资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．在△ABC中，点D、E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，，则=（ ），
A． B． C． D．
2．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
A．2 B． C． D．1
3．我市组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．方程2x（x﹣5）＝6（x﹣5）的根是（ ）
A．x＝5 B．x＝﹣5 C．＝﹣5，＝3 D． ＝5，＝3
5．现有两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是1、2、3，从每组牌中各摸出一张牌．两张牌的牌面数字之和等于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．若反比例函数y＝的图象经过点（3，1），则它的图象也一定经过的点是（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
7．如图，是的直径，弦于，连接、，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
9．二次函数y＝(x﹣4)2+2图象的顶点坐标是( )
A．(﹣4，2) B．(4，﹣2) C．(4，2) D．(﹣4，﹣2)
10．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为4的等边三角形，以O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为( )
A．(－2，2) B．(－2，4) C．(－2，2) D．(2，2)
11．已知一个几何体如图所示,则该几何体的主视图是( )
A． B．
C． D．
12．下列方程是一元二次方程的是 （ ）
A． B．x2+5=0 C．x2+=8 D．x（x+3）=x2﹣1
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如果二次根式有意义，那么的取值范围是_________．
14．如图，在直角坐标系中，点，点，过点的直线垂直于线段，点是直线上在第一象限内的一动点，过点作轴，垂足为，把沿翻折，使点落在点处，若以，，为顶点的三角形与△ABP相似，则满足此条件的点的坐标为__________．
15．写出一个你认为的必然事件_________．
16．一个反比例函数的图像过点，则这个反比例函数的表达式为__________．
17．____.
18．如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为__________m．(结果取整数．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)
三、解答题（共78分）
19．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣4x2﹣8mx﹣m2+2m的顶点p．
（1）点p的坐标为 （含m的式子表示）
（2）当﹣1≤x≤1时，y的最大值为5，则m的值为多少；
（3）若抛物线与x轴（不包括x轴上的点）所围成的封闭区域只含有1个整数点，求m的取值范围．
20．（8分）已知二次函数y＝x2－2x＋m（m为常数）的图像与x轴相交于A、B两点．
（1）求m的取值范围；
（2）若点A、B位于原点的两侧，求m的取值范围．
21．（8分）解方程：3x（1x+1）=4x+1．
22．（10分）如图，四边形、、都是正方形．
求证：；
求的度数．
23．（10分）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
24．（10分）某商店经营家居收纳盒，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每个收纳盒售价不能高于40元．设每个收纳盒的销售单价上涨了元时（为正整数），月销售利润为元．
（1）求与的函数关系式．
（2）每个收纳盒的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
25．（12分）如图，大圆的弦AB、AC分别切小圆于点M、N．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB＝8，求圆环的面积．
26．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点（0，5），且过点（﹣3，），先求抛物线的解析式，再解决下列问题：
（应用）问题1，如图2，线段AB＝d（定值），将其弯折成互相垂直的两段AC、CB后，设A、B两点的距离为x，由A、B、C三点组成图形面积为S，且S与x的函数关系如图所示（抛物线y＝ax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上）：
（1）填空：线段AB的长度d＝ ；弯折后A、B两点的距离x的取值范围是 ；若S＝3，则是否存在点C，将AB分成两段（填“能”或“不能”） ；若面积S＝1.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是 ；
（2）填空：在如图1中，以原点O为圆心，A、B两点的距离x为半径的⊙O；画出点C分AB所得两段AC与CB的函数图象（线段）；设圆心O到该函数图象的距离为h，则h＝ ，该函数图象与⊙O的位置关系是 ．
（提升）问题2，一个直角三角形斜边长为c（定值），设其面积为S，周长为x，证明S是x的二次函数，求该函数关系式，并求x的取值范围和相应S的取值范围．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB=1：3，因而面积的比是1：1．
【详解】解：如图：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB=1：2，
∴AD：AB=1：3，
∴S△ADE：S△ABC=1：1．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
2、B
【解析】试题解析：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=OE，
∴△AOE是等腰直角三角形，
故选B.
