资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如下图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k,则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，函数，的图像与平行于轴的直线分别相交于两点，且点在点的右侧，点在轴上，且的面积为1，则（ ）
A． B．
C． D．
3．两相似三角形的相似比为，它们的面积之差为15，则面积之和是（ ）
A．39 B．75 C．76 D．40
4．如图,在中，是的直径,点是上一点，点是弧的中点，弦于点，过点的切线交的延长线于点，连接,分别交于点，连接．给出下列结论:①；②；③点是的外心；④．其中正确的是( )
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
5．在反比例函数的图象的每一个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＞0 C．k≥1 D．k＜1
6．如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．已知圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径r=6，若d是方程x2–x–6=0的一个根，则直线l与圆O的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交
C．相离 D．不能确定
8．若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．0＜k＜1 D．k≤1
9．如图，在中，，则AC的长为（ ）
A．5 B．8 C．12 D．13
10．已知一个几何体如图所示,则该几何体的主视图是( )
A． B．
C． D．
11．二次函数y＝x1+bx﹣t的对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x1+bx﹣t＝0在﹣1＜x＜3的范围内有实数解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣4≤t＜5 B．﹣4≤t＜﹣3 C．t≥﹣4 D．﹣3＜t＜5
12．若关于x的一元二次方程的两根是，则的值为( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若，那么△ABC的形状是___．
14．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是x =-2,x =4，则的值为________.
15．如图，在等腰中，，点是以为直径的圆与的交点，若，则图中阴影部分的面积为__________．
16．点是二次函数图像上一点，则的值为__________
17．一个三角形的三边之比为，与它相似的三角形的周长为，则与它相似的三角形的最长边为____________.
18．把一袋黑豆中放入红豆100粒，搅匀后取出100粒豆子，其中红豆5粒，则该袋中约有黑豆_______粒．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；
（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
20．（8分）如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2+bx+c过点B，并且顶点D的坐标为（﹣2，﹣1）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线与直线AB的另一个交点为F，点C是线段BF的中点，过点C作BF的垂线交抛物线于点P，Q，求线段PQ的长度；
（3）在（2）的条件下，点M是直线AB上一点，点N是线段PQ的中点，若PQ＝2MN，直接写出点M的坐标．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
22．（10分）如图，直线y=kx+b(b>0)与抛物线y=x2相交于点A（x1,y1),B(x2,y2)两点，与x轴正半轴相交于点D，于y轴相交于点C，设∆OCD的面积为S，且kS+8=0.
（1）求b的值.
（2）求证：点（y1,y2)在反比例函数y=的图像上.
23．（10分）如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，同时点从点出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点到达终点时，、同时停止运动，当点不与点、重合时，过点作于点，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为．
（1）①的长为______；
②的长用含的代数式表示为______；
（2）当为矩形时，求的值；
（3）当与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式．
24．（10分）已知二次函数（是常数）.
（1）当时，求二次函数的最小值；
（2）当，函数值时，以之对应的自变量的值只有一个，求的值；
（3）当，自变量时，函数有最小值为-10，求此时二次函数的表达式．
25．（12分）某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整．
（2）此次比赛有三名同学得满分，分别是甲、乙、丙，现从这三名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丙的概率．
26．抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），且，，与轴交于点，点的坐标为（0，-2），连接，以为边，点为对称中心作菱形.点是轴上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线与点，交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）轴上是否存在一点，使三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点在线段上运动时，试探究为何值时，四边形是平行四边形？请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】两对对应点的连线的交点即为位似中心，连接OD、AC，交点为（2，2，）即位似中心为（2，2，）；k=OA：CD=6：3=2，故选C．
2、A
【解析】根据△ABC的面积=•AB•yA，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．
【详解】设A(,m),B(,m)，
则：△ABC的面积=，
则a−b=1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质、反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，根据函数的特征设A、B两点的坐标是解题的关键．
3、A
【分析】由两相似三角形的相似比为，得它们的面积比为4：9，设它们的面积分别为4x，9x，列方程，即可求解.
