资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,则c的值不可能是( )
A．4 B．6 C．8 D．10
2．已知一组数据:2，5，2，8，3，2，6，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．中位数是3，众数是2 B．中位数是2，众数是3
C．中位数是4，众数是2 D．中位数是3，众数是4
3．如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx﹣3的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，点是线段上的黄金分割点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，A、B、C是⊙O上互不重合的三点,若∠CAO＝∠CBO＝20°，则∠AOB的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，若以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则下列各点中在⊙A外的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
8．一元二次方程的两根之和为（ ）
A． B．2 C． D．3
9．点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．下列各式属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．抛物线开口向下，且经过原点，则________．
12．如图，△ABC周长为20cm，BC=6cm,圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为________cm.
13．抛物线的对称轴为直线______.
14．一组数据：2，3，4，2，4的方差是___．
15．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则＝_____．
16．分式方程=1的解为_____
17．如图，、、均为⊙的切线，分别是切点，，则的周长为____．
18．已知3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，则a=_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）为支持大学生勤工俭学，市政府向某大学生提供了万元的无息贷款用于销售某种自主研发的产品，并约定该学生用经营的利润逐步偿还无息贷款，已知该产品的生产成本为每件元．每天还要支付其他费用元．该产品每天的销售量件与销售单价元关系为．
（1）设每天的利润为元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润为多少元？注：每天的利润每天的销售利润一每天的支出费用
（2）若销售单价不得低于其生产成本，且销售每件产品的利润率不能超过，则该学生最快用多少天可以还清无息贷款？
20．（6分）某商场购进一种单价为30元的商品，如果以单价55元售出，那么每天可卖出200个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出10个．假设每个降价x（元）时，每天获得的利润为W（元）．则降价多少元时，每天获得的利润最大？
21．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设．
（1）求证：AE=GE；
（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示的值；
（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．
22．（8分）如图，抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A（-1，0）．过点A作直线y=x+c与抛物线交于点D，动点P在直线y=x+c上，从点A出发，以每秒个单位长度的速度向点D运动，过点P作直线PQ∥y轴，与抛物线交于点Q，设运动时间为t（s）.
（1）直接写出b，c的值及点D的坐标；
（2）点 E是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△CBE的面积为6时，求出点E 的坐标；
（3）在线段PQ最长的条件下，点M在直线PQ上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N的坐标．
23．（8分）综合与实践
在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，，，点为边上的任意一点．将沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的点处．问是否存在是直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出此时的长度．
探究展示：勤奋小组很快找到了点、的位置．
如图2，作的角平分线交于点，此时沿所在的直线折叠，点恰好在上，且，所以是直角三角形．
问题解决:
（1）按勤奋小组的这种折叠方式，的长度为 ．
（2）创新小组看完勤奋小组的折叠方法后，发现还有另一种折叠方法，请在图3中画出来．
（3）在（2）的条件下，求出的长．
24．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3=0 （2）2x2﹣x﹣1=0
25．（10分）作出函数y＝2x2的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）列表：
x
…
…
y
…
…
（2）在下面给出的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，描出列表中的各点，并画出函数y＝2x2的图象：
（3）观察所画函数的图象，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是 （直接写出结论）．
26．（10分）如图，在矩形中，点为原点，点的坐标为，点的坐标为，抛物线经过点、，与交于点．
备用图
⑴求抛物线的函数解析式；
⑵点为线段上一个动点（不与点重合），点为线段上一个动点，，连接，设，的面积为．求关于的函数表达式；
⑶抛物线的顶点为，对称轴为直线，当最大时，在直线上，是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】试题分析：根据抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，可以得到c的取值范围，从而可以解答本题．
∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，
∴ 解得6≤c≤14
考点：二次函数的性质
2、A
【分析】先将这组数据从小到大排列，找出最中间的数，就是中位数，出现次数最多的数就是众数．
【详解】解：将这组数据从小到大排列为：
2，2，2，3，5，6，8，
最中间的数是3，
则这组数据的中位数是3；
2出现了三次，出现的次数最多，
则这组数据的众数是2；
故选：A.
【点睛】
此题考查了众数、中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
3、A
【分析】根据平行四边形得出，再根据相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】四边形ABCD为平行四边形
故选A.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.
