资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点M，在射线BM上截取线段BD，使BD＝AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（ ）
A． B． C． D．
2． “割圆术”是我国古代的一位伟大的数学家刘徽首创的，该割圆术，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数来求出圆周率的一种方法，某同学在学习“割圆术”的过程中，画了一个如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（ ）．
A．1 B．3 C．3.1 D．3.14
3．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个正五边形，它是中心对称图形
B．某课外实践活动小组有13名同学，至少有2名同学的出生月份相同
C．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
D．相等的圆心角所对的弧相等
4．如图，在中，，，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．
5．等腰直角△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，若∠BAC=90°，AP=1.则CP的长等于（ ）
A． B．2 C．2 D．3
6．下列四种图案中，不是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
7．如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，计算这个几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图摆放的圆锥、圆柱、三棱柱、球，其主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知是关于的一元二次方程的解，则等于（ ）
A．1 B．-2 C．-1 D．2
10．下列一元二次方程中，两个实数根之和为2的是（ ）
A．2x2+x﹣2＝0 B．x2+2x﹣2＝0 C．2x2﹣x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣2＝0
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．分解因式:__________．
12．如图把沿边平移到的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是面积的三分之一，若，则点平移的距离是__________
13．将抛物线向左平移个单位，得到新的解析式为________.
14．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
15．用配方法解方程时，可配方为，其中________．
16．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为____________海里/时．
17．两个相似多边形的一组对应边分别为2cm和3cm，那么对应的这两个多边形的面积比是__________
18．已知△ABC∽△A'B'C'，S△ABC：S△A'B'C'＝1：4，若AB＝2，则A'B'的长为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知：△ABC中，点D为边BC上一点，点E在边AC上，且∠ADE＝∠B
(1) 如图1，若AB＝AC，求证：；
(2) 如图2，若AD＝AE，求证：；
(3) 在(2)的条件下，若∠DAC＝90°，且CE＝4，tan∠BAD＝，则AB＝____________．
20．（6分）如图1，抛物线与轴交于，两点，过点的直线分别与轴及抛物线交于点
（1）求直线和抛物线的表达式
（2）动点从点出发，在轴上沿的方向以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，为直角三角形？请直接写出所有满足条件的的值．
（3）如图2，将直线沿轴向下平移4个单位后，与轴，轴分别交于，两点，在抛物线的对称轴上是否存在点，在直线上是否存在点，使的值最小？若存在，求出其最小值及点，的坐标，若不存在，请说明理由．
21．（6分）如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；
（1）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，得到△A1B1C1，在网格中画出旋转后的△A1B1C1．
22．（8分）先化简，后求值：，其中．
23．（8分）如图,在小山的东侧处有一一热气球,以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为30°的方向飞行，半小时后到达处，这时气球上的人发现,在处的正西方向有一处着火点，5分钟后，在处测得着火点的俯角是15°，求热气球升空点与着火点的距离．(结果保留根号,参考数据: )
24．（8分）在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成部分统计图表如下：
类别
家庭藏书m本
学生人数
A
0≤m≤25
20
B
26≤m≤50
a
C
51≤m≤75
50
D
m≥76
66
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为 ，a＝ ；
（2）随机抽取一位学生进行调查，刚好抽到A类学生的概率是 ；
（3）若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书不少于76本的人数．
25．（10分）某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元，若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买2件，所买的每件服装的售价均降低6元.已知该服装成本是每件200元.设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元.
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多，并求出获利的最大值？
26．（10分）某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去．规则如下：
将正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片（除数字外其余都相同）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回；重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字．如果两个数字之和为奇数，则小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去．
（1）请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字之和的所有可能出现的结果；
（2）你认为这个规则公平吗？请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】在直角三角形ABC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出AB的长，再利用勾股定理求出BC的长，由CB+BD求出CD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出所求即可．
【详解】在Rt△ABC中,AC=k,∠ACB=90°,∠ABC=30°，
∴AB=BD=2k,∠BAD=∠BDA=15°,BC=k，
∴∠CAD=∠CAB+∠BAD=75°，
在Rt△ACD中,CD=CB+BD=k+2k，
则tan75°=tan∠CAD===2+，
故选B
【点睛】
本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键.