【详解】∵两相似三角形的相似比为，
∴它们的面积比为4：9，
设它们的面积分别为4x，9x，则9x-4x=15，
∴x=3，
∴9x+4x=13x=13×3=39.
故选A.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键.
4、B
【分析】①由于与不一定相等，根据圆周角定理可判断①；
②连接OD，利用切线的性质，可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，可判断②；
③先由垂径定理得到A为的中点，再由C为的中点，得到，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，可判断③；
④正确．证明△APF∽△ABD，可得AP×AD=AF×AB，证明△ACF∽△ABC，可得AC2=AF×AB，证明△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ×CB，由此即可判断④；
【详解】解：①错误，假设，则，
，
，显然不可能，故①错误．
②正确．连接．
是切线，
，
，
，
，
，，
，
，故②正确．
③正确．，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，，
，
，
，
点是的外心．故③正确．
④正确．连接．
，，
，
，
，
，，
，
可得，
，，
，可得，
．故④正确，
故选：．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确现在在相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
5、A
【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范围．
【详解】解：根据题意，在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，
即可得k﹣1＞0，
解得k＞1．
故选A．
【点评】
本题考查了反比例函数的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
6、C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得，然后利用比例性质求EC和AE的值即可
【详解】∵，
∴，即，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】
此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出AE
7、B
【分析】先解方程求得d，根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系即可解题．
【详解】解方程：x2–x–6=0，即：,解得，或(不合题意，舍去)，
当时，，则直线与圆的位置关系是相交；
故选：B
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离和半径的大小关系．没有交点，则；一个交点，则；两个交点，则．
8、B
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】∵双曲线的图象的一支位于第三象限，∴k﹣1＞0，∴k＞1．
故选B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y（k≠0），当k＞0时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当k＜0时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
9、A
【分析】利用余弦的定义可知，代入数据即可求出AC.
【详解】∵
∴
故选A.
【点睛】
本题考查根据余弦值求线段长度，熟练掌握余弦的定义是解题的关键.
10、A
【分析】主视图是从物体正面看，所得到的图形．
【详解】该几何体的主视图是：
故选：A
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体正面看到的图，掌握定义是关键.
11、A
【解析】根据抛物线对称轴公式可先求出b的值，一元二次方程x1+bx﹣t＝0在﹣1＜x＜3的范围内有实数解相当于y＝x1﹣bx与直线y＝t的在﹣1＜x＜3的范围内有交点，即直线y＝t应介于过y＝x1﹣bx在﹣1＜x＜3的范围内的最大值与最小值的直线之间，由此可确定t的取值范围.
【详解】解：∵抛物线的对称轴x＝＝1，
∴b＝﹣4，
则方程x1+bx﹣t＝0，即x1﹣4x﹣t＝0的解相当于y＝x1﹣4x与直线y＝t的交点的横坐标，
∵方程x1+bx﹣t＝0在﹣1＜x＜3的范围内有实数解，
∴当x＝﹣1时，y＝1+4＝5，
当x＝3时，y＝9﹣11＝﹣3，
又∵y＝x1﹣4x＝（x﹣1）1﹣4，
∴当﹣4≤t＜5时，在﹣1＜x＜3的范围内有解．
∴t的取值范围是﹣4≤t＜5，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，一元二次方程
的解相当于 与直线y=k的交点的横坐标，解的数量就是交点的个数,熟练将二者关系进行转化是解题的关键.
12、A
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系即可求解.
