人教版八年级数学下册期末试卷达标检测(Word版含解析).doc

人教版八年级数学下册期末试卷达标检测（Word版含解析）
一、选择题
1．函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x≥0且x≠1 C．x≠1 D．0≤x≤1
2．下列四组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．5，12，13 B．1，2，3 C．6，8，10 D．3，4，5
3．如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）

A．AB∥DC， AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC
4．甲、乙两人一周中每天制作工艺品的数量如图所示，则对甲、乙两人每天制作工艺品数量描述正确的是（ ）

A．甲比乙稳定 B．乙比甲稳定
C．甲与乙一样稳定 D．无法确定
5．若三角形的三边长分别是下列各组数，则能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．1，2， C．6，8，11 D．5，12，14
6．如图，的面积是12，是边上一点，连结，现将沿翻折，点恰好落在线段上的点处，且，则四边形的面积是（ ）

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
7．如图1，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是厘米/秒．现，两点同时出发，设运动时间为（秒），的面积为（cm2），若与的对应关系如图2所示，则矩形的面积是（ ）

A．cm2 B．72 cm2 C．84 cm2 D．56 cm2
8．如图，在平面直角坐标系中，点，，在直线上，点，，在轴上，，，都是等腰直角三角形，若已知点，则点的纵坐标是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．使得二次根式有意义的的取值范围是______．
10．菱形两条对角线长分别为、，则这个菱形的面积为_________．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的长是_____．

12．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE=5，BF=3，则AO的长为________．

13．定义：对于一次函数，我们把点称为这个一次函数的伴随点.已知一次函数的伴随点在它的图象上，则__________．
14．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB＝CD，当AB＝_________时，四边形ABCD为菱形．

15．如图，点C、B分别在两条直线y＝﹣3x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是正方形，则k的值为 ________________．

16．如图，正方形ABCD的面积为144，点H是边DC上的一个动点，将正方形沿过点H的直线GH折叠（点G在边AB上），使顶点D的对应点E恰好落在BC边上的三等分点处，则线段DH的长是___．

三、解答题
17．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
18．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度．

19．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画以为一边的正方形，点和点均在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画以为一边的菱形，点和点均在小正方形的顶点上，菱形的面积为20，连接，并直接写出线段的长．

20．已知：如图，在中，是的平分线，．
求证：四边形是菱形．

21．先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如的化简，我们只要找到两个数a，b，使，，即，，那么便有：.
例如化简：
解：首先把化为，
这里，，
由于，，
所以，
所以
（1）根据上述方法化简：
（2）根据上述方法化简：
（3）根据上述方法化简：
22．学校准备印制一批纪念册．纪念册每册需要张大小的纸，其中张为彩页，张为黑白页．印刷费（元）与印数（千册）间的关系见下表：
印数（单位：千册）

彩色（单位：元张）

黑白（单位：元张）

（1）若，求出与之间的函数解析式；
（2）若，求出与之间的函数解析式；
（3）若学校印制这批纪念册的印刷费为元则印刷的纪念册有多少册？
23．如图，为正方形的对角线上一点.过作的垂线交于，连，取中点．
（1）如图1，连，试证明；

（2）如图2，连接，并延长交对角线于点，试探究线段之间的数量关系并证明；
（3）如图3,延长对角线至延长至,连若,且，则 ．（直接写出结果）
24．如图，点，过点做直线平行于轴，点关于直线对称点为．

（1）求点的坐标；
（2）点在直线上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到，若点恰好落在直线上，求点的坐标和直线的解析式；
（3）设点在直线上，点在直线上，当为等边三角形时，求点的坐标．
25．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段AC，同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的。如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有∠ADB和∠ACB，此时∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在CB同侧有∠BAC和∠BDC，此时∠BAC＝∠BDC。请再找一对这样的角来 ＝
（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由。
（3）在第（2）题的条件下，若此时AB＝，BD＝，求BC的长。

