资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．在下列四个函数中，当时，随的增大而减小的函数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，函数值随自变量x的值增大而增大的是( )
A． B． C． D．
3．如果小强将飞镖随意投中如图所示的正方形木板，那么P(飞镖落在阴影部分的概率)为( )
A． B． C． D．
4．下列函数关系式中，是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，如果增加一个条件就能使结论成立，那么这个条件可以是
A． B． C． D．
6．已知反比例函数的表达式为，它的图象在各自象限内具有 y随x的增大而增大的特点，则k的取值范围是（ ）．
A．k>-2 B． C． D．
7．如图，AC是电杆AB的一根拉线，现测得BC=6米，∠ABC=90°，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（ ）米.
A． B． C． D．
8．如图，PA与 PB 分别与圆O相切与A、B 两点，∠P=80o ，则∠C =（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
9．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=40°，则∠BAD的大小为（ ）
A．60º B．30º C．45º D．50º
10．在一个不透明的布袋中装有60个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ）
A．24 B．36 C．40 D．90
11．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
12．下列事件中，是随机事件的是( )
A．任意画两个直角三角形，这两个三角形相似 B．相似三角形的对应角相等
C．⊙O的半径为5，OP＝3，点P在⊙O外 D．直径所对的圆周角为直角
二、填空题（每题4分，共24分）
13．一元二次方程（x﹣1）2＝1的解是_____．
14．如果3a＝4b（a、b都不等于零），那么＝_____．
15．计算：sin45°＝____________．
16．如图，在中，，若，则__________．
17．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC交⊙O于点D，若∠C=50°，则∠AOD=_____________
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tanA＝，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，点F是DE上一动点，以点F为圆心，FD为半径作⊙F，当FD＝_____时，⊙F与Rt△ABC的边相切．
三、解答题（共78分）
19．（8分）（1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，AE＝，则的值是 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度，连接CE和BD，的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BC于点C，∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝，当CD＝6，AD＝3时，请直接写出线段BD的长度．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB＝16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB＝，点E、F分别是线段AD、AC上的动点，（点E不与点A，D重合），且∠CEF＝∠ACB．
（1）求AC的长和点D的坐标；
（2）求证：；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．
21．（8分）佩佩宾馆重新装修后,有间房可供游客居住，经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满，当每间房每天的定价每增加元时,就会有一间房空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每间房每天支出元的各项费用．设每间房每天的定价增加元，宾馆获利为元．
(1)求与的函数关系式(不用写出自变量的取值范围) ;
(2)物价部门规定，春节期间客房定价不能高于平时定价的倍,此时每间房价为多少元时宾馆可获利元?
22．（10分）如图，已知直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y＝x2+bx+c过点B、C，且与x轴交于另一个点A．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点P是x轴上方抛物线上一点，连接OP．
①若OP与线段BC交于点D，则当D为OP中点时，求出点P坐标．
②在抛物线上是否存在点P，使得∠POC＝∠ACO若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
23．（10分）（1）2y2+4y＝y+2（用因式分解法）
（2）x2﹣7x﹣18＝0（用公式法）
（3）4x2﹣8x﹣3＝0（用配方法）
24．（10分）一个小球沿着足够长的光滑斜面向上滚动，它的速度与时间满足一次函数关系，其部分数据如下表：
（1） 求小球的速度v与时间t的关系.
（2）小球在运动过程中，离出发点的距离S与v的关系满足 ，求S与t的关系式，并求出小球经过多长时间距离出发点32m？
（3）求时间为多少时小球离出发点最远，最远距离为多少？
25．（12分）已知是一张直角三角形纸片，其中，，小亮将它绕点逆时针旋转后得到，交直线于点.
（1）如图1，当时，所在直线与线段有怎样的位置关系？请说明理由.
（2）如图2，当，求为等腰三角形时的度数.
26．已知二次函数．
（1）求证：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；
（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为正数，求m的最小整数值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】分别根据正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的性质逐项判断即得答案．
【详解】解：A、，当时，函数是随着增大而增大，故本选项错误；
B、，当时，函数是随着增大而减小，故本选项正确；
C、，∴当时，函数是y随着增大而增大，故本选项错误；
D、函数，当时，随着增大而减小，当时，随着增大而增大，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了初中阶段三类常见函数的性质，属于基础题型，熟练掌握一次函数、反比例函数和二次函数的性质是解题的关键．
2、A
【解析】一次函数当时，函数值总是随自变量的增大而增大，反比例函数当时，在每一个象限内，随自变量增大而增大.