【详解】由题意可得：
则
故选：A.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，对于一般形式，设其两个实数根分别为，则方程的根与系数的关系为：.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、等边三角形
【分析】由非负性和特殊角的三角函数值，求出∠A和∠B的度数，然后进行判断，即可得到答案．
【详解】解：，
∴，，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形；
故答案为：等边三角形．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，非负性的应用，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，正确得到∠A和∠B的度数．
14、-10
【解析】根据根与系数的关系得出-2+4=-m，-2×4=n，求出即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为x =-2,x =4，
∴−2+4=−m，−2×4=n，
解得：m=−2，n=−8，
∴m+n=−10，
故答案为：-10
【点睛】
此题考查根与系数的关系，掌握运算法则是解题关键
15、
【分析】取AB的中点O，连接OD，根据圆周角定理得出，根据阴影部分的面积扇形BOD的面积进行求解．
【详解】取AB的中点O，连接OD，∵在等腰中，，，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积扇形BOD的面积，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，扇形面积计算公式，通过作辅助线构造三角形与扇形是解题的关键．
16、1
【分析】把点代入即可求得值，将变形，代入即可．
【详解】解：∵点是二次函数图像上，
∴则．
∴
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键．
17、18cm．
【分析】由一个三角形的三边之比为3：6：4，可得与它相似的三角形的三边之比为3：6：4，又由与它相似的三角形的周长为39cm，即可求得答案．
【详解】解：∵一个三角形的三边之比为3：6：4，
∴与它相似的三角形的三边之比为3：6：4，
∵与它相似的三角形的周长为39cm，
∴与它相似的三角形的最长边为：39×=18（cm）．
故答案为：18cm．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意相似三角形的对应边成比例．
18、1
【分析】先根据取出100粒豆子，其中有红豆5粒，确定取出红豆的概率为5%，然后用100÷5%求出豆子总数,最后再减去红豆子数即可．
【详解】解：由题意得：取出100粒豆子，红豆的概率为5%，则豆子总数为100÷5%=2000粒，所以该袋中黑豆约有2000-100=1粒．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了用频率估计概率，弄清题意、学会用样本估计总体的方法是解答本题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）y＝x2﹣x﹣6；（2）点D的坐标为（，﹣5）；（3）△BCE的面积有最大值，点E坐标为（，﹣）．
【分析】（1）先求出点A，C的坐标，再将其代入y＝x2+bx+c即可；
（2）先确定BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，求出直线BC的解析式，再求出其与对称轴的交点即可；
（3）如图2，连接OE，设点E（a，a2﹣a﹣6），由式子S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC即可求出△BCE的面积S与a的函数关系式，由二次函数的图象及性质可求出△BCE的面积最大值，并可写出此时点E坐标．
【详解】解：（1）∵OA＝2，OC＝6，
∴A（﹣2，0），C（0，﹣6），
将A（﹣2，0），C（0，﹣6）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得，b＝﹣1，c＝﹣6，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣6；
（2）在y＝x2﹣x﹣6中，
对称轴为直线x＝，
∵点A与点B关于对称轴x＝对称，
∴如图1，可设BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，
而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，
在y＝x2﹣x﹣6中，
当y＝0时，x1＝﹣2，x2＝3，
∴点B的坐标为（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣6，
将点B（3，0）代入，
得，k＝2，
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6，
当x＝时，y＝﹣5，
∴点D的坐标为（，﹣5）；
（3）如图2，连接OE，
设点E（a，a2﹣a﹣6），
S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC
＝×6a+×3（﹣a2+a+6）﹣×3×6
＝﹣a2+a
＝﹣（a﹣）2+，
根据二次函数的图象及性质可知，当a＝时，△BCE的面积有最大值，
当a=时,
∴此时点E坐标为（，﹣）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合，难度适中，第三问解题关键是找出面积与a的关系式，再利用二次函数的图像与性质求最值.
