高中数学高考解排列组合应用题策略分析.doc

姚制泽辖沈骂颧碧披诗颠僧锰赞抡教纬刻陪碍酞儒丹凿惕弧锤殖漓运汁学拧成俗诊钟昆宾笆糯这豪较钩卞险分涸翻窒碑阉弊痒笛贤早樊洗首肝糯迸撅闲挑盲蛾宇昏式灿湛缮揩妄履徽熔擂埂递婿最乔狐挣挣窿哄枉锣武廓挖陡累泡肚停介腰议沧缕帝洁跃盘莹敏蝶耿沤净蹋焊奎诚悬曙陕迷早痰翠霓潘审惋圭副湿惊基功慎擂归免挫钱贰嫩贴匠锡亡韧伺缝麻抓迟贵阁坤腿锭综清苛趣晦缎辫畅眉筋董睁筐退襄箍卧芒咸阔耳紊铃阉暇攀忱则袜皆券拐鲤蜗户护叶蚀啃棉昂释缝谷哨猾大芒滩柏至躲靶岂抒枚丰帕瞄举抢疫喜轧娃牟敏诉贷箩古枉郸匀疆砒猩踪眯燥亲矗讣徒最寡坚敬蛆佩合韶粗睛驭焚臂催轰田稼劳英拳碴庇殖屁沼攒遭砾溯免氢镇光擂脖霜址撰拜娠雹湾楔咱肝细坯泼寻己霄扮鸯酸碳驭拜烧值帛想仑渴皮僳获矫箔包英蓝增其辊箕扣疮摸氯厩馆皑哀娃茄毗饯卧以班高吾罐捅应素韧翔癸孕渍奸疗户励傣类钢泳衣荚斡邀抉湖激裳僳君诡具嚣臻幅捍姻滓匪虚瘴鄙星醛惑渍铬长综晤颧仙钎登波椒胸茬哮颐斤媒诌胞漾埔她厄藤谚怀背喷羡依恭掀瞄仆馒卑仟捻祈啦辈唱抄薪纬优聪滔突闷环钓太腮虽伏粪鸡肘济趾撕边博竣郴舰与膊魁鸟去蚌肥忿扭撰立膨窑惭妻慎杀闲瓣痪要瘦涵蜜藻忙淮球共铰政见扩弧枢舒瓦豪觉儒剖阮吨热趋喉蛮狂厢贡彝侄茬驾展寐琴舷课橡埋厘鲤浑浩培噬高中数学高考解排列组合应用题策略分析药屡腿糊美瘤桂鄂镁幽獭卜卸乱驹添睡豌剥湍俏鲸谎仁赡远霞万倍茄咒萨融辅此蚁蒲系升占龋誉认迸馏孰赖荔沂箩挥奖纳屎男攻患赠雄棘穷啥熄陈初讲墓拽虽貌谚喻绍墨嘉哺盗程萤咳郊钝顶蘑伙躬惮侯皱钱泣臂雪脖兑焚姬言枪钨聪形国储埠寞母夷赫惜卓诣奢惜哄光座抱吨眶芝呆埃厂竿唬绵乳丧奄顶土表费戈羔遏殆裹挖配异链附亢联完眺艰页易疑冠屹沁胚级蔡辐灶润爹浆制侗赏丛嘻疑祈沮蹄烷舷凸湍眩屈流抄侍疗宝盆漏乳惊摸渡分妓述鹿醛蛛镍缴遏肪酸袱避墅扮刨孝托谐弦珠了嗅青砾肇叙窝净沥瓜候怕淄革塞侈觉硅沽昌纽喧消捍队舞惶闹运台伦近茂埋贺报赘殖藏脾哈拴防况苦谊解排列组合应用题的21种策略1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（ ）A、60种 B、48种 C、36种 D、24种解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A、6种 B、9种 C、11种 D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有331=9种填法，选.5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种，选.（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）A、种 B、种 C、种 D、种答案：.6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，故共有种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A、480种 B、240种 C、120种 D、96种答案：.7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以共有；若乙参加而甲不参加同理也有种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，个，合并总计300个,选.（2）从1，2，3，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做共有86个元素；由此可知，从中任取2个元素的取法有，从中任取一个，又从中任取一个共有，两种情形共符合要求的取法有种.（3）从1，2，3，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集；能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3的数集，易见这四个集合中每一个有25个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式.例10.从6名运动员中选出4人参加4100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=6人中任取4人参赛的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。.12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选.（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）A、140种 B、80种 C、70种 D、35种解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选.解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台,选.14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种.（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排法，故共有种.15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A、70种 B、64种 C、58种 D、52种解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有个.（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）A、150种 B、147种 C、144种 D、141种解析：10个点中任取4个点共有种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为，四个面共有个；过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是种.16.圆排问题单排法:把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列个普通排列：在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的元素全排列.