资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．有三张正面分别写有数字－1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知抛物线和直线.我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M= y1=y2.
下列判断： ①当x＞2时，M=y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越大；
③使得M大于4的x值不存在；
④若M=2，则x=" 1" .
其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．二次函数的图像如图所示，下面结论：①；②；③函数的最小值为；④当时，；⑤当时，（、分别是、对应的函数值）．正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是
A．25π B．65π C．90π D．130π
7．如图，为的直径，和分别是半圆上的三等分点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则＝（ ）
A．﹣6 B．2 C．16 D．16或2
10．在下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（ ）
A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C． D．
12．已知，则下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在中，，，，则的长为__________．
14．抛物线y＝（x﹣2）2的顶点坐标是_____．
15．如图，等腰直角三角形AOC中，点C在y轴的正半轴上，OC＝AC＝4，AC交反比例函数y＝的图象于点F，过点F作FD⊥OA，交OA与点E，交反比例函数与另一点D，则点D的坐标为_____．
16．已知（x、y、z均不为零），则_____________．
17．如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)的一角沿着过点D的直线折叠，使点A与BC边上的点E重合，折痕交AB于点F.若BE:EC=m:n，则AF:FB=
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点．
EF与BD相交于点M．
（1）求证：△EDM∽△FBM；
（2）若DB=9，求BM．
20．（8分）计算：
（1）tan60°-+(3.14-π)0;
（2）解方程：．
21．（8分）如图，在中，点分别在边、上，与相交于点，且，，．
（1）求证：；
（2）已知，求．
22．（10分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．
23．（10分）小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD＝10米．求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）．
24．（10分）定义：若函数与轴的交点的横坐标为，，与轴交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足（或），则称该函数为友好函数．如图，函数与轴的一个交点的横坐标为-3，与轴交点的纵坐标为-3，满足，称为友好函数．
（1）判断是否为友好函数，并说明理由；
（2）请探究友好函数表达式中的与之间的关系；
（3）若是友好函数，且为锐角，求的取值范围．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0），直线过点A（—1，0），与⊙C相切于点D，求直线的解析式．
26．投资1万元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为x m
（1）设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若菜园面积为384m2，求x的值；
（3）求菜园的最大面积．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．
【详解】∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选A．
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．
2、B
【详解】试题分析：根据题意，画出树状图如下：
一共有6种情况，在第二象限的点有（﹣1，1）（﹣1，2）共2个，所以，P=．故选B．
考点：列表法与树状图法求概率．
3、D
【分析】由题意先根据已知条件得出a＝b，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴a＝b，
∴＝＝．
故选：D．
【点睛】
本题考查比例的性质和代数式求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
4、B
【解析】试题分析：∵当y1=y2时，即时，解得：x=0或x=2，
∴由函数图象可以得出当x＞2时， y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时， y2＞y1．∴①错误．
∵当x＜0时， -直线的值都随x的增大而增大，
∴当x＜0时，x值越大，M值越大．∴②正确．
∵抛物线的最大值为4，∴M大于4的x值不存在．∴③正确；
∵当0＜x＜2时，y1＞y2，∴当M=2时，2x=2，x=1；
∵当x＞2时，y2＞y1，∴当M=2时，，解得（舍去）．
∴使得M=2的x值是1或．∴④错误．
综上所述，正确的有②③2个．故选B．
5、C
【分析】由抛物线开口方向可得到a＞0；由抛物线过原点得c=0；根据顶点坐标可得到函数的最小值为-3；根据当x＜0时，抛物线都在x轴上方，可得y＞0；由图示知：0＜x＜2，y随x的增大而减小；
【详解】解：①由函数图象开口向上可知，，故此选项正确；
②由函数的图像与轴的交点在可知，，故此选项正确；
③由函数的图像的顶点在可知，函数的最小值为，故此选项正确；
④因为函数的对称轴为，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点为，所以当时，，故此选项正确；
⑤由图像可知，当时，随着的值增大而减小，所以当时，，故此选项错误；
其中正确信息的有①②③④．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=，；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
6、B
【解析】解：由已知得，母线长l=13，半径r为5，
∴圆锥的侧面积是s=πlr=13×5×π=65π．
故选B．
7、B
【分析】阴影的面积等于半圆的面积减去△ABC和△ABD的面积再加上△ABE的面积，因为△ABE的面积是△ABC的面积和△ABD的面积重叠部分被减去两次，所以需要再加上△ABE的面积，然后分别计算出即可.