4、B
【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论；当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限；
②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，
观察只有B选项符合，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，熟练掌握它们的性质才能灵活解题．
5、A
【分析】根据黄金分割点的定义和得出，代入数据即可得出AP的长度．
【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且，
则．
故选：A．
【点睛】
本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．
6、D
【分析】连接CO并延长交⊙O于点D，根据等腰三角形的性质，得∠CAO=∠ACO，∠CBO=∠BCO，结合三角形外角的性质，即可求解．
【详解】连接CO并延长交⊙O于点D，
∵∠CAO=∠ACO，∠CBO=∠BCO，
∴∠CAO=∠ACO=∠CBO=∠BCO＝20°，
∴∠AOD=∠CAO+∠ACO=40°，∠BOD=∠CBO+∠BCO=40°，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=80°．
故选D．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质，三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质，添加和数的辅助线，是解题的关键．
7、C
【解析】试题分析：根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系．
解：连接AC，
∵AB=3cm，AD=4cm，
∴AC=5cm，
∵AB=3＜4，AD=4=4，AC=5＞4，
∴点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外．
故选C．
考点：点与圆的位置关系．
8、D
【分析】直接利用根与系数的关系求得两根之和即可．
【详解】设x1，x2是方程x2-1x-1=0的两根，则
x1+x2=1．
故选：D．
【点睛】
此题考查根与系数的关系,解题关键在于掌握运算公式 .
9、D
【分析】根据特殊锐角的三角函数值，先确定点M的坐标，然后根据关于x轴对称的点的坐标x值不变，y值互为相反数的特点进行选择即可.
【详解】因为，
所以，
所以点
所以关于x轴的对称点为
故选D.
【点睛】
本题考查的是特殊角三角函数值和关于x轴对称的点的坐标特点，熟练掌握三角函数值是解题的关键.
10、B
【解析】根据最简二次根式的定义进行判断即可.
【详解】解A、 ，不是最简二次根式；
B、2不能再开方，是最简二次根式；
C、，不是最简二次根式；
D、＝2 ，不是最简二次根式．
故选：B．
【点睛】
本题考查了最简二次根式，掌握二次根式的性质及最简二次根式的定义是解答本题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】把原点（0，0）代入y=（k+1）x2+k2﹣9，可求k，再根据开口方向的要求检验．
【详解】把原点（0，0）代入y=（k+1）x2+k2﹣9中，得：k2﹣9=0
解得：k=±1．
又因为开口向下，即k+1＜0，k＜﹣1，所以k=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
主要考查了二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系．要求掌握二次函数图象的性质，并会利用性质得出系数之间的数量关系进行解题．
12、8
【分析】先作出辅助线,连接切点,利用内切圆的性质得到BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,再利用等量代换即可解题.
【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，MN是圆O的切线,
如下图,连接各切点,有切线长定理易得,
BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,
∵△ABC周长为20cm, BC=6cm,
∴BC=CE+BE=CG+BF=6cm,
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+FM+GN=AF+AG,
又∵AF+AG=AB+AC-(BF+CG)=20-6-6=8cm
故答案是8
【点睛】
本题考查了三角形内接圆的性质,切线长定理的应用,中等难度,熟练掌握等量代换的方法是解题关键.
13、
【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的对称轴．
【详解】∵抛物线y=x2+8x+2=(x+1)2﹣11，
∴该抛物线的对称轴是直线x=﹣1．
故答案为：x=﹣1．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14、0.1
【分析】根据方差的求法计算即可．
【详解】平均数为 ，
方差为： ，
故答案为：0.1．
【点睛】
本题主要考查方差，掌握方差的求法是解题的关键．
15、
【分析】先利用平行条件证明三角形的相似,再利用相似三角形面积比等于相似比的平方,即可解题.
【详解】解：∵DE∥BC，，
∴,
由平行条件易证△ADE△ABC,
∴S△ADE:S△ABC=1:9,
∴=.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,中等难度,熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.
16、x=0.1
【解析】分析：方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验．
详解：方程两边都乘以2（x2﹣1）得，
8x+2﹣1x﹣1=2x2﹣2，
解得x1=1，x2=0.1，
检验：当x=0.1时，x﹣1=0.1﹣1=﹣0.1≠0，
当x=1时，x﹣1=0，
所以x=0.1是方程的解，
故原分式方程的解是x=0.1．
故答案为：x=0.1
点睛：本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
17、1
【分析】根据切线长定理得：EC=FC，BF=BD，AD=AE，再由△ABC的周长代入可求得结论．
【详解】解：∵AD，AE、CB均为⊙O的切线，D，E，F分别是切点，
∴EC=FC，BF=BD，AD=AE，
∵△ABC的周长=AC+BC+AB=AC+CF+BF+AB，
∴△ABC的周长=AC+EC+BD+AB=AE+AD=2AD，
∵AD=5，
∴△ABC的周长为1．
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查了切线长定理，熟练掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
18、-3
【分析】根据一元二次方程解的定义把代入x2﹣2x+a＝0即可求得答案.
