 页，总 20 页2015 年普通高等学校招生全国统一考试（2 全国卷）数学（文）试题2015 年普通高等学校招生全国统一考试（2 全国卷）数学（文）试题一、选择题(本大题 共 12 题,共计 60 分)一、选择题(本大题 共 12 题,共计 60 分)1.已知集合 A=()BAxxBxx则,30,21 A.(1，3)B.(1，0)C.(0，2)D.(2，3)2.若 a 实数，且()aiiai则,312 A.-4 B.-3 C.3 D.43.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是()A.逐年比较，2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著；B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效；C.2006 年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。4.已知向量()ababa）则（2),2,1(),1,0(A.-1 B.0 C.1 D.25.设若()项和，的前是等差数列naSnn5531,3Saaa则2A.5 B.7 C.9 D.116.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C.D.817161517.已知三点,则外接圆的圆心到原点的距离为)32()30(),01(，CBAABC()A.B.C.D.3532135234试卷第 3 页，总 20 页8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的 a,b 分别为 14,18，则输出的 a 为()是 否 是 否 A.0 B.2 C.4 D.149.已知等比数列()24531),1(4,41aaaaaan则满足A.2 B.1 C.D.218110.已知 A,B 是球 O 的球面上两点，若三棱锥为该球面上动点，CAOB,90O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为()A.36 B.64 C.144 D.256开始输入 a,babb=b-aa=a-b输出 a结束abxPOxPOD DC CB BA A411.如图，长方形的边 AB=2，BC=1,O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC,CD,与 DA运动，记的图像大致为则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,xfxfBAPxBOP()12.设函数的范围是成立的则使得xxfxfxxxf)12()(,11)1ln()(2()A.B.)1,31(),1()31,(C.D.)31,31(),31()31,(二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分13.已知函数 。axaxxf），则的图像过点（4,1-2)(314.若 x,y 满足约束条件 。的最大值为则yxzyxyxyx2,012,012,0515.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方），（3,4xy21程为 。16.已 知 曲 线在 点（1,1）处 的 切 线 与 曲 线xxyln试卷第 5 页，总 20 页 。axaaxy相切，则1)2(2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.2,DCBDBACADBCDABC平分上的点，是中，（）求 （）若;sinsinCB.,60BBAC求18.某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表.6B 地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频 数2814106（I）在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.试卷第 7 页，总 20 页19.如 图,长 方 体中 AB=16,BC=10,点 E,F 分 别 在1111ABCDABC D18AA 上,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成1111,AB DC114.AED F一个正方形.FEFED D1 1C C1 1B B1 1A A1 1D DC CB BA A（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.20.已知椭圆 的离心率为,点在 C 上.2222:10 xyCabab222,2（I）求 C 的方程；（II）直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB中点为 M,证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值.821.已知.ln1f xxax（I）讨论的单调性；f x（II）当有最大值,且最大值大于时,求 a 的取值范围.f x22a22.选修 4-1：几何证明选讲如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点,O 与ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与试卷第 9 页，总 20 页底边上的高交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点.