【详解】设相交于点和分别是半圆上的三等分点，为⊙O的直径..，
如图，连接，则，
故选.
【点睛】
此题主要考查了半圆的面积、圆的相关性质及在直角三角形中，30°角所对应的边等于斜边的一半，关键记得加上△ABE的面积是解题的关键.
8、C
【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为1．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】A、是分式方程，故A不符合题意；
B、是二元二次方程，故B不符合题意；
C、是一元二次方程，故C符合题意；
D、是二元二次方程，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是(且a≠1)．特别要注意a≠1的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
9、D
【分析】当a=b时，可得出=2；当a≠b时，a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，利用根与系数的关系可得出a+b=6，ab=2，再将其代入=中即可求出结论．
【详解】当a=b时，=1+1=2；
当a≠b时，∵a、b满足a2-6a+2=0，b2-6b+2=0，
∴a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，
∴a+b=6，ab=2，
∴= =1．
故选：D．
【点睛】
此题考查根与系数的关系，分a=b及a≠b两种情况，求出的值是解题的关键．
10、C
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形的概念：中心对称图形关键是寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
11、C
【解析】根据已知条件知∠A＝∠A，再添加选项中的条件依次判断即可得到答案.
【详解】解：∵∠A＝∠A，
∴添加∠ADE＝∠C，△ADE∽△ACB，故A正确；
∴添加∠AED＝∠B，△ADE∽△ACB，故B正确；
∴添加，△ADE∽△ACB，故D正确；
故选：C．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定定理，已知一个角相等时，再确定另一组角相等或是构成已知角的两边对应成比例，即可证明两个三角形相似.
12、D
【分析】利用比例的性质进行逐一变形，比较是否与题目一致，即可得出答案.
【详解】A：因为所以ab=cd，故A正确；
B：因为所以ab=cd，故B正确；
C：因为所以(a+c)b=(d+b)c，化简得ab =cd，故选项C正确；
D：因为所以(a+1)(b+1)=(d+1)(c+1)，化简得ab+a+b=cd+d+c，故选项D错误；
故答案选择D.
【点睛】
本题考查的是比例的性质，难度不大，需要熟练掌握相关基础知识，重点需要熟练掌握去括号法则.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、6
【分析】根据相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】∵DE∥BC
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB
∴△ADE∽△ABC
∴
∵
∴
又
∴BC=6
故答案为6.
【点睛】
本题考查的是相似三角形，比较简单，容易把三角形的相似比看成，这一点尤其需要注意.
14、（2，0）．
【分析】已知条件的解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标.
【详解】解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣2）2，
∴二次函数图象的顶点坐标是（2，0）．
故答案为（2，0）．
【点睛】
本题的考点是二次函数的性质.方法是根据顶点式的坐标特点写出答案.