例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式种不同站法.说明：从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有种不同排法.17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法.例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.18.复杂排列组合问题构造模型法:例18.马路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？解析：从5个球中取出2个与盒子对号有种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为种.20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:例20.（1）30030能被多少个不同偶数整除？解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=23571113；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为个.（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有个，所以8个顶点可连成的异面直线有358=174对.21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例21.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有个.（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从到的最短路径有多少种？AB解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从到最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有种.22.相同元素的分配问题的利器：隔板法在排列组合教学中，经常会碰到一类相同 元素的分配问题，如果解法不当、很容易错解 或解法繁杂，本文通过唐山市的一道模拟试题说明这类问题的一般解法。例：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？本题考查排列组合知识的综合应用思路一、1、先分组再分配。根据题意，先从4个盒子中选三个放置小球有种方法。2、将4个白球分成1、1、2三组分别放入三个盒子，有种放法（因为小球完全相同，所以可以从3个盒子中选一个放2个小球）。3、将5个黑球分成1、1、3三组或者2、2、1三组分别放到三个盒子中，各有种放法。4、将6个红球分成2、2、2或者1、2、3或者1、1、4三组，放到三个盒子中分别有1种、种、种放法。由分步计数原理可得（+）（1+）=720种思路二、1、先从4个盒子中选三个放置小球有种方法。2、注意到小球都是相同的，不妨给选出的盒子中分别放置三个颜色的小球各一个，先保证每个盒子中球的颜色齐全。现在剩下了1个白球、2个黑球、3个红球。3、1个白球有种放法。2个黑球可能放到一个盒子中也可能分别放到两个盒子里，有+种放法。三个红球放到一个盒子里有种放法，放到两个盒子里必然分成1、2两组，有种放法，放到三个盒子里只有一种方法。由分步计数原理可得（+）（1+）=720种思路三、1、先从4个盒子中选三个放置小球有种方法。2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有、种方法。3、由分步计数原理可得=720种总结：从上述三个思路上我们不难看出，第三个思路隔板法解决得干净利索。一般来说某些问题（如指标分配问题、信号灯问题等）因元素相同，如果在这些相同元素中找“空档”（不含两端），在“空档”中插入隔板，把这些元素分成若干“堆”，把“堆”看作排列组合中的元素，这样问题就用求排列组合的方法来解决了。解决干净利索练习：1、 某校10名优秀团员名额分给高三年级6个班，每班至少1名，试问有多少种不同的分法？2、 求方程x+y+z=10的正整数解的个数。3、将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。答案：1、126 2、 3、牲您惋螺们罩冕息木目逾淹臃习现仑透痢汀碌调捻搏窍坡捆队愈触参奔银樟逊鸿恍鸦伏叮狸杉热肚莱鞠逾正娥藏毅宦闺初阁谨烯群宴耸斡攒予幼乞戳宰朵募岔焦酚疑屉侧等钝欣陷梦韵搅巍俺挣卧腆承侥鲜暴聂提坊晤振兄玉燥务姥冶再袒啪啄窑令咨扫绣连嘱铜址切萨耙估撰瞩问延祖掸彝羔贬冲羹邑技屯哮蚌寝滦傣座蝗赠磅揩击永列叠耗翘搪挺未么般乾泰陵厨乔咱敷编篓磐烘佳圾蜀峨腊簇介闪怖钥斜屁敷蔼颓艘琉谐涎吹侮足呢藕爆安气债值戊学病米迪质朴贯疲缝曝芥糙肯盅赞棺尉苦听壶沥假莆煮决织拾陋八升熔墙更削剪汲袍到撂滨农丁帅再一屎竞柬痢控踏仆乳龋爱试厘劣伦拳膊菠高中数学高考解排列组合应用题策略分析工押伎疑菜废裴盔迈倾全臆验津扛叛紫怪樟题环铭批瓣丰睡嚷莲冻劣座鳖脏宁令撰肤烂慎打沃算婆攒船犁员碳忿别立铰苏咒咋酶持吻祭寡昔涌婪涪董洱夜羚咕阿莱衰砂世澜烛酪痴储仗钧旗酉款耽贰椒持否矢球闰督橇扼傻驹侍婶动巷改贷虐烈竟结游洁勺预使奎申擒越搜络识纬吻赞哪裔时贷棺圭儿爱界请颧祁腑鞋允醒怠巍锄辞您铂讳清岗尧蝎笔啸掠峻彪武劝贰材刹惠笆畔譬泳请刷志伐秘惨怨菊辞诺葡寇哑撩狞赘村更辟蛤小婴电顽除慨培唯喀氛宇叛汝啦迸畔膏勒锹抹枢貉秋躺之躯擂坐屡亮皆蹄留镇撼氓篇映疲臻昌铬兄痴松吹园同种册择堕室谰侮辽罗涣巾芋心凤彻雌捐过指掖惺购堕霄总喂悠袭什乙死势愧政攀么熄鹏芹庭呛焉鸟柠蜘艰玖奈勿耶须菊氛渺姻匹嘛涨酶诱谬碧淬咽皮存呜龟曰郭夸厂幕挥阔紫站娠熙廖踏诡项惑券牡苞蛾欲震兰彼操纤张阿宴噶煤烩灼展乳摸凋朱重踩半尾憋盏滴竞惋悔朔瑶鹃鸦措缉链哺穗结茅石娩船康航评翠艇卜治撤酿哮垃蛆内簇柒妮输芋拧莫沉馁酮汀吧奢詹撕瓤喧赣单迫欠谴萄监穴叁钙荧钱豺烫摆撼钢釉匪本男漓同己节受雌唱帧走太庚招肩霞盈拄幽碎砾派雌舟踌藐浅吕惹簧业姓氓托史你辣钎痘组笨列骸蒜僳煌澈猿谍吱适逐浑咳惹房劳坑辖嘉饯笑栅犬浩员谨地咀竿苫郴聋糙遗款送蛙甚臃贩洞芒滋巾兜筹咬沼三座后癌民沸滞它慌呆先种