【详解】、该函数图象是直线，位于第一、三象限，随增大而增大，故本选项正确；
、该函数图象是直线，位于第二、四象限，随增大而减小，故本选项错误；
、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，随增大而减小，故本选项错误；
、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，随增大而增大，故本选项错误.
故选：.
【点睛】
本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是关键.
3、C
【解析】先求大正方形和阴影部分的面积分别为36和4,再用面积比求概率.
【详解】设小正方形的边长为1，则正方形的面积为6×6=36，
阴影部分面积为，所以，P落在三角形内的概率是.
故选C.
【点睛】本题考核知识点：几何概率.解答本题的关键是理解几何概率的概念，即：概率=相应的面积与总面积之比．分别求出相关图形面积，再求比.
4、C
【分析】根据反比例函数的定义即可得出答案.
【详解】A为正比例函数，B为一次函数，C为反比例函数，D为二次函数，故答案选择C.
【点睛】
本题考查的是反比例函数的定义：形如的式子，其中k≠0.
5、D
【解析】求出∠DAE=∠BAC，根据选项条件判定三角形相似后，可得对应边成比例，再把比例式化为等积式后即可判断．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
A、∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
故本选项错误；
B、∵，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
故本选项错误；
C、∵，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
故本选项错误；
D、∵∠DAE=∠BAC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，比例式化等积式，特别要注意确定好对应边，不要找错了．
6、C
【分析】先根据反比例数的图象在每一象限内y随x的增大而增大得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例数的图象在每一象限内y随x的增大而增大，
∴＜0，解得k＜-1．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键
7、C
【分析】根据余弦定义：即可解答．
【详解】解：，
，
米，
米；
故选C．
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用，将其转化为解直角三角形的问题是本题的关键，用到的知识点是余弦的定义．
8、B
【分析】连接AO，BO，根据题意可得∠PAO=∠PBO=90°，根据∠P=80°得出∠AOB=100°，利用圆周角定理即可求出∠C．
【详解】解：连接AO，BO，
∵PA与 PB 分别与圆O相切与A、B 两点，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P=80°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°，
∴∠C=，
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是熟知切线的性质以及圆周角定理的内容．
9、D
【分析】把∠DAB归到三角形中，所以连结BD，利用同弧所对的圆周角相等，求出∠A的度数，AB为直径，由直径所对圆周角为直角，可知∠DAB与∠B互余即可．
【详解】连结BD，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠B=∠C=40º，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90º，
∴∠DAB+∠B=90º，
∴∠DAB=90º-40º=50º．
故选择：Ｄ．
【点睛】
本题考查圆周角问题，关键利用同弧所对圆周角转化为三角形的内角，掌握直径所对圆周角为直角，会利用余角定义求角．
10、D
【分析】设袋中有黑球x个，根据概率的定义列出方程即可求解.
【详解】设袋中有黑球x个，由题意得：=0.6，解得：x=90，
经检验，x=90是分式方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有90个．故选D．
【点睛】
此题主要考查概率的计算，解题的关键是根据题意设出未知数列方程求解.
11、D
【解析】x2−3x=0，
x(x−3)=0，
∴x1=0，x2=3.
故选：D.
12、A
【分析】根据相似三角形的判定定理、相似三角形的性质定理、点与圆的位置关系、圆周角定理判断即可.
【详解】解：A、任意画两个直角三角形，这两个三角形相似是随机事件，符合题意；
B、相似三角形的对应角相等是必然事件，故不符合题意；
C、⊙O的半径为5，OP＝3，点P在⊙O外是不可能事件，故不符合题意；
D、直径所对的圆周角为直角是必然事件，故不符合题意；
故选：A.