26．如图1，在矩形ABCD中，AB=a，BC=6，动点P从B出发沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′．
（1）如图2，当点P在线段BC上运动时，直线PB′与CD相交于点M，连接AM，若∠PAM=45°，请直接写出∠B′AM和∠DAM的数量关系；
（2）在（1）的条件下，请求出此时a的值：
（3）当a=8时，
①如图3，当点B′落在AC上时，请求出此时PB的长；
②当点P在BC的延长线上时，请直接写出△PCB′是直角三角形时PB的长度．

【参考答案】
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据分式和二次根式有意义的条件进行计算即可．
【详解】
解：由x≥0且x-1≠0得出x≥0且x≠1，
x的取值范围是x≥0且x≠1，
故选：B．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
利用勾股定理逆定理进行求解即可．
【详解】
解：A、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C、，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．主要看较短两边的平方和是否等于较长边的平方
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
注意题目所问是“不能”，根据平行四边形的判定条件可解出此题．
【详解】
解：平行四边形的判定条件：
A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
C、可能是等腰梯形，不能判定，符合题意；
D、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的基本性质是解答本题的关键
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
先根据折线统计图得出甲、乙每天制作的个数，从而得出两组数据之间的关系，继而得出方差关系．
【详解】
解：由折线统计图知，甲5天制作的个数分别为15、20、15、25、20，
乙5天制作的个数分别为10、15、10、20、15，
∴甲从周一至周五每天制作的个数分别比乙每天制作的个数多5个，
∴甲、乙制作的个数稳定性一样，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了利用方差进行决策，准确分析判断是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理逆定理：三角形三边长a、b、c若满足，则该三角形为直角三角形，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【详解】
解：A选项：∵，∴4、5、6三边长无法组成直角三角形，故该选项错误；
B选项：∵，∴1、2、三边长可以组成直角三角形，故该选项正确；
C选项：∵，∴6、8、11三边长无法组成直角三角形，故该选项错误；
D选项：∵，∴5、12、14三边长无法组成直角三角形，故该选项错误，
故选：B．
【点睛】
本题主要考察了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
设DE与AC交于H，由折叠的性质可知，AH=HF，∠AHD=90°，AE=EF，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到AE=BE，再证明△DAH≌△BCF，得到AH=CF=HF，则，，从而得出,，．
【详解】
解：设DE与AC交于H，
由折叠的性质可知，AH=HF，∠AHD=90°，AE=EF
∵∠BFC=90°，
∴∠BFC=∠DHA=∠AFB=90°，
∴EF是直角三角形AFB的中线，
∴AE=BE，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAH=∠BCF，
∴△DAH≌△BCF（AAS），
∴AH=CF=HF，
∴，，
∴,，
∴，
∴，
故选A．

【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
过点E作EH⊥BC，由三角形面积求得EH=AB=6，由图2知，当x=14时，点P与点D重合，则AD=12，从而可得答案．
【详解】
从函数的图象和运动过程知：当点P运动到点E时，x=10，y=30
即BE=BQ=10，
过点E作EH⊥BC于点H，如图
则
解得：EH=6
∵四边形ABHE是矩形
∴AB=EH=6
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
由图2知，当x=14时，点P与点D重合
即BE+ED=14
∴ED=14-BE=4
∴AD=AE+ED=8+4=12
∴矩形ABCD的面积为：12×6=72（厘米2）
故选：B．

【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，弄懂动点运动过程、数形结合是解答本题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
作x轴， x轴， x轴，设纵坐标为m，再根据等腰直角三角形的性质，将坐标表示为，代入直线解析式算出m，再用同样的方法设，代入解析式求出n．
【详解】
解：如图，作x轴， x轴， x轴，
把代入，求出，则直线解析式是，
已知，根据等腰直角三角形的性质，得到，
设纵坐标为m，，，得，代入直线解析式，得，解得，
设纵坐标为n，，，得，代入直线解析式，得，解得．
故选：D．