15、 (4，)
【分析】先求得F的坐标，然后根据等腰直角三角形的性质得出直线OA的解析式为y=x，根据反比例函数的对称性得出F关于直线OA的对称点是D点，即可求得D点的坐标．
【详解】∵OC=AC=4，AC交反比例函数y=的图象于点F，
∴F的纵坐标为4，
代入y=求得x=，
∴F(，4)，
∵等腰直角三角形AOC中，∠AOC=45°，
∴直线OA的解析式为y=x，
∴F关于直线OA的对称点是D点，
∴点D的坐标为(4，)，
故答案为：(4，) ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，反比例函数的对称性是解题的关键．
16、
【分析】根据题意，可设x=5k，y=4k，z=3k，将其代入分式即可．
【详解】解：∵
∴设x=5k，y=4k，z=3k，将其代入分式中得：．
故答案为．
【点睛】
本题考查了比例的性质，解此类题可根据分式的基本性质先用未知数k表示出x，y，z，再代入计算．
17、
【分析】由折叠得，AF：FB=EF：FB．证明△BEF∽△CDE可得EF：FB=DE：EC，由BE：EC=m：n可求解．
【详解】∵BE=1，EC=2，∴BC=1．
∵BC=AD=DE，∴DE=1．
sin∠EDC=；
∵∠DEF=90°，∴∠BEF+∠CED=90°．
又∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BFE=∠CED．又∠B=∠C，
∴△BEF∽△CDE．
∴EF：FB=DE：EC．
∵BE：EC=m：n，
∴可设BE=mk，EC=nk，则DE=（m+n）k．
∴EF：FB=DE：EC=
∵AF=EF，
∴AF：FB=
18、22015π
【分析】连接P1O1，P2O2，P3O3，易求得PnOn垂直于x轴，可知为圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题．
【详解】解：连接P1O1，P2O2，P3O3…，
∵P1 是⊙O1上的点，
∴P1O1＝OO1，
∵直线l解析式为y＝x，
∴∠P1OO1＝45°，
∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，
同理，PnOn垂直于x轴，
∴ 为圆的周长，
∵以O1为圆心，O1O为半径画圆，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交x轴正半轴于点O3，以此类推，
∴OO1＝1＝20，OO2＝2＝21，OO3＝4＝22，OO4＝8＝23，…，
∴OOn＝，
∴，
∴，
故答案为：22015π．
【点睛】
本题考查了图形类规律探索、一次函数的性质、等腰直角三角形的性质以及弧长的计算，本题中准确找到圆半径的规律是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析（2）3
【解析】试题分析：（1）要证明△EDM∽△FBM成立，只需要证DE∥BC即可，而根据已知条件可证明四边形BCDE是平行四边形，从而可证明相似；
（2）根据相似三角形的性质得对应边成比例，然后代入数值计算即可求得线段的长．
试题解析：（1）证明：∵AB="2CD" , E是AB的中点，∴BE=CD，又∵AB∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形，∴BC∥DE, BC=DE，∴△EDM∽△FBM；
（2）∵BC=DE， F为BC的中点，∴BF=DE，∵△EDM∽△FBM，∴，∴BM=DB，又∵DB=9，∴BM=3.
考点：1. 梯形的性质；2. 平行四边形的判定与性质；3. 相似三角形的判定与性质.
20、（1）2；（2) x1=2，x2=1．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，绝对值的意义和零指数幂的运算法则计算即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：原式＝－+1+1＝2；
（2），
，
或，
∴x1=2，x2=1．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算及解一元二次方程，掌握特殊角的三角函数值，绝对值的意义，零指数幂的运算法则和因式分解法是解题的关键．
21、（1）见解析；（2）10
【分析】（1）根据两组对应边成比例及其夹角相等的两个三角形相似证明即可；
（2）可证，根据相似三角形对应线段成比例可求AB.
【详解】解:（1），，，
，，，
，
（2）
，
.
，
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活利用已知条件证明三角形相似是解题的关键.
22、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1.
【分析】（1）根据正方形的性质，可直接证明△CBE≌△CDF，从而得出CE=CF；
（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，根据（1）知∠BCE=∠DCF，即可证明∠ECF=∠BCD=90°，根据∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD；
（3）过C作CF⊥AD的延长线于点F．则四边形ABCF是正方形，设DF=x，则AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角△ADE中利用勾股定理即可求解.
