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全国卷真题汇总：解析几何小题全国卷真题汇总：解析几何小题 姓名姓名_班级班级_1.(2018全国卷 I 文)已知椭圆C:+=1 的一个焦点为,则C的离心率为()2224(2,0)A.B.C.D.1312222 232.(2018全国卷 II 高考理科T12)已知F1,F2是椭圆C:+=1(ab0)的左,右焦点,A是2222C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C36的离心率为()A.B.C.D.231213143.(2018全国卷 II 高考文科T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1PF2,且PF2F1=60,则C的离心率为()A.1-B.2-C.D.-13233-1234.(2018全国卷 II 高考理科T5)同(2018全国卷 II 高考文科T6)双曲线-22=1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为()223A.y=xB.y=x C.y=xD.y=x2322325.(2018 全国理科 T11)设F1,F2是双曲线C:-=1(a0,b0)的左,右焦点,O是坐标原点.2222过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若=,则C的离心率为()|1|6|A.B.2C.D.5326.(2018全国高考文科T10)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,则点22222到C的渐近线的距离为()(4,0)A.B.2C.D.223 2227.(2018 全国卷 I 理科 T11)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直23线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则=()|A.B.3C.2D.43238.(2018全国卷 I 高考理科T8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点且斜率为 的直(-2,0)23线与C交于M,N两点,则=()A.5B.6C.7D.89.(2018全国高考理科T16)已知点M和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k(-1,1)的直线与C交于A,B两点.若AMB=90,则k=.10.(2017全国乙卷文科T12)设 A,B 是椭圆 C:+=1 长轴的两个端点,若 C 上存23x2ym在点 M 满足AMB=120,则 m 的取值范围是()A.(0,19,+)B.(0,9,+)C.(0,14,+)D.(0,4,+)3311.(2017全国丙卷理科T10)已知椭圆 C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且22xa22yb以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为()A.B.C.D.6333231312.(2017全国丙卷文科T11)同(2017全国丙卷理科T10)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx-22xa22ybay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为()A.B.C.D.6333231313.(2017 全国丙卷理科 T5)已知双曲线 C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y=x,22xa22yb52且与椭圆+=1 有公共焦点,则 C 的方程为()212x23yA.-=1B.-=1C.-=1D.-=1212x210y24x25y25x24y24x23y14.(2017全国甲卷理科T9)若双曲线 C:-=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)22xa22yb2+y2=4 所截得的弦长为 2,则 C 的离心率为()A.2B.C.D.322 3315.(2017全国甲卷文T5)若 a1,则双曲线-y2=1 的离心率的取值范围是()22xaA.(,+)B.(,2)C.(1,)D.(1,2)22216.（2017全国乙卷文科T5)已知 F 是双曲线 C:x2-=1 的右焦点,P 是 C 上一点,且 PF23y与 x 轴垂直,点 A 的坐标是(1,3).则APF 的面积为()A.B.C.D.1312233217.(2017全国乙卷理科T15)已知双曲线 C:-=1(a0,b0)的右顶点为 A,以 A 为圆22xa22yb心,b 为半径作圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M,N 两点.若MAN=60,则 C 的离心率为.18.(2017全国丙卷文科T14)双曲线-=1(a0)的一条渐近线方程为 y=x,则 a=.22xa29y3519.(2017全国乙卷理科T10)已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1与 C 交于 A,B 两点,直线 l2与 C 交于 D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.1020.(2016全国卷高考文科T5)直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中l心到 的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()lA.B.C.D.1312233421.(2016全国卷文科T12)与(2016全国卷 3理科T11)相同已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:=1(ab0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左,右顶2222xyab点.P 为 C 上一点,且 PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为()A.B.C.D.1312233422.(2016全国卷高考理科T5)已知方程表示双曲线,且该双2222xy1mn3mn曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)3323.