2、B
【分析】先求出，进而得出，根据这个圆的内接正十二边形的面积为进行求解．
【详解】∵是圆的内接正十二边形，
∴，
∵，
∴，
∴这个圆的内接正十二边形的面积为，
故选B．
【点睛】
本题考查正十二边形的面积计算，先求出是解题的关键．
3、B
【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、正五边形不是中心对称图形，故A是不可能事件；
B、某课外实践活动小组有13名同学，至少有2名同学的出生月份相同，是必然事件，故B正确；
C、不等式的两边同时乘以一个数，结果不一定是不等式，是随机事件，故C错误；
D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故D是随机事件，故D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，解题的关键是熟练掌握定义，正确的进行判断．
4、A
【分析】利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方得到，即可解决问题．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5、B
【分析】先利用定理求得，再证得，利用对应边成比例，即可求得答案.
【详解】如图，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴，，
设，则，如图，
∴，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
6、D
【分析】根据中心对称图形的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了对中心对称图形的定义，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．能熟知中心对称图形的定义是解此题的关键．
7、A
【分析】首先根据题目所给出的三视图，判断出该几何体为个圆柱体，该圆柱体的底部圆的半径为4，高为6，之后根据每个面分别求出表面积，再将面积进行求和，即可求出答案．
【详解】解：∵根据题目所给出的三视图，判断出该几何体为个圆柱体，该圆柱体的底部圆的半径为4，高为6，
∴该几何体的上、下表面积为：，
该几何体的侧面积为：，
∴总表面积为：，
故选：A．
【点睛】
本题考查了几何体的表面积，解题的关键在于根据三视图判断出几何体的形状，并把每个面的面积分别计算出来，掌握圆、长方体等面积的计算公式也是很重要的．
8、D
【解析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形判断即可．
【详解】A.主视图是圆；
B.主视图是矩形；
C.主视图是矩形；
D.主视图是三角形．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
9、C
【分析】方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把x=-1代入方程就得到一个关于m+n的方程，就可以求出m+n的值．
【详解】将x=1代入方程式得1+m+n=0，
解得m+n=-1．
故选：C．
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，解题关键在于把求未知系数的问题转化为解方程的问题．
10、D
【分析】利用根与系数的关系进行判断即可．
【详解】方程1x1+x﹣1=0的两个实数根之和为；
方程x1+1x﹣1=0的两个实数根之和为﹣1；
方程1x1﹣x﹣1=0的两个实数根之和为；
方程x1﹣1x﹣1=0的两个实数根之和为1．
故选D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x1是一元二次方程ax1+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x1，x1x1．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】提取公因式a进行分解即可．
【详解】解：a2−5a＝a（a−5）．
故答案是：a（a−5）．
【点睛】
本题考查了因式分解−提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
12、
【分析】根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为三分之一，所以可以求出，进而可求答案.
【详解】
∵把沿边平移到
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
即点C平移的距离是
故答案为.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质与判定，能够知道相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键.
13、
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
【详解】抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），
向左平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣3），
所以，平移后的抛物线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．
14、24或．
【解析】试题分析：由x2-16x+60=0，可解得x的值为6或10，然后分别从x=6时，是等腰三角形；与x=10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．
考点：一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；直角三角形的性质．勾股定理．
15、-6
【分析】把方程左边配成完全平方，与比较即可.
【详解】，
，
，
可配方为，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查用配方法来解一元二次方程，熟练配方是解决此题的关键.