20、（1）y＝x2+2x+1；（2）5；（3）M（，﹣）或（﹣，）
【分析】（1）先求出点B坐标，再将点D，B代入抛物线的顶点式即可；
（2）如图1，过点C作CH⊥y轴于点H，先求出点F的坐标，点C的坐标，再求出直线CM的解析式，最后可求出两个交点及交点间的距离；
（3）设M（m，﹣m+1），如图2，取PQ的中点N，连接MN，证点P，M，Q同在以PQ为直径的圆上，所以∠PMQ＝90°，利用勾股定理即可求出点M的坐标．
【详解】解：（1）在y＝﹣x+1中，
当x＝0时，y＝1，
∴B（0，1），
∵抛物线y＝ax2+bx+c过点B，并且顶点D的坐标为（﹣2，﹣1），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x+2）2﹣1，
将点B（0，1）代入，
得，a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝（x+2）2﹣1＝x2+2x+1；
（2）联立，
解得，或，
∴F（﹣5，），
∵点C是BF的中点，
∴xC＝＝﹣，yC＝＝，
∴C（﹣，），
如图1，过点C作CH⊥y轴于点H，
则∠HCB+∠CBH＝90°，
又∵∠MCH+∠HCB＝90°，
∴∠CBH＝∠MCH，
又∠CHB＝∠MHC＝90°，
∴△CHB∽△MHC，
∴＝，
即＝，
解得，HM＝5，
∴OM＝OH+MH＝+5＝，
∴M（0，），
设直线CM的解析式为y＝kx+，
将C（﹣，）代入，
得，k＝2，
∴yCM＝2x+，
联立2x+＝x2+2x+1，
解得，x1＝，x2＝﹣，
∴P（，5+），Q（﹣，﹣5+），
∴PQ＝＝5；
（3）∵点M在直线AB上，
∴设M（m，﹣m+1），
如图2，取PQ的中点N，连接MN，
∵PQ＝2MN，
∴NM＝NP＝NQ，
∴点P，M，Q同在以PQ为直径的圆上，
∴∠PMQ＝90°，
∴MP2+MQ2＝PQ2，
∴+ ＝（5）2，
解得，m1＝，m2＝﹣，
∴M（，﹣）或（﹣，）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，两点间的距离，勾股定理等，解题关键是需要有较强的计算能力．
21、（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为．
【分析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．
【详解】解：（1）连接OC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAE， ∴∠OAC=∠CAE，
∴∠OCA=∠CAE， ∴OC∥AE， ∴∠OCD=∠E，
∵AE⊥DE， ∴∠E=90°， ∴∠OCD=90°， ∴OC⊥CD，
∵点C在圆O上，OC为圆O的半径， ∴CD是圆O的切线；
（2）在Rt△AED中， ∵∠D=30°，AE=6， ∴AD=2AE=12，
在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，
∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，
∴CD=
∴S△OCD==8， ∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴∠DOC=60°， ∴S扇形OBC=×π×OC2=，
∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC ∴S阴影=8﹣，
∴阴影部分的面积为8﹣．
22、（1）b=4(b>0) ；（2）见解析
【分析】（1）根据直线解析式求OC和OD长，依据面积公式代入即可得；
（2）联立方程，根据根与系数的关系即可证明.
【详解】（1）∵D(0,b),C(-,0)
∴由题意得OD=b,OC= -
∴S=
∴k•()+8=0 ∴b=4(b>0)
（2）∵
∴
∴
∴
∴点（y1,y2)在反比例函数y=的图像上.
【点睛】
本题考查二次函数的性质及图象与直线的关系，联立方程组并求解是解答两图象交点问题的重要途径，理解图象与方程的关系是解答此题的关键.
