结构力学位移法.ppt

结构结构 力学力学STRUCTUREMECHANICS南华大学建资学院道桥教研室.结 构 力 学 讲 授：刘华良课件制作：刘华良南华大学建资学院道桥教研室衡阳 2005年.第八章 位移法(DisplacementMethod).等截面直杆的物理方程位移法的基本概念位移法基本未知量数目的确定位移法的两种思路:位移法典型方程和直接平衡方程剪力静定杆的求算对称性的利用有侧移的斜柱刚架温度改变时的计算支座移动的计算本章小结本章小结弹性支座问题联合法和混合法课堂练习课堂练习内内 容容.求解超静定结构的两种最基本的方法：力法力法位移法位移法力法适用性广泛，解题灵活性较大。（可选用各种各样的基本结构）。位移法在解题上比较规范，具有通用性，因而计算机易于实现。位移法可分为：手算手算位移法位移法电算电算矩阵位移法矩阵位移法位移法的基本概念位移法的基本概念.力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同力法：以多余未知力多余未知力基本未知量位移法：以某些结点位移某些结点位移基本未知量.解题过程：超静定结构拆成基本结构加上某些条件原结构的变形协调条件（力法基本方程）力法：先求多余未知力结构内力结构位移力法和位移法的解题思路：.位移法：先求某些结点位移结构内力解题过程：结构拆成单根杆件的组合体加上某些条件1.杆端位移协调条件2.结点的平衡条件.适用范围：力法力法:超静定结构超静定结构位移法：位移法：超静定结构，也可用于静定结构。超静定结构，也可用于静定结构。一般用于结点少而杆件较多的刚架。一般用于结点少而杆件较多的刚架。例：.用位移法计算图示刚架。用位移法计算图示刚架。1.在受弯杆件中，略去杆在受弯杆件中，略去杆件的轴向变形和剪切变件的轴向变形和剪切变形的影响。形的影响。2.假定受弯杆两端之间的假定受弯杆两端之间的距离保持不变。距离保持不变。为了使问题简化，作如下为了使问题简化，作如下计算假定：计算假定：.由此可知，结点由此可知，结点1只有转角只有转角Z1，而无线位移，汇交，而无线位移，汇交于结点于结点1的两杆杆端也应有同样的转角的两杆杆端也应有同样的转角Z1。整个刚架的变形只要用未整个刚架的变形只要用未知转角知转角Z1来描述，来描述，如果能设如果能设法求得转角法求得转角Z1，即可求出刚，即可求出刚架的内力。架的内力。.为了求出为了求出Z1值，可先对原结构作些修改值，可先对原结构作些修改这样，原结构就被改造成两个单跨梁：这样，原结构就被改造成两个单跨梁：lB是两端固定梁，是两端固定梁，1A是一端固定、另端铰支梁。是一端固定、另端铰支梁。1A1B基本体系基本体系基本结构基本结构P.在基本结构上加上原来的力P，由于附加刚臂不允许结点1转动，此时只有梁lB发生变形，梁1A则不变形。此时附加刚臂中产生了反力矩R1P，反力矩规定以顺时反力矩规定以顺时针为正针为正。于是，基本结构与原结构就发生了差别，表现为：1由于加了约束，使结点1不能转动，而原来是能转动的。基本结构基本结构PR1P.2由于加了约束，产生了约束反力矩，而原来是没有这个约束反力矩的。为为了了消消除除基基本本结结构构与与原原结结构构的的差差别别，在在结结点点1的的附附加加约约束束上上人人为为地地加加上上一一个个外外力力矩矩R11，迫迫使使结结点点1正正好好转转动动了了一一个个转转角角Z1，于于是是变变形形复原到原先给定的结构。复原到原先给定的结构。R11Z1Z1.R11Z1Z1基本结构基本结构PR1P=+.结点结点1正好转动一个转角正好转动一个转角Z1时，所加的附加约束不再时，所加的附加约束不再起作用，其数学表达式为：起作用，其数学表达式为：R1=0 即外荷载和应有的转角即外荷载和应有的转角Z1共同作用于基本结构时，附共同作用于基本结构时，附加约束反力矩等于零。加约束反力矩等于零。根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加：根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加：R1R11R1P=0（a)R11为强制使结点发生转角Z1时所产生的约束反力矩。R1P为荷载作用下所产生的约束反力矩。.为了将式(a)写成未知量Z1的显式，将R11写为为单位转角（Z11）产生的约束反力矩。R11=r11Z1Z1=1.式（a）变为其物理意义是，基本结构由于转角基本结构由于转角Z1及外荷载共同作用，及外荷载共同作用，附加刚臂附加刚臂1处所产生的约束反力矩总和等于零。处所产生的约束反力矩总和等于零。由此方程可得可见，只要有了系数及自由项R1P，Z1值很容易求得。.为了确定上式中的R1P 和，可先用力法分别求出各用力法分别求出各单跨超静定梁单跨超静定梁在梁端、柱顶1处转动Z1=1时产生的弯矩图及外荷载作用下产生的弯矩图。.r11Z1=1.P1AR1PPMP图.现取图、MP图中的结点1为隔离体，由力矩平衡方程，求出：.将这些结果代入位移法基本方程中解方程，即得最后，根据叠加原理，即可求出最后弯矩图。.1.在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点固定，从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载；通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力和变形。和变形。综上所述，位移法的基本思路是：.