资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．抛物线y=(x-3)2+4的顶点坐标是（ ）
A．(-1，2) B．(-1，-2) C．(1，-2) D．(3，4)
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
3．一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是()
A． B． C． D．
4．以下事件为必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数小于6
B．多边形的内角和是
C．二次函数的图象不过原点
D．半径为2的圆的周长是4π
5．二次函数图象如图，下列结论正确的是（ ）
A． B．若且，则
C． D．当时，
6．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：
①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．我校小伟同学酷爱健身，一天去爬山锻炼，在出发点C处测得山顶部A的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，在山的另一边有一点B（B、C、D同一水平线上），斜坡AB的坡度为2：1，且AB长为900，其中小伟走平路的速度为65.7米/分，走上坡路的速度为42.3米/分．则小伟从C出发到坡顶A的时间为（ ）（图中所有点在同一平面内≈1.41，≈1.73）
A．60分钟 B．70分钟 C．80分钟 D．90分钟
8．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ ）
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
9．在数轴上表示不等式﹣2≤x＜4，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为(1，0)，(3，2)，连接AB，将线段AB平移后得到线段A'B'，点A的对应点A' 坐标为(2，1)，则点B' 坐标为（ ）
A．(4，2) B．(4，3) C．(6，2) D．( 6，3)
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A．或 B． C． D．或
12．如图，在平面直角坐标系内，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点F在BA上，点B、E均在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，若点B的坐标为(1，6)，则正方形ADEF的边长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图所示，在中，，将绕点旋转，当点与点重合时，点落在点处，如果，，那么的中点和的中点的距离是______.
14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，反比例函数的图象经过线段OA的中点B，则k=_____．
15．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是75°、45°，则∠1的度数为_____.
16．已知扇形半径为5cm，圆心角为60°，则该扇形的弧长为________cm．
17．已知二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为：_____.
18．在矩形中，，以点为圆心，为半径的圆弧交于点，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分的面积为：__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知，如图，△ABC中，AD是中线，且CD2＝BE·BA．求证：ED·AB＝AD·BD．
20．（8分）解方程:.
21．（8分）如图,在中, ,,于点, 是上的点, 于点, ,交于点.
（1）求证: ;
（2）当的面积最大时,求的长.
22．（10分）如图，在矩形中，，点在直线上，与直线相交所得的锐角为60°.点在直线上，，直线，垂足为点且，以为直径，在的左侧作半圆，点是半圆上任一点.
发现：的最小值为_________，的最大值为__________，与直线的位置关系_________.
思考：矩形保持不动，半圆沿直线向左平移，当点落在边上时，求半圆与矩形重合部分的周长和面积.
23．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，AE⊥BD，垂足为E.
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）若 AD＝25，BC＝32，求线段AE的长．
24．（10分）为支持大学生勤工俭学，市政府向某大学生提供了万元的无息贷款用于销售某种自主研发的产品，并约定该学生用经营的利润逐步偿还无息贷款，已知该产品的生产成本为每件元．每天还要支付其他费用元．该产品每天的销售量件与销售单价元关系为．
（1）设每天的利润为元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润为多少元？注：每天的利润每天的销售利润一每天的支出费用
（2）若销售单价不得低于其生产成本，且销售每件产品的利润率不能超过，则该学生最快用多少天可以还清无息贷款？
25．（12分）若，且2a－b＋3c＝21.试求a∶b∶c.
26．一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标注数字1，2，3，每个小球除所标注数字不同外，其余均相同．小勇先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再次从口袋中随机摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小勇两次摸出的小球所标数字之和为3的概率．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】根据抛物线解析式y=(x-3)2+4,可直接写出顶点坐标.
【详解】y=(x-3)2+4的顶点坐标是(3，4).
故选D.
【点睛】
此题考查了二次函数y=a(x-h)2+k的性质，对于二次函数y=a(x-h)2+k，顶点坐标是(h，k)，对称轴是x=k.
