资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、2、1．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率是( )
A． B．
C． D．
2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sinE的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，的半径弦于点，连结并延长交于点，连结．若，，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
4．如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形，它们分别是△P1A1O、△P2A2O、△P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＜S2＜S3
B．S2＜S1＜S3
C．S3＜S1＜S2
D．S1＝S2 ＝S3
5．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC＝55°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．125° D．130°
6．在阳光的照射下，一块三角板的投影不会是（ ）
A．线段 B．与原三角形全等的三角形
C．变形的三角形 D．点
7．如右图要测量小河两岸相对的两点、的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测得米，，则小河宽为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．如图为4×4的正方形网格，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( )
A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
9．如图，中，中线AD，BE相交于点F，，交于AD于点G，下列说法①；②；③与面积相等；④与四边形DCEF面积相等.结论正确的是( )
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
10．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
11．一元二次方程x2+4x＝5配方后可变形为（ ）
A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝21
12．小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知二次函数（），与的部分对应值如下表所示：
-1
0
1
2
3
4
6
1
-2
-3
-2
下面有四个论断：①抛物线（）的顶点为；②；③关于的方程的解为，；④当时，的值为正，其中正确的有_______.
14．已知点E是线段AB的黄金分割点,且，若AB=2则BE=__________.
15．若，则＝_____．
16．已知一元二次方程有一个根为，则另一根为________．
17．抛物线y=2x2+4x-1向右平移_______个单位，经过点P（4,5）.
18． “永定楼”，作为门头沟区的地标性建筑，因其坐落在永定河畔而得名．为测得其高度，低空无人机在A处，测得楼顶端B的仰角为30°，楼底端C的俯角为45°，此时低空无人机到地面的垂直距离AE为23 米，那么永定楼的高度BC是______米（结果保留根号）．
三、解答题（共78分）
19．（8分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处回合，如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系.
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
20．（8分）解方程：x2﹣6x﹣40＝0
21．（8分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠B＝35°，求∠CAE度数.
22．（10分）小明和同学们在数学实践活动课中测量学校旗杆的高度．如图，已知他们小组站在教学楼的四楼，用测角仪看旗杆顶部的仰角为，看旗杆底部的俯角是为，教学楼与旗杆的水平距离是，旗杆有多高（结果保留整数）？（已知，，，，）
23．（10分）因抖音等新媒体的传播，西安已成为最著名的网红旅游城市之一，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达万人次，古城西安美食无数，一家特色小面店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该小面的成本价为每碗元，借鉴以往经验；若每碗小面卖元，平均每天能够销售碗，若降价销售，毎降低元，则平均每天能够多销售碗．为了维护城市形象，店家规定每碗小面的售价不得超过元，则当每碗小面的售价定为多少元时，店家才能实现每天盈利元？
24．（10分）（1）已知关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝1．求证：无论a取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠1）中的x和y满足下表：
x
…
﹣1
1
1
2
3
…
y
…
3
1
﹣1
1
m
…
①观察上表可求得m的值为 ；
②试求出这个二次函数的解析式．
25．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC＞AD，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
26．已知如图，⊙O的半径为4，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且∠C＝2∠A．
（1）求∠A的度数．
（2）求BD的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数为10，
所以两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．
故选D．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法．利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
2、B
【分析】首先连接OC，由CE是切线，可得，由圆周角定理，可得，继而求得的度数，则可求得的值．
【详解】解：连接OC，
是切线，
，
即，
，、分别是所对的圆心角、圆周角,
，
，
．
故选：B.
【点睛】
此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值．根据切线的性质连半径是解题的关键．
3、C
【分析】连接BE，设⊙O的半径为r，然后由垂径定理和勾股定理列方程求出半径r，最后由勾股定理依次求BE和EC的长即可．
【详解】解：如图：连接BE
设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，OC=r-2
∵OD⊥AB，
∴∠ACO=90°
∴AC=BC=AB=4，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：
r2-42=（r-2）2，解得：r=5
∴AE=2r=10，
∵AE为⊙O的直径
∴∠ABE=90°
由勾股定理得：BE= =6
在Rt△ECB中，EC=．
故答案为C．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理和勾股定理，根据题意正确作出辅助线、构造出直角三角形并利用勾股定理求解是解答本题的关键．
4、D
【分析】由于P1、P2、P3是同一反比例图像上的点，则围成的三角形虽然形状不同，但面积均为．
【详解】根据反比例函数的k的几何意义，△P1A1O、△P2A2O、△P3A3O的面积相同，均为，所以S1=S2=S3，故选D．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，过同一反比例上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，而围成的三角形的面积为，本知识点是中考的重要考点，应高度关注．
5、B
【分析】由点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝40°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数．
【详解】解：∵∠BAC＝55°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝110°．（圆周角定理）
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半
6、D
【分析】将一个三角板放在太阳光下，当它与阳光平行时，它所形成的投影是一条线段；当它与阳光成一定角度但不垂直时，它所形成的投影是三角形．
【详解】解：根据太阳高度角不同，所形成的投影也不同．当三角板与阳光平行时，所形成的投影为一条线段；当它与阳光形成一定角度但不垂直时，它所形成的投影是三角形，不可能是一个点，
故选D.