【点睛】
本题考查一次函数的图象和几何综合，解题的关键是抓住等腰直角三角形的性质去设点坐标，再代入解析式列式求解．
二、填空题
9．
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，即可求得的的取值范围．
【详解】
二次根式有意义，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题的关键．
10．
【解析】
【分析】
根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求出其面积即可．
【详解】
解：∵一个菱形的两条对角线长分别为和，
∴这个菱形的面积，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是菱形的面积计算，熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键．
11．D
解析：cm
【解析】
【分析】
作DE⊥AB于E，根据勾股定理求出AB，证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得到CD＝ED，AE＝AC＝9，根据角平分线的性质、勾股定理列式计算即可．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，

由勾股定理得，AB＝＝＝15，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS）
∴CD＝ED，AE＝AC＝9，
∴BE＝AB﹣AE＝6，
在Rt△BED中，BD2＝DE2+BE2，即BD2＝（12﹣BD）2+62，
解得，BD＝，
故答案为：cm．
【点睛】
此题考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握利用勾股定理解直角三角形和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．
12．E
解析：
【分析】
根据矩形的性质和平行线的性质可得∠EFC=∠AEF，由折叠的性质可得∠EFC=∠AFE，从而得到AE=AF=5，由折叠的性质可得BC=BF+FC=3+5=8，根据勾股定理可得AB的长，从而求出AC的长，继而可得到AO的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∴∠EFC=∠AEF，
由折叠，得
∠EFC=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF=5，
由折叠，得
FC=AF，OA=OC，
∴BC=BF+FC=3+5=8，
在Rt△ABF中，
AB=，
在Rt△ABC中，
AC=，
∴OA=OC=．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的性质．解题的关键是证得AE=AF．
13．
【分析】
先写出的伴随点，再根据伴随点在它的图象上代入一次函数解析式，计算即可求得m．
【详解】
解：的伴随点为，
因为伴随点在它的图象上，则有
解得．
故答案为:．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征． 一次函数图象上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
14．B
解析：BC（答案不唯一）
【分析】
首先根据AB∥CD，AB=CD可得四边形ABCD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件AB=AD或AB=BC．
【详解】
解：可添加的条件为AB=AD或BC．
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB（或AB=BC），
∴四边形ABCD为菱形．
故答案是：AD或BC．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
15．【分析】
设C（a，﹣3a），B（b，kb），由正方形的性质AB＝BC，BC//AD，可得﹣3a＝kb，b﹣a＝kb，求出b＝﹣2a，即可求k的值．
【详解】
解：设C（a，﹣3a），B（b，kb
解析：
【分析】
设C（a，﹣3a），B（b，kb），由正方形的性质AB＝BC，BC//AD，可得﹣3a＝kb，b﹣a＝kb，求出b＝﹣2a，即可求k的值．
【详解】
解：设C（a，﹣3a），B（b，kb），
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC//x轴，
∴﹣3a＝kb，
∵BC＝AB，
∴b﹣a＝kb，
∴b﹣a＝﹣3a，
∴b＝﹣2a，
∴﹣3a＝﹣2ak，
∴k＝，
故填．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及一次函数的综合运用，根据题意设出点坐标、再根据正方形的性质明确线段间的关系是解答本题的关键．
16．或
【分析】
由已知可知CE＝4或CE＝8，由折叠可知DH＝EH，则CH＝12﹣DH，分两种情况求，在Rt△ECH中，利用勾股定理求解．
【详解】
解：∵正方形ABCD的面积为144，
∴正方形的边
解析：或
【分析】
由已知可知CE＝4或CE＝8，由折叠可知DH＝EH，则CH＝12﹣DH，分两种情况求，在Rt△ECH中，利用勾股定理求解．
【详解】
解：∵正方形ABCD的面积为144，
∴正方形的边长为12，
∵E为BC的三等分点，
∴BE＝4或BE＝8，
由折叠可知DH＝EH，
∴CH＝12﹣DH，
当CE＝8时，
在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2，
∴DH2＝64+(12﹣DH)2，
∴DH＝；
当CE＝4时，
在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2，
∴DH2＝16+(12﹣DH)2，
∴DH＝；
综上所述：DH的长为或，
故答案为或．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．
三、解答题
17．（1）1；（2）；（3）0；（4）．
【分析】
（1）先运用分母有理化化简，然后再计算即可；
（2）先运用二次根式的性质化简，然后再计算即可；
（3）先运用平方差公式计算，然后再化简即可；
（4）先
解析：（1）1；（2）；（3）0；（4）．
【分析】
（1）先运用分母有理化化简，然后再计算即可；
（2）先运用二次根式的性质化简，然后再计算即可；
（3）先运用平方差公式计算，然后再化简即可；
（4）先运用零次幂、二次根式的性质、完全平方公式化简，然后再计算即可．
【详解】
解：（1）
=
=
=4-3
=1；
（2）
=
=；
（3）
=5-7+2
=0；
（4）
=
=
=．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的运算，掌握分母有理化、二次根式的性质成为解答本题的关键．
18．秋千绳索的长度为尺．
【分析】
设OA=OB=x尺，表示出OE的长，在中，利用勾股定理列出关于x的方程求解即可．
【详解】
解：设尺，
由题可知：尺，尺，
∴（尺），尺，
在中，尺，尺，尺，
由勾股
解析：秋千绳索的长度为尺．
【分析】
设OA=OB=x尺，表示出OE的长，在中，利用勾股定理列出关于x的方程求解即可．
【详解】
解：设尺，
由题可知：尺，尺，
∴（尺），尺，
在中，尺，尺，尺，
由勾股定理得：，
解得：，
则秋千绳索的长度为尺．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，学会利用方程解决问题是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）见解析，
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的定义画出图形即可；
（2）画出底为，高为的菱形即可，利用勾股定理求出．
【详解】
解：（1）如图，正方形即为所求；
（2）如图，菱
解析：（1）见解析；（2）见解析，
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的定义画出图形即可；
（2）画出底为，高为的菱形即可，利用勾股定理求出．
【详解】
解：（1）如图，正方形即为所求；
（2）如图，菱形即为所求，．