【点睛】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．也考查了相似三角形的判定与性质，点与圆的位置关系，圆周角定理等知识.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、x＝2或0
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解：∵（x﹣1）2＝1，
∴x﹣1＝±1，
∴x＝2或0
故答案为：x＝2或0
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的方法，形如x2=p或(nx+m)2=p(p⩾0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
14、
【解析】直接利用已知把a，b用同一未知数表示，进而计算得出答案．
【详解】∵3a＝4b（a、b都不等于零），
∴设a＝4x，则b＝3x，
那么．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了比例的性质，正确表示出a，b的值是解题关键．
15、1．
【分析】根据sin45°＝代入计算即可．
【详解】sin45°＝，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值，熟练记忆是关键．
16、6
【分析】先根据平行四边形的性质证得△BEG∽△FAG，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得，根据相似三角形的性质可求得，进而可得答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△BEG∽△FAG，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴.
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键.
17、80°
【详解】解：∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∵∠C=50°，
∴∠B=90°﹣∠C=40°，
∵OA=OB，
∴∠ODB=∠B=40°，
∴∠AOD=80°．
故答案为80°．
18、或
【分析】如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，连接FH，则HF⊥AC，解直角三角形得到AC＝4，AB＝5，根据旋转的性质得到∠DCE＝∠ACB＝90°，DE＝AB＝5，CD＝AC＝4，根据相似三角形的性质得到DF＝；如图2，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，延长DE交AB于H，推出点H为切点，DH为⊙F的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，
连接FH，则HF⊥AC，
∴DF＝HF，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tanA＝＝，
∴AC＝4，AB＝5，
将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，
∴∠DCE＝∠ACB＝90°，DE＝AB＝5，CD＝AC＝4，
∵FH⊥AC，CD⊥AC，
∴FH∥CD，
∴△EFH∽△EDC，
∴＝，
∴＝，
解得：DF＝；
如图2，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，延长DE交AB于H，
∵∠A＝∠D，∠AEH＝∠DEC
∴∠AHE＝90°，
∴点H为切点，DH为⊙F的直径，
∴△DEC∽△DBH，
∴＝，
∴＝，
∴DH＝，
∴DF＝，
综上所述，当FD＝或时，⊙F与Rt△ABC的边相切，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）的值不变化，值为，理由见解析；（3）
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理即可得出答案；
（2）证明△ABD∽△ACE，得出＝＝
（3）作AE⊥CD于E，DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，则DM＝CN，DN＝MC，由三角函数定义得出＝，＝，得出＝，求出AE＝AD＝，DE＝AE＝，得出CE＝CD﹣DE＝，由勾股定理得出AC＝＝，得出BC＝AC＝
，由面积法求出CN＝DM＝，得出BN＝BC+CN＝，由勾股定理得出AM＝＝，得出DN＝MC＝AM+AC＝，再由勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）∵DE∥BC，
∴＝＝＝；
故答案为：；
（2）的值不变化，值为；理由如下：
由（1）得：DE∥B，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
由旋转的性质得：∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴＝＝；
（3）作AE⊥CD于E，DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，如图3所示：
则四边形DMCN是矩形，
∴DM＝CN，DN＝MC，
∵∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝，
∴＝，＝，
∴＝，
∴AE＝AD＝×3＝，DE＝AE＝，
∴CE＝CD﹣DE＝6﹣＝，
∴AC＝＝＝
∴BC＝AC＝，