3、A
【分析】画树状图（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，
所以两人恰好选择同一场馆的概率，
故选：A．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
4、D
【分析】利用因式分解法求解可得．
【详解】解：∵2x（x﹣5）＝6（x﹣5）
2x（x﹣5）﹣6（x﹣5）＝0，
∴（x﹣5）（2x﹣6）＝0，
则x﹣5＝0或2x﹣6＝0，
解得x＝5或x＝3，
故选：D．
【点睛】
本题考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5、B
【分析】画树状图列出所有情况，看数字之和等于4的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】画树状图得：
则共有9种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字之和等于4的有3种结果，
∴两张牌的牌面数字之和等于4的概率为 ＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查列表法和树状图法，解题的关键是可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果．
6、D
【分析】由反比例函数y=的图象经过点（3，1），可求反比例函数解析式，把点代入解析式即可求解．
【详解】∵反比例函数y＝的图象经过点（3，1），
∴y＝，
把点一一代入，发现只有（﹣1，﹣3）符合．
故选D．
【点睛】
本题运用了待定系数法求反比例函数解析式的知识点，然后判断点是否在反比例函数的图象上．
7、C
【分析】根据垂径定理及圆周角定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，
∴AE=BE，，故A、B正确；
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，故D正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
8、D
【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．
【详解】解：∵正多边形的一个内角是135°，
∴该正多边形的一个外角为45°，
∵多边形的外角之和为360°，
∴边数＝，
∴这个正多边形的边数是1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正多边形的内角和与外角和的知识，知道正多边形的外角之和为360°是解题关键．
9、C
【分析】利用二次函数顶点式可直接得到抛物线的顶点坐标．
【详解】解：∵y＝(x﹣4)2+2，
∴顶点坐标为(4，2)，
故答案为C．
【点睛】
本题考查了二次函数的顶点式,掌握顶点式各参数的含义是解答本题的关键.
10、A
【分析】作BC⊥x轴于C，如图，根据等边三角形的性质得OA=OB=4，AC=OC=2，∠BOA=60°，则易得A点坐标和O点坐标，再利用勾股定理计算出BC=2，然后根据第二象限点的坐标特征可写出B点坐标；由旋转的性质得∠AOA′=∠BOB′=60°，OA=OB=OA′=OB′，则点A′与点B重合，于是可得点A′的坐标．
【详解】解：作BC⊥x轴于C，如图，
∵△OAB是边长为4的等边三角形
∴OA=OB=4，AC=OC=1，∠BOA=60°，
∴A点坐标为（-4，0），O点坐标为（0，0），
在Rt△BOC中，BC= ，
∴B点坐标为（-2，2）；
∵△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，
∴∠AOA′=∠BOB′=60°，OA=OB=OA′=OB′，
∴点A′与点B重合，即点A′的坐标为（-2，2），
故选：A．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-旋转：记住关于原点对称的点的坐标特征；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°；解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．
11、A
【分析】主视图是从物体正面看，所得到的图形．
【详解】该几何体的主视图是：
故选：A
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体正面看到的图，掌握定义是关键.
12、B
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A、方程x+2y=1是二元一次方程，故本选项错误；
B、方程x2+5=0是一元二次方程，故本选项正确；
C、方程x2+=8是分式方程，故本选项错误；
D、方程x（x+3）=x2-1是一元一次方程，故本选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、x≤1
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：二次根式有意义，则1-x≥0，
解得：x≤1．
故答案为：x≤1．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
14、或
【分析】求出直线l的解析式，证出△AOB∽△PCA，得出，设AC=m（m＞0），则PC=2m，根据△PCA≌△PDA，得出 ，当△PAD∽△PBA时，根据，，得出m=2，从而求出P点的坐标为（4，4）、（0，-4），若△PAD∽△BPA，得出，求出，从而得出，求出，即可得出P点的坐标为．
【详解】∵点A（2，0），点B（0，1），
∴直线AB的解析式为y=-x+1
∵直线l过点A（4，0），且l⊥AB，
∴直线l的解析式为；y=2x-4，∠BAO+∠PAC=90°，
∵PC⊥x轴，
∴∠PAC+∠APC=90°，
∴∠BAO=∠APC，
∵∠AOB=∠ACP，
∴△AOB∽△PCA，
∴，
∴，
设AC=m（m＞0），则PC=2m，
∵△PCA≌△PDA，
∴AC=AD，PC=PD，
∴，
如图1：当△PAD∽△PBA时，
则，
则，
∵AB=，
∴AP=2，
∴，
∴m=±2，（负失去）
∴m=2，
当m=2时，PC=4，OC=4，P点的坐标为（4，4），
如图2，若△PAD∽△BPA，
则，
∴，
则，
∴m=±，（负舍去）
∴m=，
当m=时，PC=1，OC=，
∴P点的坐标为（，1），
故答案为：P（4，4），P（，1）．
【点睛】
此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是相似三角形和全等三角形的判定与性质、勾股定理、一次函数等，关键是根据题意画出图形，注意点P在第一象限有两个点．
15、瓮中捉鳖（答案不唯一）
【分析】此题根据事件的可能性举例即可．
【详解】必然事件就是一定会发生的，例如：瓮中捉鳖等，
故答案：瓮中捉鳖（答案不唯一）．
【点睛】
此题考查事件的可能性：必然事件的概念．
16、
【分析】设反比例函数的解析式为y=(k≠0)，把A点坐标代入可求出k值，即可得答案．
【详解】设反比例函数的解析式为y=(k≠0)，
∵反比例函数的图像过点，
∴3=，
解得：k=-6，
∴这个反比例函数的表达式为，
故答案为：
【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征是解题关键．
17、
【分析】根据特殊角度的三角函数值，，，代入数据计算即可.