【点睛】
本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应视其外在形状，及其与光线的夹角而定．
7、A
【分析】根据锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】解：在Rt△ACP中，tan∠ACP=
∴米
故选A．
【点睛】
此题考查是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解决此题的关键．
8、B
【解析】试题解析：由图可得：OA=OB=OC=，
所以点O在△ABC的外心上，
故选B.
9、D
【分析】为BC,AC中点，可得 由于可得；可证故①正确.②由于则可证,故②正确.设，可得可判断③错，④正确.
【详解】解：①∵为BC,AC中点，
；
故①正确.
②
,故②正确.
③④设，
故③错，④正确.
【点睛】
本题考查了平行线段成比例，解题的关键是掌握平行线段成比例以及面积与比值的关系.
10、B
【分析】过A点作AH⊥BC于H，利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，BH=CH=AH= BC=2，分类讨论：当0≤x≤2时，如图1，易得PD=BD=x，根据三角形面积公式得到y=x2；当2＜x≤4时，如图2，易得PD=CD=4-x，根据三角形面积公式得到y=-x2+2x，于是可判断当0≤x≤2时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当2＜x≤4时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2，
当0≤x≤2时，如图1，∵∠B=45°，
∴PD=BD=x，
∴y=•x•x=；
当2＜x≤4时，如图2，∵∠C=45°，
∴PD=CD=4﹣x，
∴y=•（4﹣x）•x=，
故选B．
11、B
【分析】两边配上一次项系数一半的平方可得．
【详解】∵x2+4x=5，
∴x2+4x+4=5+4，即（x+2）2=9，
故选B．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的基本技能，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵活选择方法是解题的关键．
12、D
【解析】根据题意先画出树状图得出所有等情况数和到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有12种等情况数，抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的有2种情况，
则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是＝；
故选D．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、①③④
【分析】根据表格，即可判断出抛物线的对称轴，从而得到顶点坐标，即可判断①；根据抛物线的对称性即可判断②；根据表格中函数值为-2时，对应的x的值，即可判断③；根据二次函数的增减性即可判断④．
【详解】解：①根据表格可知：抛物线（）的对称轴为x=2，
∴抛物线（）的顶点为，故①正确；
②根据抛物线的对称性可知：当x=4和x=0时，对应的函数值相同，
∴m=1，故②错误；
③由表格可知：对于二次函数，当y=-2时，对应的x的值为1或3
∴关于的方程的解为，，故③正确；
④由表格可知：当x＜2时，y随x的增大而减小
∵，抛物线过（0,1）
∴当时，＞1＞0
∴当时，的值为正，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的对称性、顶点坐标与最值、二次函数与一元二次方程的关系和二次函数的增减性是解决此题的关键．
14、
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比；
【详解】解：∵点E是线段AB的黄金分割点，且BE>AE，
∴BE=AB，
而AB=2，
∴BE=；
故答案为：；
【点睛】
本题主要考查了黄金分割，掌握黄金分割是解题的关键.
15、
【解析】
=.
16、4
【分析】先把x=2代入一元二次方程，即可求出c，然后根据一元二次方程求解即可.
【详解】解：把x=2代入得
4﹣12+c=0
c=8,
（x-2）（x-4）=0
x1=2，x2=4,
故答案为4.
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是求出c的值.
17、3或7
【分析】先化成顶点式，设向右平移个单位，再由平移规律求出平移后的抛物线解析式，再把点（4，5）代入新的抛物线解析式即可求出m的值．
【详解】，
设抛物线向右平移个单位，得到：，
∵经过点（4，5），
∴，
化简得：，
∴
解得：或．
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查了函数图象的平移和一个点在图象上那么这个点就满足该图象的解析式，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式．
18、
【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则∠DAC=45°，∠BAD=30°，进一步推出AD=CD=AE=米,再根据tan∠BAD= = ,从而求出BD的值，再由BC=BD+CD即可得到结果.
【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，则∠DAC=45°，∠BAD=30°，
∵AD⊥BC, ∠DAC=45°，
∴AD=CD=AE=米,
在Rt△ABD中，
tan∠BAD= =，
∴BD=AD = =23(米)
∴BC=BD+CD= (米)
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边角关系求解．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）王师傅必须在7米以内.