【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，菱形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20．见解析．
【分析】
根据四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等即可．
【详解】
解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】
本题考查了
解析：见解析．
【分析】
根据四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等即可．
【详解】
解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定，解题关键是熟练运用相关性质，准确进行推理证明．
21．（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
根据题意把题目中的无理式转化成的形式，然后仿照题意化简即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
解析：（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
根据题意把题目中的无理式转化成的形式，然后仿照题意化简即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
（3）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解答此题的关键．
22．（1）；（2）；（3）6.5千册
【分析】
（1）（2）根据印刷费（y元）＝彩页印刷费＋黑白页印刷费＝1000×（彩色单价×4x＋黑白单价×6x），即可解答；
（3）根据（1）的解析式可得5≤x＜1
解析：（1）；（2）；（3）6.5千册
【分析】
（1）（2）根据印刷费（y元）＝彩页印刷费＋黑白页印刷费＝1000×（彩色单价×4x＋黑白单价×6x），即可解答；
（3）根据（1）的解析式可得5≤x＜10，将y＝71500代入（2）求得的解析式即可求解．
【详解】
解：（1）根据题意得：当时，
，
∴；
（2）由题意得：当时，
，
∴；
（3）当1≤x＜5时，y＝13000x≤65000，
∵学校印制这批纪念册的印刷费为71500元，
∴5≤x＜10．
此时y＝11000x＝71500，
∴x＝6.5，
则印刷的纪念册有6.5千册．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系得出函数关系式．
23．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】
（1）由直角三角形的性质得AO=MO=BE=BO=EO，得∠ABO=∠BAO，∠OBM=∠OMB，证出∠AOM=∠AOE+∠MOE=2∠ABO+2
解析：（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】
（1）由直角三角形的性质得AO=MO=BE=BO=EO，得∠ABO=∠BAO，∠OBM=∠OMB，证出∠AOM=∠AOE+∠MOE=2∠ABO+2∠MBO=2∠ABD=90°即可；
（2）在AD上方作AF⊥AN，使AF=AN，连接DF、MF，证△ABN≌△ADF（SAS），得BN=DF，∠DAF=∠ABN=45°，则∠FDM=90°，证△NAM≌△FAM（SAS），得MN=MF，在Rt△FDM中，由勾股定理得FM2=DM2+FD2，进而得出结论；
（3）作P关于直线CQ的对称点E，连接PE、BE、CE、QE，则△PCQ≌△ECQ，∠ECQ=∠PCQ=135°，EQ=PQ=9，得∠PCE=90°，则∠BCE=∠DCP，△PCE是等腰直角三角形，得CE=CP=PE，证△BCE≌△DCP（SAS），得∠CBE=∠CDB=∠CBD=45°，则∠EBQ=∠PBE=90°，由勾股定理求出BE=，PE=6，即可得出PC的长．
【详解】
解：（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
是的中点，
，
，，
；
（2），理由如下：
在上方作，使，连接、，如图2所示：
则，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，
在中，，
即；