(2016全国卷理科T11)已知 F1,F2是双曲线 E:=1 的左、右焦点,点 M2222xy-ab在 E 上,MF1与 x 轴垂直,sinMF2F1=,则 E 的离心率为()13A.B.C.D.2232324.(2016全国卷高考理科T10)以抛物线 C 的顶点为圆心 的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 D,E 两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则 C 的焦点到准线的距离为()25A.2 B.4 C.6 D.825.(2016全国卷文科T5)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,曲线 y=(k0)与 C 交于kx点 P,PFx 轴,则 k=()A.B.1 C.D.2123226.(2015新课标全国卷理科T5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C:-y2=1 上的一点,F1,F2是 C 的x22两个焦点,若b0)的左,右焦点,A是2222C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的36离心率为()A.B.C.D.23121314【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用以及数学运算能力.【解析】选 D.由题意直线AP的方程为y=(x+a),PF1F2为等腰三角形,36F1F2P=120,所以PF2=2c,PF2x=60,故P(2c,c),代入y=(x+a)得,(2c+a)=c,336363解得e=.143.(2018全国卷 II 高考文科T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1PF2,且PF2F1=60,则C的离心率为()A.1-B.2-C.D.-13233-123【命题意图】本题考查椭圆的定义和性质的应用,考查了学生的运算和转化能力.【解析】选 D.在直角三角形PF1F2中,F1F2=2c,PF2F1=60,所以PF1=c,PF2=c,3又PF1+PF2=2a,所以c+c=2a,3解得e=-1.23+131.(2018全国卷 II 高考理科T5)同(2018全国卷 II 高考文科T6)双曲线-22=1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为()223A.y=xB.y=x23C.y=xD.y=x2232【命题意图】本题考查双曲线的简单几何性质.【解析】选 A.因为e=,所以=3,即=2,=,所以渐近线方程为y=x.3222+2222222.(2018全国高考理科T11)设F1,F2是双曲线C:-=1(a0,b0)的左,右焦点,O是坐2222标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若=,则C的离心率为()|1|6|A.B.2C.D.532【命题意图】本题以双曲线作为问题背景,考查直线的交点,双曲线的几何性质及离心率的求解,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.【解析】选 C.方法一:设渐近线的方程为bx-ay=0,则直线PF2的方程为ax+by-ac=0,由可得P,由F1(-c,0)及|PF1|=|OP|,+-=0,-=0,?(2,)6得=,化简可得 3a2=c2,即e=.(2+)2+()26(2)2+()23方法二:因为|PF2|=b,|OF2|=c,|PO|=a,在 RtPOF2中,设PF2O=,则有 cos=;|2|2|在PF1F2中,cos=,|2|2+|12|2-|1|22|2|12|=b2+4c2-6a2=4b24c2-6a2=3c2-3a2c2=3a2e=.2+42-(6)22233.(2018全国高考文科T10)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,则点22222到C的渐近线的距离为()(4,0)A.B.2C.D.223 222【命题意图】本小题主要考查圆锥曲线的应用,意在考查双曲线的离心率、渐近线,以及基本运算能力,培养学生的运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】选 D.方法一(直接法):由已知,双曲线C的一条渐近线为y=x,即bx-ay=0,所以点(4,0)到C的渐近线的距离为d=,|4-0|2+24因为a2+b2=c2,离心率e=,2所以e2=2,a2=,+b2=c2,b2=,=,=,所以d=2.222222222212222方法二(数形结合):画图草图,记C的递增的渐近线斜率为k,倾斜角为,点P(4,0)到C的渐近线的距离为d,则k=tan=(借助以角为内角的直角三角形,对边为b,邻边为a,由勾股定理求得斜边c),所以 sin=,2+2又离心率e=,2记c=t,则a=t,2所以b=t,sin=,22在 RtOPQ中,sin=,所以=,所以d=2.442226.(2018全国卷 I 高考理科T11)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,23过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则=()|A.B.3C.2D.4323【解析】选 B.渐近线方程为:-y2=0,即y=x,2333所以MON=.3因为OMN为直角三角形,假设ONM=,如图,2所以kMN=,直线MN方程为y=(x-2).33联立=-33,=3(-2),?所以N,即ON=,因为MON=,(32,-32)33所以|MN|=3.1.(2018全国卷 I 高考理科T8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点且斜率为 的直(-2,0)23线与C交于M,N两点,则=()A.5B.6C.7D.8【解题指南】在求解的过程中,首先需要根据题意确定直线的方程,之后需要联立方程组,消元化简求解,从而确定出M(1,2),N(4,4),之后借助于抛物线的方程求得F(1,0),最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标,之后应用向量数量积坐标公式求得结果,也可以不求点M,N的坐标,应用根与系数的关系得到结果.【解析】选 D.由题意知直线MN的方程为y=(x+2),F(1,0).23设M(x1,y1),N(x2,y2),与抛物线方程联立有=23(+2),2=4,?可得或1=1,1=2?2=4,2=4,?所以=(0,2),=(3,4),所以=03+24=8.2.(2018全国高考理科T16)已知点M和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k(-1,1)的直线与C交于A,B两点.若AMB=90,则k=.