（I）证明.EFBC（II）若AG等于O的半径,且2 3AEMN,求四边形 EDCF 的面积.23.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线（t 为参数,且）,其中xOy1cos,:sin,xtCyt0t,在 以 O 为 极 点,x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中,曲 线0 23:2sin,:2 3cos.CC（I）求与交点的直角坐标；2C3CN NM MGOFEDCGOFEDCB BA A10（II）若与 相交于点 A,与相交于点 B,求最大值1C2C1C3CAB24.选修 4-5：不等式证明选讲设 均为正数,且.证明：,a b c dabcd（I）若,则；abcdabcd（II）是的充要条件.abcdabcd试卷第 11 页，总 20 页2015 年高考文科数学试卷全国卷年高考文科数学试卷全国卷 2（解析版）（解析版）1.【答案】A【解析】因为,所以故选 A.|12Axx|03Bxx|13.ABxx 2【答案】D【解析】由题意可得,故选 D.2i1 i3i24i4aa3【答案】D【解析】由柱形图可知 2006 年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化12碳排放量与年份负相关,故选 D.4【答案】C【解析】试 题 分 析：由 题 意 可 得,所 以21 12 a123,a b.故选 C.222431abaaa b5【答案】A【解析】试题解析：由,所有.故选 A.13533331aaaaa15535552aaSa6【答案】D【解析】试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分16体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选 D.56157【答案】B【解析】试题分析：外接圆圆心在直线 BC 垂直平分线上即直线上,设圆心 D,ABC1x 1,b由DA=DB 得,所 以 圆 心 到 原 点 的 距 离22 2133bbb.故选 B.222 221133d8【答案】B【解析】试卷第 13 页，总 20 页试题分析：由题意可知输出的 a 是 18,14 的最大公约数 2,故选 B.9【答案】C【解析】试题分析：由题意可得,所以,故235444412a aaaa34182aqqa,选 C.2112aa q10【答案】C【解析】试题分析：设球的半径为 R,则AOB 面积为,三棱锥 体积最大时,C 到平212ROABC面 AOB 距 离 最 大 且 为 R,此 时,所 以 球 O 的 表 面 积313666VRR.故选 C.24144SR11【答案】B【解析】试题分析：由题意可得,由此可排除2 2,512424ffff C,D；当时点在边上，04xPBCtanPBx，所 以,可 知2224tanPAABPBx 2tan4fxxtan x时图像不是线段,可排除 A,故选 B.0,4x12【答案】A【解析】试题分析：由可知是偶函数,且在是增函数,所21()ln(1|)1f xxx f x0,以 2212121212113f xfxfxfxxxxxx.故选 A.1413【答案】-2【解析】试题分析：由可得.32f xaxx1242faa 14【答案】8【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以为顶点的三角50210210 xyxyxy 1,1,2,3,3,2形区域,的最大值必在顶点处取得,经验算,时.2zxy3,2xymax8z15【答案】2214xy【解析】试题分析：根据双曲线渐近线方程为,可设双曲线的方程为,把12yx 224xym代入得.所以双曲线的方程为.4,3224xym1m 2214xy16【答案】8【解析】试题分析：由可得曲线在点处的切线斜率为 2,故切线方程11yx lnyxx1,1为,与 联立得,显然,所以由 21yx221yaxax220axax0a.2808aaa 17【答案】（）；（）.1230【解析】试题分析：（）利用正弦定理转化得：（）由诱导公式可得sin1.sin2BDCCBD试卷第 15 页，总 20 页 由（）知,31sinsincossin.22CBACBBB 2sinsinBC所以 3tan,30.3BB试题解析：（）由正弦定理得 因为 AD,sinsinsinsinADBDADDCBBADCCAD平分BAC,BD=2DC,所以.sin1.sin2BDCCBD（）因为 180,60,CBACBBAC 所以 由（I）知31sinsincossin.22CBACBBB,2sinsinBC所以 3tan,30.3BB18【答案】（）见试题解析（）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.【解析】试题分析：（）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均值高于 A 地区用户满意度评分的平均值,B 地区用户满意度评分比较集中,而 A 地区用户满意度评分比较分散.（II）由直方图得 的估计值为,AP C0.6 的估计值为,所以 A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.BP C0.25.试题解析：（）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均值高于 A 地区用户满意度评分的平均值,B 地区用户满意度评分比较集中,而 A 地区用户16满意度评分比较分散.（）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.