（3）作关于直线的对称点，连接、、、，如图3所示：
则，，，
，
，是等腰直角三角形，
，
在和中，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
故答案为：．

【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理、轴对称的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
24．（1）（3，0）；（2）A（1，）；直线BD为；（3）点P的坐标为（，）或（，）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，点B、C关于点M对称，即可求出点C的坐标；
（2）由折叠的性质，得AB=CB，
解析：（1）（3，0）；（2）A（1，）；直线BD为；（3）点P的坐标为（，）或（，）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，点B、C关于点M对称，即可求出点C的坐标；
（2）由折叠的性质，得AB=CB，BD=AD，根据勾股定理先求出AM的长度，设点D为（1，a），利用勾股定理构造方程，即可求出点D坐标，然后利用待定系数法求直线BD.
（3）分两种情形：如图2中，当点P在第一象限时，连接BQ，PA．证明点P在AC的垂直平分线上，构建方程组求出交点坐标即可．如图3中，当点P在第三象限时，同法可得△CAQ≌△CBP，可得∠CAQ=∠CBP=30°，构建方程组解决问题即可．
【详解】
解：（1）根据题意，
∵点B、C关于点M对称，且点B、M、C都在x轴上，
又点B（），点M（1，0），
∴点C为（3，0）；
（2）如图：

由折叠的性质，得：AB=CB=4，AD=CD=BD，
∵BM=2，∠AMB=90°，
∴，
∴点A的坐标为：（1，）；
设点D为（1，a），则DM=a，BD=AD=，
在Rt△BDM中，由勾股定理，得
，
解得：，
∴点D的坐标为：（1，）；
设直线BD为，则
，解得：，
∴直线BD为：；
（3）如图2中，当点P在第一象限时，连接BQ，PA．

∵△ABC，△CPQ都是等边三角形，
∴∠ACB=∠PCQ=60°，
∴∠ACP=∠BCQ，
∵CA=CB，CP=CQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP=BQ，
∵AD垂直平分线段BC，
∴QC=QB，
∴PA=PC，
∴点P在AC的垂直平分线上，
由，解得，
∴P（，）．
如图3中，当点P在第三象限时，同法可得△CAQ≌△CBP，

∴∠CAQ=∠CBP=30°，
∵B（-1，0），
∴直线PB的解析式为，
由，解得：，
∴P（，）.
【点睛】
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．
25．（1）∠ABD=∠ACD；（2）四边形ACEF为正方形，理由见解析；（3）5.
【解析】
【分析】
（1）以AD为公共边，有∠ABD=∠ACD；
（2）证明△ADC是等腰直角三角形，得AD=CD，则
解析：（1）∠ABD=∠ACD；（2）四边形ACEF为正方形，理由见解析；（3）5.
【解析】
【分析】
（1）以AD为公共边，有∠ABD=∠ACD；
（2）证明△ADC是等腰直角三角形，得AD=CD，则AE=CF，根据对角线相等的菱形是正方形可得结论；
（3）如图2，作辅助线构建直角三角形，证明△ABC≌△CHE，得CH=AB=3，根据平行线等分线段定理可得BG=GH=4，从而得结论.
【详解】
解：（1）由图1得：△ABD和△ADC有公共边AD，在AD同侧有∠ABD和∠ACD，此时∠ABD=∠ACD；
（2）四边形ACEF为正方形，理由是：
∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°
∴∠DAC=∠CBD=45°
∵四边形ACEF是菱形，
∴AELCF，
∴∠ADC=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=CD，.AE=CF，
∴菱形ACEF是正方形；

