浙教版八年级数学下册第章二次根式知识点总结.pdf

知识点一：二次根式的概念知识点一：二次根式的概念【知识要点知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义【例例 2】2】若式子13x有意义，则 x 的取值范围是 举一反三：举一反三：1、使代数式有意义的 x 的取值范围是 221xx2、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点 P（m，n）的位置在（）mnm1A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例例 3】3】若 y=5x+x5+2009，则 x+y=解题思路：式子a（a0），50,50 xx 5x，y=2009，则 x+y=2014举一反三：举一反三：1、若11xx 2()xy，则xy的值为（）A1 B1 C2 D33、当a取什么值时，代数式21 1a 取值最小，并求出这个最小值。已知 a 是整数部分，b 是 的小数部分，求的值。若的整数部分为 x，小数部分为 y，求5512ab17的值.yx12知识点二：二次根式的性质知识点二：二次根式的性质【知识要点知识要点】1.非负性：是一个非负数 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到2.注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或()()aa a20非负代数式写成完全平方的形式：非负代数式写成完全平方的形式：3.注意：（1）字母不一定是正数aaa aa a200|()()（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外 4.公式与的区别与联系aaa aa a200|()()()()aa a20 （1）表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数（2）表示一个数的算术平方根的平a2()a2方，a 的范围是非负数（3）和的运算结果都是非负的a2()a2【典型例题典型例题】【例例 4】4】若22340abc，则cba 举一反三：举一反三：1、已知直角三角形两边 x、y 的长满足x240，则第三边长为.652 yy2、若1ab与24ab互为相反数，则2005_ab。（公式（公式的运用）的运用）)0()(2aaa【例例 5】5】化简：21(3)aa 的结果为（）A、42a B、0 C、2a4 D、4举一反三：举一反三：3 已知直角三角形的两直角边分别为和，则斜边长为 25 （公式公式的应用）的应用）)0a(a)0a(aaa2【例例 6】6】已知,则化简的结果是2x 244xxA、B、C、D、2x 2x 2x 2x举一反三：举一反三：2、化简得（）2244123xxx（A）2（B）（C）2（D）44x44x3、已知0a，化简求值：22114()4()aaaa【例例 7】7】如果表示 a，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简ab+2()ab 的结果等于（）A2b B2b C2a D2a举一反三：举一反三：实数在数轴上的位置如图所示：化简：a21(2)_aa【例例 8】8】化简的结果是 2x-5，则x的取值范围是（）21816xxxoba（A）x为任意实数 （B）x4 （C）x1 （D）x11举一反三：举一反三：若代数式的值是常数，则的取值范围是（）22(2)(4)aa2a或4a2a24a2a 4a【例例 9】9】如果，那么 a 的取值范围是（）A.a=0 B.a=1 C.a=0 或 a=1 11a2aa2D.a1 举一反三：举一反三：1、如果成立，那么实数 a 的取值范围是（）2693aaa2、若，则的取值范围是（）03)3(2xxx（A）（B）（C）（D）3x3x3x3x【例例 10】10】化简二次根式的结果是22aaa（A）(B)(C)(D)2 a2a2a2a1、把根号外的因式移到根号内：当0 时，；。bxxbaa11)1(知识点三：最简二次根式和同类二次根式知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题典型例题】【例例 11】11】下列根式中能与是合并的是()3A.B.C.2 D.827521举一反三：举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）A、B、C、D、318和133和22a bab和11aa和2、如果最简二次根式与能够合并为一个二次根式,则 a=_.83 aa217知识点四：二次根式计算知识点四：二次根式计算分母有理化分母有理化【知识要点知识要点】1 1分母有理化分母有理化定义：定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2 2有理化因式：有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用来确定，如：，与等分aaaaa与abab与ba ba 别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，abababab与分别互为有理化因式。