【命题意图】本题以直线与抛物线作为问题背景,考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的几何性质,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算等核心素养.试题难度:难.【解析】由抛物线的方程y2=4x可知其焦点F的坐标为(1,0),所以直线AB的方程为y=k(x-1),由得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,=(-1),2=4,?设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=1,2(2+2)2因为AMB=90,所以=(x1+1,y1-1)(x2+1,y2-1)=(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=(x1+1)(x2+1)+k(x1-1)-1k(x2-1)-1=(1-k-k2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+k2+2k+2=(1-k-k2)+(1+k2)+k2+2k+2=0,2(2+2)2整理可解得k=2.答案:21.(2017全国乙卷文科T12)设 A,B 是椭圆 C:+=1 长轴的两个端点,若 C 上存23x2ym在点 M 满足AMB=120,则 m 的取值范围是()A.(0,19,+)B.(0,9,+)3C.(0,14,+)D.(0,4,+)3【命题意图】本题主要考查椭圆的性质,利用椭圆的性质解决相关问题.【解析】选 A.当 0m3 时,焦点在 x 轴上,要使 C 上存在点 M 满足AMB=120,则tan60=ab,即,得 03 时,焦点在 y 轴上,要使 C 上存在点 M 满足AMB=120,则33m3tan60=,即,得 m9,故 m 的取值范围为(0,19,+),故选 A.ab33m33.(2017全国丙卷理科T10)已知椭圆 C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,22xa22yb且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为()A.B.C.D.63332313【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力.【解析】选 A.直线 bx-ay+2ab=0 与圆相切,所以圆心到直线的距离 d=a,整理得222ababa2=3b2,即 a2=3(a2-c2)2a2=3c2,即=,e=.22ca23ca634.(2017全国丙卷文科T11)同(2017全国丙卷理科T10)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx-22xa22ybay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为()A.B.C.D.63332313【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力.【解析】选 A.直线 bx-ay+2ab=0 与圆相切,所以圆心到直线的距离 d=a,整理为222ababa2=3b2,即 a2=3(a2-c2)2a2=3c2,即=,e=22ca23ca631.(2017全国丙卷理科T5)已知双曲线 C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为22xa22yby=x,且与椭圆+=1 有公共焦点,则 C 的方程为()52212x23yA.-=1B.-=1C.-=1D.-=1212x210y24x25y25x24y24x23y【命题意图】本题考查双曲线标准方程和性质,考查学生的运算求解能力.【解析】选 B.由题意可得:=,c=3,又 a2+b2=c2,解得 a2=4,b2=5,ba52则 C 的方程为-=1.24x25y【光速解题】根据渐近线方程可判断 a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)22xa22yb2+y2=4 所截得的弦长为 2,则 C 的离心率为()A.2 B.C.D.322 33【命题意图】双曲线的几何性质与圆的标准方程,弦长,通过距离的运算考查了学生的运算能力,通过求离心率考查了几何性质的应用.【解析】选 A.圆心到渐近线 bxay=0 的距离为=,所以=c=2ae=2.21232bc33.(2017全国甲卷文T5)若 a1,则双曲线-y2=1 的离心率的取值范围是()22xaA.(,+)B.(,2)C.(1,)D.(1,2)222【命题意图】双曲线的几何性质,通过离心率的取值范围的运算考查了学生的几何性质的应用和运算能力.【解析】选 C.由题意 e2=1+,因为 a1,所以 11+2,则 1e0,b0)的右顶点为 A,以 A22xa22yb为圆心,b 为半径作圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M,N 两点.若MAN=60,则 C 的离心率为.【命题意图】本题主要考查双曲线的性质,并与圆巧妙结合,利用点到直线距离公式求双曲线的离心率,考查考生解决问题的综合能力.【解析】如图,=a,=b,OAANAM因为MAN=60,所以=b,AP32=,OP22OPPA2234ab所以 tan=,APOP223234bab又因为 tan=,所以=,解得 a2=3b2,ba223234babbae=.221ba1132 33答案:2 33【反思总结】双曲线渐近线是其独有的性质,所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点:解渐近线,直接把双曲线后面的 1 换成 0 即可;双曲线的焦点到渐近线的距离是 b;双曲线的顶点到渐近线的距离是.abc9.(2017全国丙卷文科T14)双曲线-=1(a0)的一条渐近线方程为 y=x,则 a=.22xa29y35【命题意图】本题考查双曲线的定义,考查学生运算求解的能力.【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为:y=x,结合题意可得:a=5.3a答案:51.(2017全国乙卷理科T10)已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1与 C 交于 A,B 两点,直线 l2与 C 交于 D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10【命题意图】考查抛物线的相关性质,并以抛物线为载体考查直线与抛物线位置关系问题.【解析】选 A.