【详解】将代入x2﹣2x+a＝0得：
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的定义，本题逆用一元二次方程解的定义是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）当销售单价定为25元时，日销售利润最大为200元；（2）该生最快用100天可以还清无息贷款．
【分析】（1）计算利润=销量×每件的利润-支付的费用，化为顶点式，可得结论；
（2）先得出每日利润的最大值，即可求解．
【详解】(1)
∵＜0，
∴当x=25时，日利润最大，为200元，
∴当销售单价定为25元时，日销售利润最大为200元；
(2) 由题意得：，
解得：，
，
∵＜0，
∴抛物线开口向下，当时，随的值增大而增大，
∴当x=15时，日利润最大为100元，
∵10000100=100，
∴该生最快用100天可以还清无息贷款．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
20、降价2.5元时，每天获得的利润最大．
【分析】根据题意列函数关系式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解:由题意得:
W=（55﹣30﹣x）•（200+10x）,
=﹣10x2+50x+5000,
=,
二次函数对称轴为x=2.5,
∴降价2.5元时,每天获得的利润最大,最大利润为5062.5元．
答:降价2.5元时，每天获得的利润最大．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用,解决本题的关键是要熟练掌握商品销售利润问题中等量关系.
21、（1）证明见解析；（2）；（3）n=2或．
【分析】（1）因为GF⊥AF，由对称易得AE=EF，则由直角三角形的两个锐角的和为90度，且等边对等角，即可证明E是AG的中点；
（2）可设AE=a，则AD=na，即需要用n或a表示出AB，由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°，可证明△ABE~△DAC ， 则，因为AB=DC，且DA，AE已知表示出来了，所以可求出AB，即可解答；
（3）求以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形时的n，需要分类讨论，一般分三个，∠FCG=90°，∠CFG=90°，∠CGF=90°；根据点F在矩形ABCD的内部就可排除∠FCG=90°，所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°进行分析解答．
【详解】（1）证明：由对称得AE=FE，
∴∠EAF=∠EFA，
∵GF⊥AE，
∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，
∴∠FGA=∠EFG，
∴EG=EF，
∴AE=EG．
（2）解：设AE=a，则AD=na，当点F落在AC上时（如图1），由对称得BE⊥AF，∴∠ABE+∠BAC=90°，
∵∠DAC+∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠DAC，
又∵∠BAE=∠D=90°，
∴△ABE~△DAC ，
∴
∵AB=DC，
∴AB2=AD·AE=na·a=na2，
∵AB>0，
∴AB=，
∴
∴.
（3）解：设AE=a，则AD=na，由AD=1AB，则AB=.
当点F落在线段BC上时（如图2），EF=AE=AB=a，此时，
∴n=1，
∴当点F落在矩形外部时，n>1．
∵点F落在矩形的内部，点G在AD上，
∴∠FCG<∠BCD，
∴∠FCG<90°，若∠CFG=90°，则点F落在AC上，由（2）得=，
∴n=2．
若∠CGF=90°（如图3），则∠CGD+∠AGF=90°，
∵∠FAG+∠AGF=90°，
∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，
∵∠BAE=∠D=90°，
∴△ABE~△DGC，
∴，
∴AB·DC=DG·AE，即.
解得 n=或n=＜1（不合题意，舍去），
∴当n=2或时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．
考点：矩形的性质；解直角三角形的应用；相似三角形的判定与性质；分类讨论；压轴题．
22、（1）b=2，c=1，D（2，3）；（2）E(4，-5) ；（3）N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0)
【分析】（1）将点A分别代入y=-x2+bx+3，y=x+c中求出b、c的值，确定解析式，再解两个函数关系式组成的方程组即可得到点D的坐标；
（2））过点E作EF⊥y轴，设E（x，-x2+2x+3），先求出点B、C的坐标，再利用面积加减关系表示出△CBE的面积，即可求出点E的坐标.
（3）分别以点D、M、N为直角顶点讨论△MND是等腰直角三角形时点N的坐标．
【详解】（1）将A（-1,0）代入y=-x2+bx+3中，得-1-b+3=0，解得b=2，
∴y=-x2+2x+3，
将点A代入y=x+c中，得-1+c=0，解得c=1，
∴y=x+1，
解，解得，（舍去），
∴D（2,3）.
∴b= 2 ，c= 1 ，D（2,3）.
（2）过点E作EF⊥y轴，
设E（x，-x2+2x+3）,
当y=-x2+2x+3中y=0时，得-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1（舍去），
∴B(3，0).
∵C(0，3)，
∴，
∴，
解得x1=4,x2=-1（舍去），
∴E(4，-5).
（3）∵A(-1，0),D(2，3),
∴直线AD的解析式为y=x+1,
设P（m，m+1），则Q（m，-m2+2m+3），
∴线段PQ的长度h=-m2+2m+3-（m+1）=，
∴当=0.5，线段PQ有最大值.