2、C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【详解】A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确；
D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3、B
【解析】根据题中给出的函数图像结合一次函数性质得出a＜0，b＞0，再由反比例函数图像性质得出c＜0，从而可判断二次函数图像开口向下，对称轴：＞0，即在y轴的右边，与y轴负半轴相交，从而可得答案.
【详解】解：∵一次函数y=ax+b图像过一、二、四，
∴a＜0，b＞0，
又∵反比例 函数y=图像经过二、四象限，
∴c＜0，
∴二次函数对称轴：＞0，
∴二次函数y=ax2+bx+c图像开口向下，对称轴在y轴的右边，与y轴负半轴相交，
故答案为B.
【点睛】
本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
4、D
【分析】必然事件是指一定会发生的事件，概率为1，根据该性质判断即可．
【详解】掷一枚质地均匀的骰子，每一面朝上的概率为，而小于6的情况有5种，因此概率为，不是必然事件，所以A选项错误；
多边形内角和公式为，不是一个定值，而是随着多边形的边数n的变化而变化，所以B选项错误；
二次函数解析式的一般形式为，而当c=1时，二次函数图象经过原点，因此不是必然事件，所以C选项错误；
圆周长公式为，当r=2时，圆的周长为4π，所以D选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了必然事件的概念，关键是根据不同选项所包含的知识点的概念进行判断对错；必然事件发生的概率为1，随机事件发生的概率为1<P<1，不可能事件发生的概率为1．
5、D
【分析】根据二次函数的图象得到相关信息并依次判断即可得到答案.
【详解】由图象知：a<0，b>0，c>0，，∴abc<0，故A选项错误；
若且，∴对称轴为，故B选项错误；
∵二次函数的图象的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点的横坐标小于3，
∴与x轴的另一个交点的横坐标大于-1，
当x=-1时，得出y=a-b+c<0，故C选项错误；
∵二次函数的图象的对称轴为直线x=1，开口向下，
∴函数的最大值为y=a+b+c，
∴，
∴，故D选项正确，
故选：D.
【点睛】
此题考查二次函数的图象，根据函数图象得到对应系数的符号，并判断代数式的符号，正确理解二次函数图象与系数的关系是解题的关键.
6、D
【解析】如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴=，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故选D．
7、C
【分析】如图，作AP⊥BC于P，延长AH交BC于Q，延长EF交AQ于T．想办法求出AQ、CQ即可解决问题．
【详解】解：如图，作AP⊥BC于P，延长AH交BC于Q，延长EF交AQ于T．
由题意：＝2，AQ＝AH+FG+DE，CQ＝CD+EF+GH，∠AQP＝45°，
∵∠APB＝90°，AB＝900，
∴PB＝900，PA＝1800，
∵∠PQA＝∠PAQ＝45°，
∴PA＝PQ＝1800，AQ＝PA＝1800，
∵∠C＝30°，
∴PC＝PA＝1800，
∴CQ＝1800﹣1800，
∴小伟从C出发到坡顶A的时间＝ ≈80（分钟），
故选：C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
8、A
【分析】设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】解：设获得的利润为y元，由题意得：
∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地写出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键．
9、A
【分析】根据不等式的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：在数轴上表示不等式﹣2≤x＜4的解集为：
故选：A．
【点睛】
此题主要考查不等式解集的表示，解题的关键是熟知不等式解集的表示方法．
10、B
【分析】根据点A的坐标变化可以得出线段AB是向右平移一个单位长度，向上平移一个单位长度，然后即可得出点B' 坐标.
【详解】∵点A (1，0)平移后得到点A' (2，1)，
∴向右平移了一个单位长度，向上平移了一个单位长度，
∴点B (3，2)平移后的对应点B' 坐标为(4，3).
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了直角坐标系中线段的平移，熟练掌握相关方法是解题关键.
