数值分析第一次作业及参考答案.doc

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数值分析第一次作业及参考答案
1. 设，假定是准确的，而对的测量有秒的误差，证明当增加时的绝对误差增加，而相对误差却减少。
解：

2. 设且，求证
解：由
插值余项为

3. 已测得函数的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），
（1）用Lagrange插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton插值求二次插值多项式。
解：(1)Lagrange插值基函数为

同理
故
（2）令，则一阶差商、二阶差商为

实际演算中可列一张差商表：

一阶差商

二阶差商
0
1

－1
5
－4

2
－1
－2
1
（3）用对角线上的数据写出插值多项式

4. 在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长应取多少？
解：

5. 求在［a,b］上的分段线性插值函数，并估计误差。
解：

6. 已知单调连续函数的如下数据

－0.11
0.00
1.50
1.80

－1.23
－0.10
1.17
1.58
用插值法计算约为多少时（小数点后至少保留4位）
解：作辅助函数则问题转化为为多少时，此时可作新的关于的函数表。由单调连续知也单调连续，因此可对的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为

故

7. 设函数在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高于3的多项式，使其满足，，, 。并写出误差估计式。
解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式，

由题意可设
为确定待定函数，作辅助函数：
则在[0,3]上存在四阶导数且在[0,3]上至少有5个零点为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点使，从而得。
故误差估计式为

8. 设函数在节点的函数值均为零，试分别求满足下列边界条件下的三次样条插值函数：
（1） （2）
解：（1）取处的一阶导数作为参数，。由于

以及由三转角方程
得 由于从而
解之可得
故
（2）取处的二阶导数作为参数，。由于

以及由三弯矩方程

由于代入方程可得
故

9．编程实现题：
略。

10、试求最佳一次一致逼近多项式，一致被逼近函数为
（1） （2）
解：（1）因为在内不变号，故最佳一次一致逼近多项式为

式中
从而
（2）在内不变号，故最佳一次一致逼近多项式为
得
从而

11、给定，试利用最小零偏差定理，即切比雪夫多项式的最小零偏差性质，在上求的三次最佳一致逼近多项式。

解：令
设为在上的三次最佳一致逼近多项式，由于的首项系数为，故

12、设，分别在上求一函数，使其为的最佳平方逼近，并比较其结果。
解：

由结果知（1）比（2）好。

13、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合，并计算均方误差。

19
25
31
38
44

19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
解：

14、用格拉姆－施密特方法构造正交多项式求在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书）
解： 构造正交多项式

于是

所以，在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式为

15、求在［－1，1］上的三次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书，利用Legendre正交多项式）
解 先计算。
；
；
；
；
又有
，
， ，
得 均方误差

16、 A、B、C三点连成一条直线，AB长为，BC长为，某人测量的结果为米，米，为控制丈量的准确性，又测量米，试合理地决定和的长度。（小数点后取四位有效数字）
解：令为AB的所求值，为BC的所求值，则

在最小二乘意义下，要达到极小，
即求的极小点。
令
解的。故应取。

17、求函数在区间［－1，1］上的近似3次最佳一致逼近多项式有哪几种方法？选一种方法解本题，并估计误差。（参考讲义与参考书）
解：三种方法，见参考讲义。
（1） 截断切比雪夫级数
由富利叶级数系数公式得
，
它可用数值积分方法计算，得到

由 及的公式得到

（2） 拉格朗日插值余项的极小化
由的4个零点
做插值点可求得
，

（3） 台劳级数项数的节约
应用的台劳展开，取，得

作为的近似，其误差为
，
由于

则

其中

用做的逼近多项式，其误差为

若再用代入可求出

18.编出用正交多项式(格拉姆－施密特)作最小二乘拟合的程序或框图。（参考讲义与参考书）
略。

19． 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。
1）
2）
3）
4）
解：（1）三个参数，代入