【详解】（1）如图1，在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE=CF；
（2）如图，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，
即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°，
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG，
∴GE=GF，
∴GE=DF+GD=BE+GD；
（3）如图：过点C作CF⊥AD于F，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠A＝90°，
∵∠A＝∠B＝90°，FC⊥AD，
∴四边形ABCF是矩形，且AB＝BC＝12，
∴四边形ABCF是正方形，
∴AF＝12，
由（2）可得DE＝DF＋BE，
∴DE＝4＋DF，
在△ADE中，AE2＋DA2＝DE2，
∴（12−4）2＋（12−DF）2＝（4＋DF）2，
∴DF＝6，
∴AD＝6，
∴S四边形ABCD＝ (AD＋BC)×AB＝×(6＋12)×12＝1．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，解决本题的关键是注意每个题目之间的关系，正确作出辅助线．
23、 ．
【分析】连接PA、PB，过点P作PM⊥AD于点M；延长BC，交PM于点N，将实际问题中的已知量转化为直角三角形中的有关量，设PM=x米，在Rt△PMA中，表示出AM，在Rt△PNB中，表示出BN，由AM+BN=46米列出方程求解即可．
【详解】解：连结PA、PB，过点P作PM⊥AD于点M；延长BC，交PM于点N
则∠APM=45°，∠BPM=60°，NM=10米
设PM=x
在Rt△PMA中，AM=PM×tan∠APM=xtan45°＝x（米）
在Rt△PNB中，BN=PN×tan∠BPM=(－10)tan60°＝(－10)（米^
由AM+BN=46米，得x+(x－10)＝46
解得，x==
∴点P到AD的距离为米
【点睛】
此题考查了解直角三角形的知识，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
24、（1）是，理由见解析；（2）；（1）或，且
【分析】（1）根据友好函数的定义，求出函数与x轴交点的横坐标以及与y轴交点的纵坐标，即可进行判断；
（2）先求出函数与y轴交点的纵坐标为c，再根据定义，可得当x=c时，y=0，据此可得出结果；
（1）分一下三种情况求解：（ⅰ）当在轴负半轴上时，由（2）可得：，进而可得出结果；（ⅱ）当在轴正半轴上时，且与不重合时，画出图像可得出结果；（ⅲ）当与原点重合时，不符合题意．
【详解】解：（1）是友好函数．理由如下：
当时，；当时，或1，
∴与轴一个交点的横坐标和与轴交点的纵坐标都是1．
故是友好函数．
（2）当时，，即与轴交点的纵坐标为．
∵是友好函数．
∴时，，即在上．
代入得：，而，∴．
（1）（ⅰ）当在轴负半轴上时，由（2）可得：，
即，显然当时，，
即与轴的一个交点为．
则，∴只需满足，即．
∴．
（ⅱ）当在轴正半轴上时，且与不重合时，
∴显然都满足为锐角．
∴，且．
（ⅲ）当与原点重合时，不符合题意．
综上所述，或，且．
【点睛】
本题主要考查二次函数的新定义问题以及二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是理解题意．
25、或.
【详解】解：如图所示，连接CD，
∵直线为⊙C的切线，
∴CD⊥AD．
∵C点坐标为（1，0），
∴OC=1，即⊙C的半径为1，
∴CD=OC=1．
又∵点A的坐标为（—1，0），
∴AC=2，
∴∠CAD=30°,
在Rt△AOB中，，
即，
设直线l解析式为：y=kx+b（k≠0），则
解得
∴直线l的函数解析式为，
同理可得，当直线l在x轴的下方时，直线l的函数解析式为.
故直线l的函数解析式为或.
【点睛】
这是一道圆与直角坐标系的综合题，求直线的解析式，通常用待定系数法（知道图象上两个点的坐标即可），题目已给出点A的坐标，再求出一个点即可，抓住点D是直线与⊙C的切点，由C点坐标为（1，0）及圆的性质易求点B的坐标为（0，），由点A和点B的坐标易求直线的解析式
26、（1）见详解；(2)x=18；(3) 416 m2.
【解析】（1）根据“垂直于墙的长度=可得函数解析式；
（2）根据矩形的面积公式列方程求解可得；
（3）根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．
【详解】(1)根据题意知，y＝＝－x＋；
(2)根据题意，得(－x＋)x＝384，
解得x＝18或x＝32.
∵墙的长度为24 m，∴x＝18.
(3)设菜园的面积是S，则S＝(－x＋)x＝－x2＋x＝－ (x－25)2＋.
∵－＜0，∴当x＜25时，S随x的增大而增大.
∵x≤24，
∴当x＝24时，S取得最大值，最大值为416.
答：菜园的最大面积为416 m2.
【点睛】
本题主要考查二次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二次函数的问题．
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