常微分方程(王高雄)第三版-4.3.ppt

4.3高阶高阶微分方程的降阶和幂级数解法微分方程的降阶和幂级数解法 1.一、可降阶的一些方程类型一、可降阶的一些方程类型 n阶微分方程的一般形式阶微分方程的一般形式:1 不显含未知函数不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)k-1(k1)阶导数的方程是阶导数的方程是解得积分即2.解题步骤解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解即第三步:对上式求k次积分,即得原方程的通解3.解令则方程化为这是一阶方程,其通解为即有对上式积分4次,得原方程的通解为例14.2 不显含自变量不显含自变量t的方程的方程,一般形式一般形式:因为5.用数学归纳法易得:将这些表达式代入(4.59)可得:即有新方程它比原方程降低一阶6.解题步骤解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即得原方程的通解7.解令则方程化为从而可得及这两方程的全部解是例2再代回原来变量得到所以得原方程的通解为8.3 已知齐线性方程的非零特解已知齐线性方程的非零特解,进行降阶进行降阶的非零解令则代入(4.69)得即9.引入新的未知函数方程变为是一阶线性方程,解之得因而则10.因此(4.69)的通解为11.解题步骤解题步骤:第一步:第二步:解之得即12.第三步:第四步:(4.69)的通解为注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)13.解这里由(4.70)得例314.15.代入(4.2)得16.事实上17.若则即因此,对(4.67)仿以上做法,18.19.二、二阶线性方程的幂级数解法二、二阶线性方程的幂级数解法对二阶变系数齐线性方程其求解问题,归结为寻求它的一个非零解.下面考虑该方程及初始条件用级数表示解?20.定理1021.定理1122.例4解设级数为方程的解,由初始条件得:因而将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得23.即因而也即24.故方程的解为25.例5解将方程改写为易见,它满足定理11条件,且26.将(4.75)代入(4.74)中,得27.由(4.76)得即28.从而可得29.因此(4.77)变为30.若取则可得(4.74)的另一个特解由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.31.因而(4.74)的通解为因此,不能象上面一样求得通解;因此,(4.74)的通解为32.例6解代入方程得33.代回原来的变量得原方程的通解为34.作业vP165 2,5,vP165 8,1035.