千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第12炼-复合函数零点问题.doc

第二章 第12炼 复合函数零点问题 函数及其性质
第12炼 复合函数零点问题
一、基础知识：
1、复合函数定义：设，，且函数的值域为定义域的子集，那么通过的联系而得到自变量的函数，称是的复合函数，记为
2、复合函数函数值计算的步骤：求函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知，计算
解：
3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出的值。例如：已知，，若，求
解：令，则解得
当，则
当，则
综上所述：
由上例可得，要想求出的根，则需要先将视为整体，先求出的值，再求对应的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：
4、函数的零点：设的定义域为，若存在，使得，则称为的一个零点
5、复合函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使得等式成立；第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数
6、求解复合函数零点问题的技巧：
（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像
（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围
复合函数：
二、典型例题
例1：设定义域为的函数 ，若关于的方程由3个不同的解，则______
思路：先作出的图像如图：观察可发现对于任意的，满足的的个数分别为2个（）和3个（），已知有3个解，从而可得必为 的根，而另一根为或者是负数。所以，可解得：，所以
答案：5
例2：关于的方程的不相同实根的个数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
思路：可将视为一个整体，即，则方程变为可解得：或，则只需作出的图像，然后统计与与的交点总数即可，共有5个
答案：C
例3：已知函数，关于的方程（）恰有6个不同实数解，则的取值范围是 ．
思路：所解方程可视为，故考虑作出的图像：， 则的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有，所以，解得
答案：
例4：已知定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实数根个数为（ ）
A. B. C. D.
思路：已知方程可解，得，只需统计与的交点个数即可。由奇函数可先做出的图像，时，，则的图像只需将的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点
答案：B
小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。
例5：若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
思路：由极值点可得：为 ①的两根，观察到方程①与结构完全相同，所以可得的两根为，其中，若，可判断出是极大值点，是极小值点。且，所以与有两个交点，而与有一个交点，共计3个；若，可判断出是极小值点，是极大值点。且，所以与有两个交点，而与有一个交点，共计3个。综上所述，共有3个交点
答案：A
例6：已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
思路：考虑通过图像变换作出的图像（如图），因为最多只能解出2个，若要出七个根，则，所以，解得：
答案：B
例7：已知函数，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
思路：，分析的图像以便于作图，时，，从而在单调递增，在单调递减，，且当，所以正半轴为水平渐近线；当时，，所以在单调递减。由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则关于的方程中，，从而将问题转化为根分布问题，设，则的两根，设，则有，解得
答案：C
小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例8：已知函数，则下列关于函数的零点个数判断正确的是（ ）
A. 当时，有4个零点；当时，有1个零点
B. 当时，有3个零点；当时，有2个零点
C. 无论为何值，均有2个零点
D. 无论为何值，均有4个零点
思路：所求函数的零点，即方程的解的个数，先作出的图像，直线为过定点的一条直线，但需要对的符号进行分类讨论。当时，图像如图所示，先拆外层可得，而有两个对应的，也有两个对应的，共计4个；当时，的图像如图所示，先拆外层可得，且只有一个满足的，所以共一个零点。结合选项，可判断出A正确
答案：A

例9：已知函数，则方程（为正实数）的实数根最多有___________个
思路：先通过分析的性质以便于作图，，从而在单增，在单减，且，为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取能对应较多的情况，由图像可得，当时，每个可对应3个。只需判断中，能在取得的值的个数即可，观察图像可得，当时，可以有2个，从而能够找到6个根，即最多的根的个数
答案：6个

例10：已知函数和在的图像如下，给出下列四个命题：
（1）方程有且只有6个根
（2）方程有且只有3个根
（3）方程有且只有5个根
（4）方程有且只有4个根

则正确命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出的总数。
（1）中可得，进而有2个对应的 ，有3个，有2个，总计7个，（1）错误；
（2）中可得，进而有1个对应的，有3个，总计4个，（2）错误；
（3）中可得，进而有1个对应的 ，有3个，有1个，总计5个，（3）正确；
（4）中可得：，进而有2个对应的 ，有2个，共计4个，（4）正确
则综上所述，正确的命题共有2个
答案：B 3、通过活动，使学生养成博览群书的好习惯。
B比率分析法和比较分析法不能测算出各因素的影响程度。√
C采用约当产量比例法，分配原材料费用与分配加工费用所用的完工率都是一致的。Ｘ
C采用直接分配法分配辅助生产费用时，应考虑各辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的情况。错
C产品的实际生产成本包括废品损失和停工损失。√
C成本报表是对外报告的会计报表。×
C成本分析的首要程序是发现问题、分析原因。×
C成本会计的对象是指成本核算。×
C成本计算的辅助方法一般应与基本方法结合使用而不单独使用。√
C成本计算方法中的最基本的方法是分步法。X
D当车间生产多种产品时，“废品损失”、“停工损失”的借方余额，月末均直接记入该产品的产品成本
中。×
D定额法是为了简化成本计算而采用的一种成本计算方法。×
F“废品损失”账户月末没有余额。√
F废品损失是指在生产过程中发现和入库后发现的不可修复废品的生产成本和可修复废品的修复费用。Ｘ
F分步法的一个重要特点是各步骤之间要进行成本结转。(√)
G各月末在产品数量变化不大的产品，可不计算月末在产品成本。错
G工资费用就是成本项目。(×)
G归集在基本生产车间的制造费用最后均应分配计入产品成本中。对
J计算计时工资费用，应以考勤记录中的工作时间记录为依据。(√)
J简化的分批法就是不计算在产品成本的分批法。(×)
J简化分批法是不分批计算在产品成本的方法。对
J加班加点工资既可能是直接计人费用，又可能是间接计人费用。√
J接生产工艺过程的特点，工业企业的生产可分为大量生产、成批生产和单件生产三种，X
K可修复废品是指技术上可以修复使用的废品。错
K可修复废品是指经过修理可以使用，而不管修复费用在经济上是否合算的废品。Ｘ
P品种法只适用于大量大批的单步骤生产的企业。×
Q企业的制造费用一定要通过“制造费用”科目核算。Ｘ
Q企业职工的医药费、医务部门、职工浴室等部门职工的工资，均应通过“应付工资”科目核算。Ｘ
S生产车间耗用的材料，全部计入“直接材料”成本项目。Ｘ
S适应生产特点和管理要求，采用适当的成本计算方法，是成本核算的基础工作。(×)
W完工产品费用等于月初在产品费用加本月生产费用减月末在产品费用。对
Y“预提费用”可能出现借方余额，其性质属于资产，实际上是待摊费用。对
Y引起资产和负债同时减少的支出是费用性支出。X
Y以应付票据去偿付购买材料的费用，是成本性支出。X
Y原材料分工序一次投入与原材料在每道工序陆续投入，其完工率的计算方法是完全一致的。Ｘ
Y运用连环替代法进行分析，即使随意改变各构成因素的替换顺序，各因素的影响结果加总后仍等于指标的总差异，因此更换各因索替换顺序，不会影响分析的结果。(×)
Z在产品品种规格繁多的情况下，应该采用分类法计算产品成本。对
Z直接生产费用就是直接计人费用。X
Z逐步结转分步法也称为计列半成品分步法。√

A按年度计划分配率分配制造费用，“制造费用”账户月末(可能有月末余额/可能有借方余额/可能有贷方余额/可能无月末余额)。
A按年度计划分配率分配制造费用的方法适用于(季节性生产企业)