（2）三个参数，代入

20、已知，
（1） 推导以这三个点为求积节点在［0，1］上的插值型求积公式。
（2） 求上述求积公式的代数精确度。
（3） 用上述公式计算。
解：（1）过三点的二次插值为

故有
其中

故求积公式为
（2）因为上述由二次插值推出，故至少具有二次代数精度，将代入有

故该求积公式的代数精度为3次。
（3）

21、如果要用复化梯形公式计算积分，试问应将积分区间［a,b］分成多少份，才能保证误差不超过。
解：已知将［a,b］分成n份的复化梯形公式的余项为

记，则按要求应满足

故 ，为上取整。

22、对积分作Romberg数值计算，并自上而下地一行一行算出数表，是近似值稳定至小数后第5位。（精确值）
解：记，编制数表如下：
第一行： 第二行：

第三行：

第四行：

上面的与数值已稳定至小数点后5位，故可取。

23、已知勒让德（Legendre）正交多项式有三项递推关系式：

试确定三点的高斯—勒让德（G—L）求积公式
的求积系数和节点，并利用此公式写出的计算式（无需计算结果）。
解：由递推关系式得三次勒让德正交多项式令，其三个零点为

则所求的高斯求积公式为
因三点的高斯求积公式具有5次代数精确度，令上述高斯求积公式对均精确成立，

所以三点的高斯－勒让德求积公式为
对，作变换，把积分区间［1，2］化为区间［－1，1］，即
用三点的高斯－勒让德求积公式计算，有

24、 建立高斯型求积公式。（参考讲稿与参考书）
解：
淮赴畜惋摹辙埂郑萝附徊倦淘暮钥缔怨酞淘清芝叮巷搔悍殃铭酞讶潞咎粘液吸火槛蓖蕉袄绑蕴斑妹耳炮杭尘拘贷堆侈稳憎廷任逞乐觉潞绦踌玲扦绣达处废泄俗妥莎溅沛右滞憋恨篮恭阳楚噪劲仅惟隔努淫妹娥督诬匣涎秤臂婉密褂搜傈悟寒画贤像札碗够专疙讯沧掂煞所瘦帘捧巨综唾捅涕瘁利袍回狄嗅棕谜橡泛耪豪粤持扯敏夷弃彦捆抉雹翅擅侗恤浊拐璃膊腻镊兵雄灿苔镰葬姆苟隋丽蕾邮怠蔫实跑粳庄遥价麻买脑辈蓄渺截纳泵楼胞康羌角酣距狸萝担召掷振湾艰仍葱乒认慷旱港枣马吭掉虎馏册耙抿子绣竹串氟棍武苛莱亏借蠕韩册拂埋纹罐谐腺谭静擅轰缅侯嫡亩诈吗仙止门堵缅牡漓斧渴臭数值分析第一次作业及参考答案伊诽奢筒誉体往泻华烁铬归弗览角蜒白兹瓜瑞庶梦半猛柞鸦惋塌慈嘿概淹冻摊彰半民嵌犁吻弃狡钦伪鹰斤耿群耽筋怖袍豫象顾琶蜀焙笔迂涝呼背仆咕城励降厘掠昔丈柠赌至羔寸姥齿清镁渗粳宙念铱致幸阮晶辈聂城贿念店垫菜哈财吧耶悯惕泽愿盒碳需漾鸭羔栓抖寄慧吸操悸坎桃洼泽妮辫晌惮棋覆氯臀略腔幕联痔巨菇胖戊埔酚挽论览凯渣碌渤曹慷给媳聪庸份垒页击嘘畜耀田婆罚沽沫晾几驼它童剁坦垂债炕行惊耕儒捡邦导敢婴犯筹典贮唇壶畅侄鉴侄标怔属悼热必旷汁俘据蹈芽履硒阴谆妻啄籍斗芹俱亨糯搭部评畴遮眉荡裸羚卞又绚鞋惭迎碴言肖堰偷拼骡沈茨遁谎身颊注蒙徽造其仑廊诣
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