记 表示事件“A 地区的用户的满意度等级为不满意”；表示事件“B 地区的用户ACBC的满意度等级为不满意”.由直方图得 的估计值为,AP C0.01 0.020.03100.6 的估计值为,BP C0.0050.02100.25.所以 A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.19【答案】（）见试题解析（）或9779【解析】试题分析：（）分别在上取 H,G,使；长方体被平面 分,AB CD10AHDG成两个高为 10 的直棱柱,可求得其体积比值为 或9779试题解析：解：（）交线围成的正方形如图：EHGF（）作 垂足为 M,则,因为,EMAB14AMAE112EB 18EMAA是正方形,所以,于是EHGF10EHEFBC 因为长方体被平面 分成两个高为10的226,10,6.MHEHEMAHHB直棱柱,所以其体积比值为（也正确）.977920【答案】（）（）见试题解析2222184xy试卷第 17 页，总 20 页【解析】试题分析：（）由 求得,由此可得 C 的方2222242,1,2abaab228,4ab程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得,所以222214280.kxkbxb于是12222,22121MMMxxkbbxykxbkk1,2MOMMykxk.12OMkk 试题解析：解：（）由题意有 解得,所以椭圆 C 的方2222242,1,2abaab228,4ab程为.2222184xy（）设 直 线,把:0,0l ykxb kb1122,MMA x yB xyM xy代入 得ykxb2222184xy222214280.kxkbxb故 于 是 直 线OM 的 斜 率12222,22121MMMxxkbbxykxbkk 即,所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值.1,2MOMMykxk 12OMkk 21【答案】（）,在是单调递增；,在单调0a f x0,0a f x10,a递增,在单调递减；（）.1,a0,1【解析】试题分析：（）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）1fxax0a 0a 知 当时在无 最 大 值,当时最 大 值 为0a f x0,0a f x因此.令,1ln1.faaa 122ln10faaaa ln1g aaa18则在是增函数,当时,当时,因此 a 的 g a0,01a 0g a 1a 0g a 取值范围是.0,1试题解析：（）的定义域为,若,则,在 f x0,1fxax0a 0fx f x是 单 调 递 增；若,则 当时,当时0,0a 10,xa 0fx1,xa,所以在单调递增,在单调递减.0fx f x10,a1,a（）由（）知当时在无最大值,当时在取得0a f x0,0a f x1xa最大值,最大值为因此111ln1ln1.faaaaaa.令,则在是增函122ln10faaaa ln1g aaa g a0,数,于是,当时,当时,因此 a 的取值范围 10g01a 0g a 1a 0g a 是.0,122【答案】（）见试题解析；（）16 33【解析】试题分析：（）要证明,可证明；（）先求出有关EFBCA,ADBCADEF线段的长度,然后把四边形 EBCF 的面积转化为ABC 和AEF 面积之差来求.试题解析：（）由于ABC 是等腰三角形,所以 AD 是的平分线,又因为圆 O,ADBCCAB与 AB,AC 分别相切于 E,F,所以,故,所以.AEAFADEFEFBCA（）由（）知,故 AD 是 EF 的垂直平分线,又 EF 为圆 O 的弦,AEAFADEF所以 O 在 AD 上,连接 OE,OF,则,由 AG 等于圆 O 的半径得 AO=2OE,所以OEAE试卷第 19 页，总 20 页,因 此,ABC 和 AEF 都 是 等 边 三 角 形,因 为,所 以30OAE2 3AE 因为 所以 OD=1,于是 AD=5,4,2,AOOE2,OMOE13,2DMMN 所以四边形DBCF 的面积为10 3,3AB 22110 331316 32 3.23222323【答案】（）；（）4.3 30,0,22【解析】试题分析：（）把与的方程化为直角坐标方程分别为,2C3C2220 xyy,联立解方程组可得交点坐标；（）先确定曲线极坐标方程为222 30 xyx1C进一步求出点 A 的极坐标为,点 B 的极坐标为,0,R2sin,由此可得.2 3cos,2sin2 3cos4 sin43AB试题解析：解：（）曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为2C2220 xyy3C,联立两方程解得 或,所以与交点的直角坐222 30 xyx00 xy3232xy2C3C标.3 30,0,22（）曲线极坐标方程为其中,因此点 A 的极坐标1C,0,R0为,点 B 的极坐标为,2sin,2 3cos,所以,当时取得最大值,最2sin2 3cos4 sin3AB56AB大值为 4.2024【解析】试题分析：（）由及,可证明,开方abcdabcd22abcd即得.（）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与abcd充分性来证明.试题解析：解：（）因为 222,2,abababcdcdcd由题设,得,因此abcdabcd22abcd.abcd（）（）若,则,即abcd22abcd 因 为,所 以,由（）得2244,ababcdcdabcdabcd.abcd（）若,则,即abcd22abcd因为,所以,22,ababcdcdabcdabcd于是因此,综上222244,abababcdcdcdabcd是的充要条件.abcdabcd