【详解】∵，，,
∴原式=.
【点睛】
熟记特殊角度的三角函数值是解本题的关键.
18、1
【分析】根据正切的定义分别求出AC、BC，结合图形计算即可．
【详解】解：由题意，CD=10，∠BDC=45°，∠ADC=51°，
在Rt△BCD中，tan∠BDC=，
则BC=CD•tan45°=10，
在Rt△ACD中，tan∠ADC=，
则AC=CD•tan∠ADC≈10×1.11=11.1，
∴AB=AC-BC=1.1≈1（m），
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用——仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）m＝1或9或﹣3；（3）或
【分析】（1）函数的对称为：x＝﹣m，顶点p的坐标为：（﹣m，3m2+2m），即可求解；
（2）分m≤﹣1、m≥1、﹣1＜m＜1，三种情况，分别求解即可；
（3）由题意得：3m2+2m≤1，即可求解．
【详解】解：（1）函数的对称为：x＝﹣m，顶点p的坐标为：（﹣m，3m2+2m），
故答案为：（﹣m，3m2+2m）；
（2）①当m≤﹣1时，x＝1时，y＝5，即5＝﹣4﹣8m﹣m2+2m，解得：m＝﹣3；
②当m≥1时，x＝﹣1，y＝5，解得：m＝1或9；
③﹣1＜m＜1时，同理可得：m＝1或﹣（舍去）；
故m＝1或9或﹣3；
（3）函数的表达式为：y＝﹣4x2﹣8mx﹣m2+2m，
当x＝1时，y＝﹣m2﹣6m﹣4，
则1≤y＜2，且函数对称轴在y轴右侧，
则1≤﹣m2﹣6m﹣4＜2，
解得：﹣3+≤m≤﹣1；
当对称轴在y轴左侧时，1≤y＜2，
当x＝﹣1时，y＝﹣m2+10m﹣4，
则1≤y＜2，即1≤﹣m2+10m﹣4＜2，
解得：5﹣2≤m＜5﹣；
综上，﹣3+≤m≤﹣1或5﹣2≤m＜5﹣．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键，分情况讨论，注意不要漏掉.
20、（1）m＜1；（2）m＜0
【分析】（1）根据题意可知一元二次方程有两个不相等的实数根，即b2-4ac＞0然后利用根的判别式确定取值范围；（2）由题意得：x1x2＜0，即m＜0，即可求解；
【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴相交于A、B两点
则方程x2－2x＋m=0有两个不相等的实数根
∴b2-4ac＞0，
∴4-4m＞0，
解得：m＜1；
（2）∵点A、B位于原点的两侧
则方程x2－2x＋m=0的两根异号，即x1x2＜0
∵
∴m＜0
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生对函数基本性质、函数与坐标轴的交点等的求解熟悉，这是一个综合性很好的题目．
21、=,= −．
【分析】方程整理后，利用因式分解法即可得出结果．
【详解】方程整理得：3x(1x+1)−1(1x+1)=0，
分解因式得：(3x−1)(1x+1)=0，
可得3x−1=0或1x+1=0，
解得：=,= −.
22、（1）见解析；（2）45°.