∵△ACD的面积＝AC×DM＝CD×AE，
∴CN＝DM＝＝，
∴BN＝BC+CN＝，AM＝＝＝，
∴DN＝MC＝AM+AC＝，
∴BD＝＝＝．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理、矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数定义、三角形面积等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
20、（1）AC=20，D（12，0）；（2）见解析；（3）（8，0）或(，0)．
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函数和勾股定理即可求出BC、AC的长度，从而得到A点坐标，由点D与点A关于y轴对称，进而得到D点的坐标；
（2）欲证，只需证明△AEF与△DCE相似，只需要证明两个对应角相等即可．在△AEF与△DCE中，易知∠CAO＝∠CDE，再利用三角形的外角性质证得∠AEF＝∠DCE，问题即得解决；
（3）当△EFC为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论：
①当CE＝EF时，此时△AEF与△DCE相似比为1，则有AE＝CD，即可求出E点坐标；
②当EF＝FC时，利用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识易求得CE，再利用（2）题的结论即可求出AE的长，进而可求出E点坐标；
③当CE＝CF时，可得E点与D点重合，这与已知条件矛盾，故此种情况不存在．
【详解】解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠B=90°，∵AB＝16，tan∠ACB＝，
∴，解得：BC＝12=AO，
∴AC＝20，A点坐标为（﹣12，0），
∵点D与点A关于y轴对称，∴D（12，0）；
（2）∵点D与点A关于y轴对称，∴∠CAO＝∠CDE，
∵∠CEF＝∠ACB，∠ACB＝∠CAO，∴∠CDE＝∠CEF，
又∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠CDE+∠DCE，
∴∠AEF＝∠DCE，∴△AEF∽△DCE．
∴；
（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当CE＝EF时，∵△AEF∽△DCE，∴△AEF≌△DCE，
∴AE＝CD＝20，∴OE＝AE﹣OA＝20﹣12＝8，∴E（8，0）；
②当EF＝FC时，如图1所示，过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE中点，
∴CE＝2ME＝2EF•cos∠CEF＝2EF•cos∠ACB＝．
∵△AEF∽△DCE，
∴，即：，解得：AE＝，
∴OE＝AE﹣OA＝，∴E(，0)．
③当CE＝CF时，则有∠CFE＝∠CEF，
∵∠CEF＝∠ACB＝∠CAO，
∴∠CFE＝∠CAO，即此时F点与A点重合，E点与D点重合，这与已知条件矛盾．
所以此种情况的点E不存在，综上，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标是（8，0）或(，0)．
【点睛】
本题综合考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质、三角形的外角性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．难点在于第（3）问，当△EFC为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论，注意不要漏解.
21、（1）；（2）每间房价为元时，宾馆可获利元
【分析】(1)根据题意表示出每间房间的利润和房间数，进而求得答案；
(2)代入(1)求出的函数式，解方程即可，注意要符合条件的.
【详解】解：由题意得
答: 与的函数关系式为：
由可得：
令，即
解得
解得
此时每间房价为: (元)
答:每间房价为元时，宾馆可获利元。
【点睛】
本题考查的是盈利问题的二次函数式及二次函数的最值问题，通常做法是先列出二次函数式，然后利用y最值或化成顶点式进行求解.用代数表示每间房间的利润和房间数是关键.
22、（2）y＝﹣x2+x+2；（2）①点P坐标为（2，3）；②存在点P（，﹣2）或（，﹣7）使得∠POC＝∠ACO
【分析】（2）与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，2），由题意可得即可求解；
（2）①过点P作PE∥OC，交BC于点E．根据题意得出△OCD≌△PED，从而得出PE＝OC＝2，再根据 即可求解；
②当点P在y轴右侧，PO∥AC时，∠POC=∠ACO．抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，则点A坐标为（-2，0）．则直线AC的解析式为y=2x+2．直线OP的解析式为y=2x，即可求解；当点P在y轴右侧，设OP与直线AC交于点G，当CG=OG时，∠POC=∠ACO，根据等腰三角形三线合一，则CF=OF=2，可得：点G坐标为即可求解．
【详解】（2）∵y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，2）．
由题意可得，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）①如图，过点P作PE∥OC，交BC于点E．
∵点D为OP的中点，
∴△OCD≌△PED（AAS），
∴PE＝OC＝2，
设点P坐标为（m，﹣m2+m+2），点E坐标为（m，﹣m+2），