16、
【解析】设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC＝3x，AQ⊥BC，∠BAQ＝60°，∠CAQ＝45°，AB＝80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC＝40＋40＝3x，解方程即可．
【详解】如图所示：
该船行驶的速度为x海里/时，
3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，
由题意得：AB＝80海里，BC＝3x海里，
在直角三角形ABQ中,∠BAQ＝60°，
∴∠B＝90°−60°＝30°，
∴AQ＝AB＝40,BQ＝AQ＝40，
在直角三角形AQC中,∠CAQ＝45°，
∴CQ＝AQ＝40，
∴BC＝40＋40＝3x，
解得：x＝.
即该船行驶的速度为海里/时；
故答案为：.
【点睛】
本题考查的是解直角三角形，熟练掌握方向角是解题的关键.
17、4：9
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可．
【详解】解：因为两个三角形相似，
∴较小三角形与较大三角形的面积比为（ ）2= ，
故答案为：.
【点睛】
此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
18、1
【分析】由相似三角形的面积比得到相似比，再根据AB即可求得A'B'的长.
【详解】解：∵△ABC∽△A'B'C'，且S△ABC：S△A'B''C'＝1：1，
∴AB：A′B′＝1：2，
∵AB＝2，
∴A′B′＝1．
故答案为1．
【点睛】
此题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
三、解答题(共66分)
19、
【解析】分析：(1)
∠ADE＝∠B,可得 根据等边对等角得到
△BAD∽△CDE，根据相似三角形的性质即可证明.
(2) 在线段AB上截取DB＝DF,证明△AFD∽△DEC，根据相似三角形的性质即可证明.
(3) 过点E作EF⊥BC于F，根据tan∠BAD＝tan∠EDF＝，设EF＝x，DF＝2x，则DE＝，证明△EDC∽△GEC，求得，根据CE2＝CD·CG，求出CD＝，
根据△BAD∽△GDE,即可求出的长度.
详解：(1)
∠ADE＝∠B,可得
∵△BAD∽△CDE，
∴；
(2) 在线段AB上截取DB＝DF
∴∠B＝∠DFB＝∠ADE
∵AD＝AE ∴∠ADE＝∠AED ∴∠AED＝∠DFB，
同理：∵∠BAD＋∠BDA＝180°－∠B，∠BDA＋∠CDE＝180°－∠ADE
∴∠BAD＝∠CDE
∵∠AFD＝180°－∠DFB，∠DEC＝180°－∠AED
∴∠AFD＝∠DEC ，
∴△AFD∽△DEC，
∴
(3) 过点E作EF⊥BC于F
∵∠ADE＝∠B＝45°
∴∠BDA＋∠BAD＝135°，∠BDA＋∠EDC＝135°
∴∠BAD＝∠EBC（三等角模型中，这个始终存在）
∵tan∠BAD＝tan∠EDF＝
∴设EF＝x，DF＝2x，则DE＝，
在DC上取一点G，使∠EGD＝45°，
∴△BAD∽△GDE，
∵AD＝AE∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∵∠AED＝∠EDC＋∠C＝45°，∠C＋∠CEG＝45°，∴∠EDC＝∠GEC，
∴△EDC∽△GEC，∴ ∴，
又CE2＝CD·CG，
∴42＝CD·，CD＝，
∴，解得
∵△BAD∽△GDE
∴,
∴.
点睛：属于相似三角形的综合题，考查相似三角形的判定于性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
20、（1），；（2）或3或4或12；（3）存在，，，最小值
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求点D坐标，再求点C坐标，然后分类讨论即可；
（3）通过做对称点将折线转化成两点间距离，用两点之间线段最短来解答即可.
【详解】解：（1）把代入，
得
解得，
∴抛物线解析式为，
∵过点B的直线，
∴把代入，解得，
∴直线解析式为
（2）联立，解得或，所以，
直线：与轴交于点，则，
根据题意可知线段，则点
则，，
因为为直角二角形
①若，则，
化简得：，或
②若，则，
化简得
③若，则，
化简得
综上所述，或3或4或12，满足条件
（3）在抛物线上取点的对称点，过点作于点，交抛物线对称轴于点，过点作于点，此时最小
抛物线的对称轴为直线，则的对称点为，
直线的解析式为
因为，设直线：，
将代入得，则直线：，
联立，解得，则，
联立，解得，则，
【点睛】
本题是一代代数综合题，考查了一次函数、二次函数和动点问题，能够充分调动所学知识是解题的关键.