11、D
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点B′的坐标．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．
故选D．
【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
12、B
【分析】由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，设正方形ADEF的边长为a，由此即可表示出点E的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】∵点B的坐标为(1，1)，反比例函数y的图象过点B，
∴k=1×1=1．
设正方形ADEF的边长为a(a＞0)，
则点E的坐标为(1+a，a)．
∵反比例函数y的图象过点E，
∴a(1+a)=1，
解得：a=2或a=﹣3(舍去)，
∴正方形ADEF的边长为2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及正方形的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出关于a的一元二次方程是解答本题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、4
【分析】设，在中，，得.由勾股定理，再求AM,AB,证，.得，，可得.
【详解】如图所示，
，是的中点，，
，.
设，
在中，，
.
，
.
，.
，，，可得，
同理可证.
，
，
.
故答案为：4
【点睛】
考核知识点：解直角三角形.构造直角三角形，利用三角形相关知识分析问题是关键.
14、-2
【解析】由A，B是OA的中点，点B的坐标，把B的坐标代入关系式可求k的值．
【详解】∵A（-4，2），O（0，0），B是OA的中点，
∴点B（-2，1），代入得：
∴
故答案为：-2
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及线段中点坐标公式；根据中点坐标公式求出点B坐标，代入求k的值是本题的基本方法．
15、15°
【分析】根据圆周角和圆心角的关系解答即可．
【详解】解：由图可知，∠AOB＝75°﹣45°＝30°，
根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可知，
∠1＝∠AOB＝×30°＝15°．
故答案为15°
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
16、
【分析】直接利用弧长公式进行计算．
【详解】解：由题意得：=,
故答案是：
【点睛】
本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键．
17、
【解析】依题意得二次函数y=的对称轴为x=-1,与x轴的一个交点为(-3,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为（-1）×2-（-3）=1，
∴交点坐标为(1，0)
∴当x=1或x=-3时，函数值y=0，
即，
∴关于x的一元二次方程的解为x1=−3或x2=1.
故答案为：.
点睛：本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次凹函数图象，根据图象提取有用条件来解答，这样可以降低题的难度，从而提高解题效率.
18、
【分析】首先利用三角函数求的∠DAE的度数，然后根据S阴影=S扇形AEF−S△ADE即可求解．
【详解】解：∵，AE=AB，
∴AD=2,DE==2，
∴Rt△ADE中，cos∠DAE==，
∴∠DAE=60°，
则S△ADE=AD⋅DE=×2×2=2，S扇形AEF==，
则S阴影=S扇形AEF−S△ADE=-2．
故答案为．
【点睛】
本题考查了扇形的面积公式和三角函数，求的∠DAE的度数是关键．
三、解答题（共78分）
19、证明见解析
【解析】试题分析：由AD是中线以及CD2＝BE·BA可得，从而可得△BED∽△BDA，根据相似三角形的性质问题得证.
试题解析：∵AD是中线，∴BD＝CD，又CD2＝BE·BA，
∴BD2＝BE·BA，即 ，
又∠B＝∠B，
∴△BED∽△BDA，
∴，
∴ED·AB＝AD·BD.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得到△BED∽△BDA是解决本题的关键.
20、,
【分析】先移项，再提公因式，利用因式分解法求解即可.
【详解】解:移项，得 (x+1) ²-(5x+5)=0
提取公因式，得 (x+1)(x+1-5)=0
所以有，x+1=0 或者 x+1-5=0
所以,.
【点睛】
本题考查了分解因式法解一元二次方程，有多种解法，可用自己熟悉的来解.
21、（1）见解析；（2）5
【分析】（1）根据相似三角形的判定方法即可求；
（2）设，的面积为，由等腰三角形性质和平行线分线段成比例，可求出，再根据的面积可以得出关于的函数关系式，由二次函数性质可得的面积为最大时的值即可．
【详解】解：（1）证明： ，，
，
，
．
（2）解：设，则，
∵，，，
∴，
在Rt△ABG中，，
∵
∴，即，
∴，
，
，即
，
的面积
当的面积最大时，，即的长为．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，可利用数形结合思想根据题目提供的条件转化为函数关系式．
22、, 10 , ；,.