a xbya xby与3 3分母有理化的方法与步骤：分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题典型例题】【例例 1 12 2】把下列各式分母有理化（1）（2）2525abba5353举一反三：举一反三：1、已知，求下列各式的值：（1）（2）2323x2323yxyxy223xxyy知识点知识点五五：根式比较大小：根式比较大小【知识要点知识要点】1 1、根式变形法、根式变形法 当时，如果，则；如果，则。0,0ababababab2 2、平方法、平方法 当时，如果，则；如果，则。0,0ab22abab22abab3 3、分母有理化法、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4 4、分子有理化法、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5 5、倒数法、倒数法6 6、媒介传递法、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7 7、作差比较法、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：0abab；0abab8 8、求商比较法、求商比较法它运用如下性质：当 a0，b0 时，则：1aabb；1aabb【典型例题典型例题】【例例 1313】比较与的大小。【例例 1414】比较与的大小。3 55 3231121【例例 1515】比较76与65的大小。【例例 1616】比较73与873的大小。已知：，求的值二次根式和一元二次方程经典练习题二次根式和一元二次方程经典练习题1.把的根号外的因式移到根号内等于 。1aa2.若与互为相反数，则。1ab24ab2005_ab3.若，则等于（）23a2223aaA.B.C.D.52a1 2a25a21a4.若，则化简后为（）1a 31 aA.B.C.D.11aa11aa11aa11aa5.计算：的值是（）22211 2aaA.0 B.C.D.或42a24a24a42a6.若成立，则 x、y 符合的条件是（）x24y2x2yA.x0，y0B.x0，y 为一切实数C.x0，y0D.以上都不对7.若和都是最简二次根式，则。22m n 3223mn_,_mn8.已知，化简二次根式的正确结果为（）0 xy 2yxx A.B.C.D.yyyy 9.若，则化简的结果是（）12x224421xxxx A.B.C.3 D.-321x21x10.若，则的值等于（）2182102xxxxx A.4 B.C.2 D.2411.若的整数部分为，小数部分为，则的值是（）3xy3xy A.B.C.1 D.33 33312.若最简二次根式与是同类二次根式，则。若最简二次根式125aa34ba_,_ab与是同类二次根式，则。23412a 22613a _a 13、以-3 和 7 为根且二次项系数为 1 的一元二次方程是 14、如果是一个完全平方式，则_51222mxmxm15、已知是一元二次方程的两个实数根，且，则12xx，224(35)60 xmxm23|21xxm=_16、已知是方程的两实根，是否能适当选取 a 的值，使得12xx，04442aaxax的值等于_)2)(2(1221xxxx4517、关于 x 的二次方程的两根一个比 1 大，另一个比 1 小，则 m 的取值范)0(04)1(22mxmmx围是_18、已知二次方程的两根都是负数，则 k 的取值范围是_010)32(2kxkkx19、方程的两个实根，且这两根的平方和比这两根之积大 21，那么 m=04)1(222mxmx_20、一元二次方程的两实根之差是 3，则052kxx_k21、已知实数满足，那么的值是（）?x01122xxxxxx1（A）1 或-2（B）-1 或 2（C）1（D）-222、关于 x 的方程的两实根满足，则的值是（）0222ttxx2)1)(1(21xx114tt（A）-5 （B）5 （C）-9 （D）-1523、已知、为ABC 的三边，试判断关于的方程的根的情abcx)(02)(2cbcbaxxcb况24、已知是关于 x 的方程的两个实根，k 取什么值时，12xx，0)4(412kkkxx1237(2)(2)4xx25、已知关于的方程有两个不相等的实数根、，且x220 xkxkn1x2x1212(2)8(2)150 xxxx（1）求证：（2）试用的代数式表示（3）当时，求的值0n k1x3n k26、已知：是关于的方程的两个实数根且，求21xx、x22210 xaxa122211xx的值a27、已知关于的一元二次方程x241210 xmxm（1）求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根（2）若方程两根为，且满足m21xx、，求的值121112xx m28、已知关于的方程的两根是一个矩形两邻边的长（1）取何值时，方程x0141)1(22kxkxk在两个实数根；（2）当矩形的对角线长为时，求的值5k29.。200020013232_A30.计算及化简：.（2）2ababababab2aabbabaabaabbabbab31、已知：，求的值。3232,3232xy32432232xxyx yx yx y32、已知：，求的值。1110aa 221aa33、已知：为实数，且，化简：。,x y113yxx 23816yyy34、已知的值。11039322yxxxyx，求