【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为（3，5），设抛物线解析式为y=a(x-3)+5，把（8，0）单人宽求出a的值，即可得抛物线解析式；（2）把y=1.8代入解析式求出x的值，根据函数图像的对称性求出负半轴的坐标即可.
【详解】（1）设，过点
∴代入，解得
∴抛物线（第一象限部分）的函数表达式为
（2）
∴
或-1
，图象对称
负半轴为-7
答：王师傅必须在7米以内.
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值.
20、x1＝10，x2＝﹣1．
【分析】用因式分解法即可求解.
【详解】解：x2﹣6x﹣10＝0，
（x﹣10）（x+1）＝0，
∴x﹣10＝0或x+1＝0，
∴x1＝10，x2＝﹣1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法，有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
21、∠CAE＝20°.
【分析】根据等边对等角求出∠BAD，从而求出∠ADC，在等腰三角形ADC中，由三线合一求出∠CAE.
【详解】
∵BD＝AD，
∴∠BAD=∠B=35°，
∴∠ADE=∠BAD＋∠B=70°，
∵AD=AC，
∴∠C=∠ADE=70°，
∵AD=AC，AE平分DC，
∴AE⊥EC，（三线合一）.
∴∠EAC=90°－∠C=20°.
【点睛】
本题的解题关键是掌握等边对等角和三线合一.
22、旗杆的高约是．
【分析】过点B作于点，由题意知，，，，根据锐角三角函数即可分别求出AC和CD，从而求出结论．
【详解】解：过点B作于点，由题意知，，，
∵，
∴m，
∵，
∴m，
∴m，
答：旗杆的高约是．
【点睛】
此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．
23、当每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润．
【分析】可设每碗售价定为x元时，店家才能实现每天利润6300元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．
【详解】设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润元，依题意有
，
解得，
每碗售价不得超过元，
．
答：当每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
24、（2）证明见解析；（2）①3；②y＝（x﹣2）2﹣2．
【分析】（2）△＝（a+3）2﹣4（a+2）＝a2+2a+5＝（a+2）2+4＞2，即可求解；
（2）①函数的对称轴为：x＝2，根据函数的对称轴知，m＝3，即可求解；
②函数的顶点坐标为（2，﹣2），故抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2﹣2，将（2，2）代入上式并解得：a＝2，即可求解．
【详解】（2）△＝（a+3）2﹣4（a+2）＝a2+2a+5＝（a+2）2+4＞2，
故无论a取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）①函数的对称轴为：x＝2，
根据函数的对称性可得，m＝3，
故答案为：3；
②函数的顶点坐标为（2，﹣2），故抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2﹣2，
将（2，2）代入上式得：2＝a（2﹣2）2﹣2，解得：a＝2，
故抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，此题中能读懂表格中的数值变化是解题的关键.
25、（1）见解析；（2）DC＝6.4cm；（3）当△EFB为等腰三角形时，t的值为秒或秒或秒．
【分析】（1）根据三角形相似的判定定理即可得到结论；
（2）由△ACD∽△BAC，得，结合＝8cm，即可求解；
（3）若△EFB为等腰三角形，可分如下三种情况：①当 BF＝BE时， ②当EF＝EB时，③当FB＝FE时，分别求出t的值，即可．
【详解】（1）∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
又AC⊥BC，∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ACD∽△BAC；
（2）在Rt△ABC中，＝8cm，
由（1）知，△ACD∽△BAC，
∴ ，
即: ，解得：DC＝6.4cm；
（3）△BEF能为等腰三角形，理由如下：
由题意得：AF＝2t，BE＝t，
若△EFB为等腰三角形，可分如下三种情况：
①当 BF＝BE时，10﹣2t＝t，解得：t=；
②当EF＝EB时，如图1，过点E作AB的垂线，垂足为G，
则，此时△BEG∽△BAC，
∴，即 ，
解得：t=；
③当FB＝FE时，如图2，过点F作AB的垂线，垂足为H，
则，此时△BFH∽△BAC，
∴，即 ，
解得：；
综上所述：当△EFB为等腰三角形时，t的值为秒或秒或秒．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质的综合以及等腰三角形的性质与勾股定理，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．
26、（1）60°；（2）．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质即可得到结论；
（2）连接OB，OD，作OH⊥BD于H根据已知条件得到∠BOD＝120°；求得∠OBD＝∠ODB＝30°，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∵∠C＝2∠A，
∴∠A＝60°；
（2）连接OB，OD，作OH⊥BD于H
∵∠A＝60°，∠BOD＝2∠A，
∴∠BOD＝120°；
又∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝30°，
∵OH⊥BD于H，
在Rt△DOH中，，即，
∴，
∵OH⊥BD于H，
∴.
【点睛】
此题考查圆的性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，在圆中求弦长、半径、弦心距三个量中的一个时，通常利用勾股定理与垂径定理进行计算.
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