【分析】发现：先依据勾股定理求得AO的长，然后由圆的性质可得到OM=1，当点M在AO上时，AM有最小值，当点M与点E重合时，AM有最大值，然后过点B作BG⊥l，垂足为G，接下来求得BG的长，从而可证明四边形OBGF为平行四边形，于是可得到OB与直线1的位置关系．
思考：连结OG，过点O作OH⊥EG，依据垂径定理可知GE=2HE，然后在△EOH中，依据特殊锐角三角函数值可求得HE的长，从而得到EG的长，接下来求得∠EOG得度数，依据弧长公式可求得弧EG的长，利用扇形面积减去三角形面积即可得到面积.
【详解】解：发现：由题意可知OM=OF=1，AF=8，EF⊥l，
∴OA=．
当点M在线段OA上时，AM有最小值，最小值为=．
当点M与点E重合时，AM有最大值，最大值=．
如图1所示：过点B作BG⊥l，垂足为G．
∵∠DAF=60°，∠BAD=90°，
∴∠BAG=10°．
∴GB=AB=1．
∴OF=BG=1，
又∵GB∥OF，
∴四边形OBGF为平行四边形，
∴OB∥FG，即OB∥l．
故答案为：，10，；
思考：如图2所示：连结，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
弧的长，
∴半圆与矩形重合部分的周长，
∴
.
【点睛】
本题考查了求弓形的周长和面积，考查了弧长公式，垂径定理，10°直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握题意，得到重合的图形是弓形，利用所学的知识求出弓形的周长和面积.注意了利用数形结合的思想进行解题.
23、（1）证明见解析；（2）1
【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD=∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB=∠DBC，由此可得∠ABD=∠DBC，又因为∠AEB=∠C=90°，所以可证△ABE∽△DBC；
（2）由等腰三角形的性质可知，BD=2BE，根据△ABE∽△DBC，利用相似比求BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE即可．
【详解】（1）证明：∵AB=AD=25，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠C=90°，
∴△ABE∽△DBC；
（2）解：∵AB=AD，又AE⊥BD，
∴BE=DE，
∴BD=2BE，
由△ABE∽△DBC，
得 ，
∵AB=AD=25，BC=32，
∴ ，
∴BE=20，
∴AE==1．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质及勾股定理解题．
24、（1）当销售单价定为25元时，日销售利润最大为200元；（2）该生最快用100天可以还清无息贷款．
【分析】（1）计算利润=销量×每件的利润-支付的费用，化为顶点式，可得结论；
（2）先得出每日利润的最大值，即可求解．
【详解】(1)
∵＜0，
∴当x=25时，日利润最大，为200元，
∴当销售单价定为25元时，日销售利润最大为200元；
(2) 由题意得：，
解得：，
，
∵＜0，
∴抛物线开口向下，当时，随的值增大而增大，
∴当x=15时，日利润最大为100元，
∵10000100=100，
∴该生最快用100天可以还清无息贷款．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
25、4∶8∶7.
【解析】试题分析：首先设等式为m，然后分别将a、b、c用含m的代数式来进行表示，根据2a-b+3c=21求出m的值，从而得出a、b、c的值，最后求出比值．
试题解析：令＝＝＝m，则a＋2=3m，b=4m，c＋5=6m，
∴a=3m－2，b=4m，c=6m－5， ∵2a－b＋3c=21，
∴2(3m－2)－4m＋3(6m－5)=21， 即20m=40，解得m=2，
∴a=3m－2=4，b=4m=8，c=6m－5=7， ∴a∶b∶c=4∶8∶7.
26、树状图见详解，
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次摸出的小球所标数字之和为3的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的小球所标数字之和为3的结果数为2，
所以两次摸出的小球所标数字之和为3的概率＝．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率
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