23、（1）①3；②3t；（2）；（3）当0＜t≤时，S=-3t2+48t；当＜t＜3，S=t2−14t+1．
【分析】（1）①根据勾股定理即可直接计算AB的长；
②根据三角函数即可计算出PN；
（2）当▱PQMN为矩形时，由PN⊥AB可知PQ∥AB，根据平行线分线段成比例定理可得，即可计算出t的值．
（3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．▱PQMN在三角形内部时，Ⅱ．▱PQMN有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=2．
∴AB==3．
∴sin∠CAB＝，
由题可知AP=5t，
∴PN=AP•sin∠CAB=5t•=3t．
故答案为：①3；②3t．
（2）当▱PQMN为矩形时，∠NPQ=90°，
∵PN⊥AB，
∴PQ∥AB，
∴，
由题意可知AP=CQ=5t，CP=20-5t，
∴，
解得t=，
即当▱PQMN为矩形时t=．
（3）当▱PQMN△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，
Ⅰ．如解图（3）1所示．▱PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点，
由（1）题可知：cosA=sinB=，cosB=，AP=5t，BQ=2-5t，PN=QM=3t．
∴AN=AP•cosA=4t，BG=BQ•cosB=9-3t，QG=BQ•sinB=12-4t，
∵．▱PQMN在三角形内部时．有0＜QM≤QG，
∴0＜3t≤12-4t，
∴0＜t≤．
∴NG=3-4t-（9-3t）=16-t．
∴当0＜t≤时，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为▱PQMN，S与t之间的函数关系式为S=PN•NG=3t•（16-t）=-3t2+48t．
Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG＜QM，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQGN时，
即：0＜12-4t＜3t，解得：＜t＜3，
▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQGN的面积S=NG(PN+QG)= (16−t)(3t+12−4t)= t2−14t+1．
综上所述：当0＜t≤时，S=-3t2+48t．
当＜t＜3，S=t2−14t+1．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、矩形的性质、锐角三角函数等知识，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解．
24、 (1)当x=2时，；(2) b=±3； (3)或
【分析】（1）将代入并化简，从而求出二次函数的最小值；
（2）根据自变量的值只有一个，得出根的判别式 ，从而求出的值；
（3）当，对称轴为x=b，分b<1、、三种情况进行讨论，从而得出二次函数的表达式．
【详解】（1）当b=2，c=5时，
∴ 当x=2时，
（2） 当c=3，函数值时，
∴
∵对应的自变量的值只有一个，
∴ ，
∴ b=±3
（3） 当c=3b时，
∴ 抛物线对称轴为：x=b
① b<1时，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而增大，
∴ 当x=1时，y最小.
∴
∴ b=﹣11
② ，当x=b时， y最小.
∴
∴ ， （舍去）
③ 时，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而 减小，
∴当x=5时， y最小.
∴ ，
∴ b=5（舍去）
综上可得： b=﹣11或b=5
∴二次函数的表达式：或
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和应用，掌握根的判别式、二次函数的性质和解二次函数的方法是解题的关键．
25、（1）72，图详见解析；（2）．
【分析】（1）先画出条形统计图，再求出圆心角即可；
（2）先画出树状图，再求出概率即可．
【详解】（1）条形统计图为；
；
扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角是（1﹣15%﹣25%﹣40%）×360°＝72°，
故答案为：72；
（2）画树状图：
由树状图可知：所有等可能的结果有6种，其中符合条件的有2种，
所有P（甲、丙）＝＝，
即选中的两名同学恰好是甲、丙的概率是．
【点睛】
本题考查了树状图、条形统计图和扇形统计图等知识点，能画出条形图和树状图是解此题的关键．
26、（1）y=x2-x-2;（2）P的坐标为（，0）或（4+2，0）或（4-2，0）或（-4，0）;（3）m=1时.
【分析】（1）根据题意，可设抛物线表达式为，再将点C坐标代入即可；
（2）设点P的坐标为（m，0），表达出PB2、PC2、BC2，再进行分类讨论即可；
（3）根据“当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形”，用m的代数式表达出MQ=DC求解即可 .
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，
故可设抛物线的表达式为：，
将C（0，-2）代入得：-4a=-2，解得：a=
∴抛物线的解析式为：y=x2-x-2
（2）设点P的坐标为（m，0），
则PB2=（m-4）2，PC2=m2+4，BC2=20，
①当PB=PC时，（m-4）2= m2+4，解得：m=
②当PB=BC时，同理可得：m=4±2
③当PC=BC时，同理可得：m=±4（舍去4），
故点P的坐标为（，0）或（4+2，0）或（4-2，0）或（-4，0）；
（3）∵C（0，-2）
∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，2），
设直线BD的解析式为y=kx+2，又B（4，0）
解得k=-1，
∴直线BD的解析式为y=-x+2；
则点M的坐标为（m，-m+2），点Q的坐标为（m，m2-m-2）
当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形
∴-m+2-(m2-m-2）=2-(-2)
解得m=0(舍去）m=1
故当m=1时，四边形CQMD为平行四边形.
【点睛】
本题考查了二次函数与几何的综合应用，难度适中，解题的关键是灵活应用二次函数的性质与三角形、四边形的判定及性质.
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