21、 (1)见解析;(1)见解析.
【分析】图形见详解.
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（1）如图，△A1B1C1为所作．
【点睛】
本题考查了图形的平移和旋转,属于简单题,熟悉旋转和平移的概念是解题关键.
22、，
【分析】先将括号内的分式通分并相加，再利用分式的除法法则进行计算即可得到化简结果，代入x的值即可求解．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，掌握分式的性质和分式的运算法则是解题的关键．
23、．
【分析】过D作DH⊥BA于H，在Rt△DAH中根据三角函数即可求得AH的长，然后在Rt△DBH中，求得BH的长，进而求得BA的长．
【详解】解：由题意可知AD=（30+5）×28=980，
过D作DH⊥BA于H．
在Rt△DAH中，DH=AD•sin60°=980×=490，
AH=AD×cos60°=980×=490，
在Rt△DBH中，BH==490×（2+）=1470+980，
∴BA=BH-AH=（1470+980）-490=980（1+）（米）．
答：热气球升空点A与着火点B的距离为980（1+）（米）．
【点睛】
本题主要考查了仰角和俯角的定义，一般三角形的计算可以通过作高线转化为直角三角形的计算．
24、（1）200，64；（2）0.1；（3）全校学生中家庭藏书不少于76本的人数为660人．
【分析】（1）根据类别C的人数和所占的百分比即可求出样本容量，用样本容量减去A,C,D所对应的人数即可求出a的值；
（2）用类别A所对应的人数除以样本容量即可求出抽到A类学生的概率；
（3）用2000乘以藏书不少于76本的概率即可得出答案.
【详解】（1）调查的样本容量为50÷25%＝200（人），
a＝200﹣20﹣50﹣66＝64（人），
故答案为200，64；
（2）刚好抽到A类学生的概率是20÷200＝0.1，
故答案为 0.1；
（3）全校学生中家庭藏书不少于76本的人数：2000×＝660（人）．
答：全校学生中家庭藏书不少于76本的人数为660人．
【点睛】
本题主要考查随机事件的概率，用样本估计总体等，能够对统计表和扇形统计图结合是解题的关键.
25、（1）y=100x（的整数） y=x(的整数);（2）购买22件时，该网站获利最多,最多为1408元.
【分析】（1）根据题意可得出销售量乘以每台利润进而得出总利润；
（2）根据一次函数和二次函数的性质求得最大利润.
【详解】（1）当的整数时，
y与x的关系式为y=100x；
当的整数时，
，
y= (的整数),
∴y与x的关系式为：
y=100x（的整数）, y=x(的整数)
（2）当（的整数），y=100x,
当x=10时，利润有最大值y=1000元；
当10˂x≤30时，y=,
∵a=-3<0,抛物线开口向下，
∴y有最大值，
当x=时，y取最大值，
因为x为整数，根据对称性得：当x=22时，y有最大值=1408元˃1000元，所以顾客一次性购买22件时，该网站获利最多.
【点睛】
本题考查分段函数及一次函数和二次函数的性质，利用函数性质求最值是解答此题的重要途径，自变量x的取值范围及取值要求是解答此题的关键之处.
26、（1）见解析
（2）公平，理由见解析
【分析】（1）用列表法将所有等可能的结果一一列举出来即可；
（2）求得两人获胜的概率，若相等则公平，否则不公平．
【详解】解：（1）根据题意列表得：
（2）由列表得：共16种情况，其中奇数有8种，偶数有8种，
∴和为偶数和和为奇数的概率均为 ，
∴这个游戏公平．
点评：本题考查了游戏公平性及列表与列树形图的知识，难度不大，是经常出现的一个知识点．
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