【分析】（1）设正方形的边长为a，求出AC的长为a，再求出△ACF与△GCA中∠ACF的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF与△GCA相似；（2）根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠CAF，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠2+∠CAF=∠ACB=45°，所以∠1+∠2=45°．
【详解】设正方形的边长为，则，
∴，
又∵，
∴；
解：由得：，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定，利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等的性质以及三角形的外角性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解题关键．
23、（1）证明见解析；（2）80°
【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理和等腰三角形的三线合一，可得，利用相等的圆周角所对的弧相等即可得证；
（2）连接BE，利用同弧所对的圆周角相等可得，再利用等腰三角形的性质可求得利用圆周角定理即可求解．
【详解】解：（1）连接AD，
，
∵为的直径，
∴，即，
∵在中，，
∴，
∴；
（2）连接BE，
，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴的度数为．
【点睛】
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，弧、弦、圆心角和圆周角之间的关系，熟练应用圆的基本性质定理是解题的关键．
24、（1）（0≤x≤10）；（2）32元；（3）售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
【分析】（1）利用利润=每件的利润×数量即可表示出与的函数关系式；
（2）令第（1）问中的y值为2520，解一元二次方程即可得出x的值；
（3）根据二次函数的性质求得最大值即可．
【详解】（1）根据题意有：
每个收纳盒售价不能高于40元
（2）令
即
解得或
此时售价为30+2=32元
（3）
∵为正整数
∴当或时，y取最大值，最大值为
此时的售价为30+6=6元或30+7=37元
答：售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
25、（1）证明见解析；（2）S圆环＝16π
【解析】试题分析：（1）连结OM、ON、OA由切线长定理可得AM=AN，由垂径定理可得AM＝BM，AN=NC，从而可得AB=AC.
（2）由垂径定理可得AM＝BM=4，由勾股定理得OA2－OM2＝AM 2＝16，代入圆环的面积公式求解即可.
（1）证明：连结OM、ON、OA
∵AB、AC分别切小圆于点M、N．
∴AM=AN，OM⊥AB，ON⊥AC，
∴AM＝BM，AN=NC，
∴AB=AC
（2）解：∵弦AB切与小圆⊙O相切于点M
∴OM⊥AB
∴AM＝BM＝4
∴在Rt△AOM中，OA2－OM2＝AM 2＝16
∴S圆环＝πOA2－πOM2＝πAM 2＝16π
26、抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5；（2）20＜x＜2，不能，+和﹣；（2），相离或相切或相交；（3）相应S的取值范围为S＞c2．
【分析】将顶点（0，5）及点（﹣3，）代入抛物线的顶点式即可求出其解析式；
（2）由抛物线的解析式先求出点M的坐标，由二次函数的图象及性质即可判断d的值，可由d的值判断出x的取值范围，分别将S＝3和2．5代入抛物线解析式，即可求出点C将线段AB分成两段的长；
（2）设AC＝y，CB＝x，可直接写出点C分AB所得两段AC与CB的函数解析式，并画出图象，证△OPM为等腰直角三角形，过点O作OH⊥PM于点H，则OH＝PM＝，分情况可讨论出AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O的位置关系；
（3）设直角三角形的两直角边长分别为a，b，由勾股定理及完全平公式可以证明S是x的二次函数，并可写出x的取值范围及相应S的取值范围．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点（0，5），
∴y＝ax2+5，
将点（﹣3，）代入，
得＝a×（﹣3）2+5，
∴a＝ ，
∴抛物线的解析式为：y＝ ；
（2）∵S与x的函数关系如图所示（抛物线y＝ax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上），
在y＝，当y＝0时，x2＝2，x2＝﹣2，
∴M（2，0），
即当x＝2时，S＝0，
∴d的值为2；
∴弯折后A、B两点的距离x的取值范围是0＜x＜2；
当S＝3 时，设AC＝a，则BC＝2﹣a，
∴a（2﹣a）＝3，
整理，得a2﹣2a+6＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝﹣4＜0，
∴方程无实数根；
当S＝2.5时，设AC＝a，则BC＝2﹣a，
∴a（2﹣a）＝2.5，
整理，得a2﹣2a+3＝0，
解得，
∴当a＝时，2﹣a＝，
当a＝时，2﹣a＝，
∴若面积S＝2.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是和；
故答案为：2，0＜x＜2，不能，和；
（2）设AC＝y，CB＝x，
则y＝﹣x+2，如图2所示的线段PM，
则P（0，2），M（2，0），
∴△OPM为等腰直角三角形，
∴PM＝OP＝2，
过点O作OH⊥PM于点H，
则OH＝PM＝，
∴当0＜x＜时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相离；
当x＝时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相切；
当＜x＜2时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相交；
故答案为：，相离或相切或相交；
（3）设直角三角形的两直角边长分别为a，b，
则 ，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴（x﹣c）2＝c2+2ab，
∴，
即S＝，
∴x的取值范围为：x＞c，
则相应S的取值范围为S＞．
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，直线与圆的位置关系等，解题关键是熟练掌握二二次函数的图象及性质并能灵活运用．
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