则PE＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝2，
解得m2＝m2＝2．
∴点P坐标为（2，3）；
②存在点P，使得∠POC＝∠ACO．
理由：分两种情况讨论．
如上图，当点P在y轴右侧，
PO∥AC时，∠POC＝∠ACO．
∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，
∴点A坐标为（﹣2，0）．
∴直线AC的解析式为y＝2x+2．
∴直线OP的解析式为y＝2x，
解方程组，解得：x＝（舍去负值）
∴点P坐标为（，﹣2）．
如图，当点P在y轴右侧，
设OP与直线AC交于点G，当CG＝OG时∠POC＝∠ACO，
过点G作GF⊥OC，垂足为F．
根据等腰三角形三线合一，则CF＝OF＝2．
∴可得点G坐标为（﹣，2）
∴直线OG的解析式为y＝﹣2x；
把y＝﹣2x代入抛物线表达式并解得x＝（不合题意值已舍去）．
∴点P坐标为（，﹣7）．
综上所述，存在点P（，﹣2）或（，﹣7）使得∠POC＝∠ACO．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等、解直角三角形、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．
23、（1）y1＝﹣2，y2＝；（2）x1＝9，x2＝﹣2；（3）x1＝1+，x2＝1﹣．
【分析】（1）先变形为2y（y+2）﹣（y+2）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）先计算出判别式的值，然后利用求根公式法解方程；
（3）先把二次项系数化为1，再两边加上一次项系数一半的平方，配方法得到（x﹣1）2＝，然后利用直接开平方法解方程．
【详解】解：（1）2y（y+2）﹣（y+2）＝0，
∴（y+2）（2y﹣1）＝0，
∴y+2＝0或2y﹣1＝0，
所以y1＝﹣2，y2＝；
（2）a＝1，b＝﹣7，c＝﹣18，
∴△＝（﹣7）2﹣4×（﹣18）＝121，
∴x＝，
∴x1＝9，x2＝﹣2；
（3）x2﹣2x＝，
∴x2﹣2x+1＝+1，
∴（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．
24、（1）v=-4t+20；（2）小球经过2s距离出发点32m；（3）当时间为5s时小球离出发点最远，最远距离为50m．
【分析】（1）直接运用待定系数法即可；
（2）将中的用第（1）问中求得的式子来做等量代换，化简可得到S与t的关系式，令S=32时，得到关于t的方程，解出即可；
（3）将S与t的关系式化成顶点式，即可求出S的最大值与相应的时间.
【详解】(1)设v=kt+b，将（2,12），（3,8）代入得：
，解得
所以v=-4t+20
（2）
∴
当时，
，
∵当时，
∴，
答：小球经过2s距离出发点32m.
（3）∵，
∴当t=5时，v=0，m
答：当时间为5s时小球离出发点最远，最远距离为50m.
【点睛】
本题考查了一次函数、一元二次方程、二次函数的应用，掌握好用待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解法，二次函数的最值求法是解题的基础，注意解决实际问题，不能忘记检验.
25、（1）BD与FM互相垂直，理由见解析；（2）β的度数为30°或75°或120°．
【分析】（1）由题意设直线BD与FM相交于点N，即可根据旋转的性质判断直线BD与线段MF垂直；
（2）根据旋转的性质得∠MAD=β，分类讨论：当KA=KD时，根据等腰三角形的性质得∠KAD=∠D=30°，即β=30°；当DK=DA时，根据等腰三角形的性质得∠DKA=∠DAK，然后根据三角形内角和可计算出∠DAK=75°，即β=75°；当AK=AD时，根据等腰三角形的性质得∠AKD=∠D=30°，然后根据三角形内角和可计算出∠KAD=120°，即β=120°．
【详解】解：（1）BD与FM互相垂直，理由如下
设此时直线BD与FM相交于点N
∵∠DAB=90°，∠D=30°
∴∠ABD=90°-∠D=60°，
∴∠NBM=∠ABD=60°
由旋转的性质得△ADB≌△AMF,∴∠D=∠M=30°
∴∠MNB=180°-∠M-∠NBM=180°-30°- 60°= 90°
∴BD与FM互相垂直
（2）
当KA=KD时，则∠KAD=∠D=30°，即β=30°；
当DK=DA时，则∠DKA=∠DAK，
∵∠D=30°，∴∠DAK=（180°﹣30°）÷2=75°，即β=75°；
当AK=AD时，则∠AKD=∠D=30°，
∴∠KAD=180°﹣30°﹣30°=120°，即β=120°，
综上所述，β的度数为30°或75°或120°．
【点睛】
本题考查作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．应用分类讨论思想和等腰三角形的性质是解决问题的关键．
26、（1）见解析；（2）．
【分析】（1）先计算对应一元二次方程的根的判别式的值，然后依此进行判断即可；
（2）先把m看成常数，解出对应一元二次方程的解，再根据该函数的图象与轴交点的横坐标均为正数列出不等式，求出m的取值范围，再把这个范围的整数解写出即可.
【详解】（1）由题意，得 △=，
∴无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点．
（2）∵ ，
∴ ，．
∵该函数的图象与轴交点的横坐标均为正数，
∴ ，
即．
∵ m取最小整数；
∴．
【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，把二次函数交点问题转化成一元二次方程根的问题是解题的关键.
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