方法一:设直线 l1方程为 y=k1(x-1),联立方程2141xyxyk得x2-2x-4x+=0,21k21k21k设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),所以 x1+x2=-,221122112424kkkk同理直线 l2与抛物线的交点满足 x3+x4=,222224kk由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+82+8=16,222124kk222224kk214k224k221216k k当且仅当 k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:不妨设 AB 倾斜角为.作 AK1垂直于准线,垂足为 K1,AK2垂直 x 轴,垂足02为 K2,准线交 x 轴于点 G,易知11cos=22AFGFAFppGFpAKAK 几何关系抛物线特性所以cos+p=,AFAF同理=,=,AF1 cosPBF1 cosP所以=,AB221cosP22sinP又 DE 与 AB 垂直,即 DE 的倾斜角为+,2=,DE222sinP22cosP而 y2=4x,即 p=2.所以+=2p=4=ABDE2211sincos2222sincossin cos224sin cos24124sin=16,当=取等号,2162sin4即+最小值为 16,故选 A.ABDE1.(2016全国卷高考文科T5)直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心l到 的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()lA.B.C.D.13122334【解析】选 B.设椭圆的标准方程为+=1(ab0),右焦点 F(c,0),则直线 的方程为22xa22ybl+=1,即 bx+cy-bc=0,由题意可知=b,又 a2=b2+c2,得 b2c2=b2a2,xcyb22bcbc1214所以 e=.ca122.(2016全国卷文科T12)与(2016全国卷 3理科T11)相同已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:=1(ab0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左,右顶点.P2222xyab为 C 上一点,且 PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为()A.B.C.D.13122334【解题指南】点 M 是直线 AE 和直线 BM 的交点,点 M 的横坐标和左焦点相同,进而找到a,b,c 的联系.【解析】选 A.由题意可知直线 AE 的斜率存在,设为 k,直线 AE 的方程为 y=k,xa令 x=0 可得点 E 坐标为,所以 OE 的中点 H 坐标为,又右顶点 B(a,0),所以0,kaka0,2可得直线 BM 的斜率为-,可设其方程为 y=-x+a,联立可得点 M 横k2k2k2yk xa,kkyxa,22 坐标为-,又点 M 的横坐标和左焦点相同,所以-=-c,所以 e=.a3a3131.(2016全国卷高考理科T5)已知方程表示双曲线,且该双曲2222xy1mn3mn线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)33【解析】选 A.表示双曲线,2222xy1mn3mn则(m2+n)(3m2-n)0,所以-m2n3m2,由双曲线性质知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中 c 是半焦距,所以焦距 2c=22|m|=4,解得|m|=1,所以-1n0),设圆的方程为 x2+y2=r2,题目条件翻译如图:设 A(x0,2),D,2p,52点 A(x0,2)在抛物线 y2=2px 上,所以 8=2px0.2点 D在圆 x2+y2=r2上,所以 5+=r2.p,522p2点 A(x0,2)在圆 x2+y2=r2上,所以+8=r2.220 x联立解得:p=4,焦点到准线的距离为 p=4.2.(2016全国卷文科T5)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,曲线 y=(k0)与 C 交于kx点 P,PFx 轴,则 k=()A.B.1 C.D.21232【解题指南】P 是两条曲线的交点,先利用抛物线方程 y2=4x 求出交点坐标,再代入曲线方程 y=.kx【解析】选 D.因为抛物线方程是 y2=4x,所以 F(1,0).又因为 PFx 轴,所以 P(1,2),把 P 点坐标代入曲线方程 y=(k0),kx即=2,所以 k=2.k1(2015新课标全国卷理科T5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C:-y2=1 上的一点,F1,F2是 C 的两个x22焦点,若0,则 y0的取值范围是()M1M2A.（-33，33）B.（-36，36）C.（2 23，2 23）D.（2 33，2 33）【解题指南】将 M(x0,y0)代入到双曲线-y2=1 中,确定 x0,y0之间的关系,利用 MM0,b0)中,得出 a,b,c 之间的关系,x22y22然后确定离心率.【解析】选 D.设双曲线方程为-=1(a0,b0),如图所示,x22y22|AB|=|BM|,ABM=120,过点 M 作 MNx 轴,垂足为 N,在 RtBMN 中,|BN|=a,|MN|=a,故点 M 的坐标为 M(2a,a),33代入双曲线方程得 a2=b2=c2-a2,即 c2=2a2,所以 e=.218.(2015新课标全国卷文科T15)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为 y=x,则该双312曲线的标准方程为.【解题指南】由双曲线渐近线方程为 y=x,设出双曲线方程为-y2=m,将点(4,)代入双曲12x243线方程求得 m 的值.【解析】根据双曲线渐近线方程为12yx，可设 双曲线的方程为224xym，把4,3代入224xym，得1m.答案：2214xy(2014新课标全国卷高考理科数学T10)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为30的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则OAB 的面积为()A.B.C.D.3 349 38633294【解题提示】将三角形 OAB 的面积通过焦点“一分为二”,设出 AF,BF,利用抛物线的定义求得面积.【解析】选 D.设点 A,B 分别在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2+m,2n=2-n,解得 m=(2+),n=(2-),所以 m+n=6.343343323323所以SOAB=(m+n)=94.故选 D.1 32 4