（3）如图2，过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵∠DBG=45°，
∴△BDG是等腰直角三角形，BD=4，
∵BG=4，四边形ACEF是正方形，
∴AC=CE，∠ACE=90°，AD=DE，
易得△ABC≌△CHE，
∴CH=AB=3，AB//DG//EH，AD=DE，
∴BG=GH=4，
∴CG=4-3=1，
∴BC=BG+CG=4+1=5.
【点睛】
本题是四边形的综合题，也是新定义问题，考查了损矩形和损矩形的直径的概念，平行线等分线段定理，菱形的性质，正方形的判定等知识，认真阅读理解新定义，第3问有难度，作辅助线构建全等三角形是关键.
26．（1）；（2）；（3）①；②PB的长度为8或或．
【分析】
（1）证明Rt△MAD≌Rt△MAB′(AAS)，即可得到∠B′AM=∠DAM；
（2）由Rt△MAD≌Rt△MAB′(AAS)，得到AD
解析：（1）；（2）；（3）①；②PB的长度为8或或．
【分析】
（1）证明Rt△MAD≌Rt△MAB′(AAS)，即可得到∠B′AM=∠DAM；
（2）由Rt△MAD≌Rt△MAB′(AAS)，得到AD=AB′=AB=a，即可求得a=6；
（3）①利用勾股定理求出AC，在Rt△PB′C中利用勾股定理即可解决问题；
②分三种情形分别求解即可，如图2-1中，当∠PCB′=90°时．如图2-2中，当∠PCB′=90°时．如图2-3中，当∠CPB′=90°时，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=∠BAD=90°，
∵△PAB′与△PAB关于直线PA的对称，
∴△PAB≌△PAB′，
∴AB′=AB，∠AB′P=∠B=90°，∠B′AP=∠BAP，
∵∠PAM=45°，即∠B′AP +∠B′AM =45°，
∴∠DAM +∠BAP =45°，
∴∠DAM=∠B′AM，
∵AM=AM，
∴Rt△MAD≌Rt△MAB′(AAS)，
∴∠B′AM=∠DAM；
（2）∵由（1）知：Rt△MAD≌Rt△MAB′，
∴AD=AB′=AB=a，
∵AD=BC=6，
∴a=6；
（3）①在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理得：AC==10，
设PB=x，则PC=6−x，
由对称知：PB′=PB=x，∠AB′P=∠B=90°，
∴∠PB′C=90°，
又∵AB′=AB=8，
∴B′C=2，
在Rt△PB′C中， ，
∴(6−x)2=22+x2，
解得：x=，
即PB=；
②∵△PAB′与△PAB关于直线PA的对称，
∴△PAB≌△PAB′，
∴AB′=AB，∠AB′P=∠B=90°，PB′=PB，
设PB′=PB=t，
如图2-1中，当∠PCB'=90°，B'在CD上时，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，AB′=AB=CD=8，AD=BC=6，
∴DB′，
∴CB′=CD−DB′=8−2，
在Rt△PCB'中，∵B'P2=PC2+B'C2，
∴t2= (8−2)2+(6−t)2，
∴t=；
如图2-2中，当∠PCB'=90°，B'在CD的延长线上时，

在Rt△ADB'中，DB′，
∴CB′=8+2，
在Rt△PCB'中，则有：(8−2)2+(t−3)2=t2，
解得t=；
如图2-3中，当∠CPB'=90°时，

∵∠B=∠B′=∠BPB′=90°，AB=AB′，
∴四边形AB'PB为正方形，
∴BP=AB=8，
∴t=8，
综上所述，PB的长度为8或或；
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．