当∠D是直角时，不存在△MND是等腰直角三角形的情形；
当∠M是直角时，如图1，点M在线段DN的垂直平分线上，此时N1（2,0）；
当∠M是直角时，如图2，作DE⊥x轴，M2E⊥HE，N2H⊥HE,
∴∠H=∠E=90,
∵△M2N2D是等腰直角三角形，
∴N2M2=M2D,∠N2M2D=90,
∵∠N2M2H=∠M2DE,
∴△N2M2H≌△M2DE,
∴N2H=M2E=2-0.5=1.5，M2H=DE，
∴E(2，-1.5)，
∴M2H=DE=3+1.5=4.5，
∴ON2=4.5-0.5=4，
∴N2(-4，0)；
当∠N是直角时，如图3，作DE⊥x轴，
∴∠N3HM3=∠DEN3=90,
∵△M3N3D是等腰直角三角形，
∴N3M3=N3D,∠DN3M3=90，
∵∠DN3E=∠N3M3H，
∴△DN3E≌△N3M3H，
∴N3H=DE=3，
∴N3O=3-0.5=2.5，
∴N3(-2.5，0)；
当∠N是直角时，如图4，作DE⊥x轴，
∴∠N4HM4=∠DEN4=90,
∵△M4N4D是等腰直角三角形，
∴N4M4=N4D,∠DN4M4=90，
∵∠DN4E=∠N4M4H，
∴△DN4E≌△N4M4H，
∴N4H=DE=3，
∴N4O=3+0.5=3.5，
∴N4(3.5，0)；
综上，N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0).
【点睛】
此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式；根据函数性质得到点坐标，由此求出图象中图形的面积；还考查了图象中构成的等腰直角三角形的情况，此时依据等腰直角三角形的性质，求出点N的坐标.
23、（1）3；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由勾股定理可求AB的长，由折叠的性质可得AC=AE=6，CD=DE，∠C=∠BED=90°，由勾股定理可求解；
（2）如图所示，当DE∥AC，∠EDB=∠ACB=90°，即可得到答案；
（3）由折叠的性质可得CF=EF，CD=DE，∠C=∠FED=90°，∠CDF=∠EDF=45°，可得DE=CD=CF=EF，通过证明△DEB∽△CAB，可得 ，即可求解．
【详解】（1）∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴，
由折叠的性质可得：△ACD≌△AED，
∴AC=AE=6，CD=DE，∠C=∠BED=90°，
∴BE=10-6=4，
∵BD2=DE2+BE2，
∴（8-CD）2=CD2+16，
∴CD=3，
故答案为：3；
（2）如图3，当DE∥AC，△BDE是直角三角形，
（3）∵DE∥AC，
∴∠ACB=∠BDE=90°，
由折叠的性质可得：△CDF≌△EDF，
∴CF=EF，CD=DE，∠C=∠FED=90°，∠CDF=∠EDF=45°，
∴EF=DE，
∴DE=CD=CF=EF，
∵DE∥AC，
∴△DEB∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE=，
∴
【点睛】
此题考查几何变换综合题，全等三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．
24、（1）（2）
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）方程整理后，利用配方法即可求解．
【详解】解：（1）x2﹣2x﹣3=0，
分解因式得：（x-3）（x+1）=0，
可得（x-3）=0或（x+1）=0，
解得：x1=3，x2=﹣1；
（2）2x2﹣x﹣1=0，
方程整理得： ，
，
，
开方得：，
或，
解得：x1=1，x2=﹣0.1．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程解法的因式分解法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
25、（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据函数的解析式，取x，y的值，即可．
（2）描点、连线，画出的函数图象即可；
（3）结合函数图象即可求解．
【详解】（1）列表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
8
2
0
2
8
…
（2）画出函数y＝2x2的图象如图：
（3）观察所画函数的图象，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是，
故答案为：．
26、（1）；（2）；（3）点的坐标为，
【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）根据特殊角的三角函数值，得到，过点作与点，则，然后根据面积公式，即可得到答案；
（3）由（2）可知，当时，取最大值，得到点Q的坐标，然后求出点D和点F的坐标，再根据平行四边形的性质，有，然后列出等式，即可求出点M的坐标.
【详解】解：（1）经过、两点
，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2），，
，
∴，
，
过点作于点，则
∴，
；
（3）存在符合条件的点，理由如下：
由⑵得，，
∴当时，取最大值，此时，，
又∵点在抛物线上；
当时，，
的坐标为，的坐标为.
设的坐标为，则
∴当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形.
由，
解得：或；
∴符合条件的点的坐标为：，.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，求二次函数的解析式，平行四边形的性质，以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练运用数形结合的思想进行解题.
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