人为地迫使原先被“固定”的结点恢复到结构原有的位移。.ABAB位位移移法法中中的的基基本本单单跨跨梁梁等截面直杆的物理方程.1.转角位移方程转角位移方程Slope-DeflectionEquation由线性小变形，由叠加原理可得由线性小变形，由叠加原理可得单跨超静定梁在荷载、单跨超静定梁在荷载、单跨超静定梁在荷载、单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动共同作用下温改和支座移动共同作用下温改和支座移动共同作用下温改和支座移动共同作用下xyP+t1t2符号规定符号规定:杆端弯矩杆端弯矩-绕杆端顺时针为正绕杆端顺时针为正杆端剪力杆端剪力-同前同前杆端转角杆端转角-顺时针为正顺时针为正杆端相对线位移杆端相对线位移-使杆轴顺时针转为正使杆轴顺时针转为正固端弯矩固端弯矩转角位移方程转角位移方程.其中：其中：称杆件的称杆件的线刚度线刚度。为由荷载和温度变化引起的为由荷载和温度变化引起的杆端弯矩，称为杆端弯矩，称为固端弯矩固端弯矩。转角位移方程转角位移方程(刚度方程刚度方程)Slope-Deflection(Stiffness)Equation.A A端固定端固定B B端铰支杆的端铰支杆的转角位移方程为转角位移方程为AB.A A端固定端固定B B端定向杆的端定向杆的转角位移方程为转角位移方程为.表示要熟记！表示要熟记！超静定单跨梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(1)形形形形载载形形=形常数形常数载载=载常数载常数.超静定单跨梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(2)载载载载载载.超静定单跨梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(3)载载载载载载.1超静定单跨梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(4)形形载载形形载载.超静定单跨梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(5)载载载载载载.超静定单跨梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(6)载载载载载载载载.超静定单跨梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(7)载载载载载载形形.超静定单跨梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(8)载载载载载载载载.超静定单跨梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(9)载载载载载载载载2.超静定单跨梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(10)载载载载载载.位移法基本未知量数目的确定基本未知量基本未知量基本未知量基本未知量:独立的独立的独立的独立的 结点位移结点位移结点位移结点位移.包括角位移和线位移包括角位移和线位移包括角位移和线位移包括角位移和线位移基本结构基本结构基本结构基本结构:增加附加约束后增加附加约束后增加附加约束后增加附加约束后,使得原结构的结点不能使得原结构的结点不能使得原结构的结点不能使得原结构的结点不能发生位移的结构发生位移的结构发生位移的结构发生位移的结构.典型方程法基本概念典型方程法基本概念n n位移未知量位移未知量(一些特殊情况以后结合例题讨一些特殊情况以后结合例题讨一些特殊情况以后结合例题讨一些特殊情况以后结合例题讨论论论论)结点位移包括角位移和线位移结点位移包括角位移和线位移结点位移包括角位移和线位移结点位移包括角位移和线位移 独立角位移独立角位移独立角位移独立角位移 n na a=刚结点数；刚结点数；刚结点数；刚结点数；独立线位移独立线位移独立线位移独立线位移 n nl l=?=?不考虑轴向变形时：不考虑轴向变形时：不考虑轴向变形时：不考虑轴向变形时：n nl l=刚结点刚结点刚结点刚结点 变成铰，为使铰结体系几变成铰，为使铰结体系几变成铰，为使铰结体系几变成铰，为使铰结体系几何不变所需加的支杆数。何不变所需加的支杆数。何不变所需加的支杆数。何不变所需加的支杆数。考虑轴向变形时：考虑轴向变形时：考虑轴向变形时：考虑轴向变形时：n nl l=结点数结点数结点数结点数 22约束数约束数约束数约束数 总未知量总未知量总未知量总未知量 n n=n na a+n+nl l 。手算时手算时手算时手算时电算时电算时电算时电算时.1.1.无侧移结构无侧移结构无侧移结构无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形刚架与梁不计轴向变形刚架与梁不计轴向变形刚架与梁不计轴向变形)基本未知量为所有刚结点的转角基本未知量为所有刚结点的转角基本未知量为所有刚结点的转角基本未知量为所有刚结点的转角 基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构Z Z1 1Z Z2 22.2.有侧移结构有侧移结构有侧移结构有侧移结构(刚架与梁不计轴向变形刚架与梁不计轴向变形刚架与梁不计轴向变形刚架与梁不计轴向变形)Z Z1 1Z Z2 2Z Z3 3.位移未知数确定举例位移未知数确定举例.位移未知数确定举例位移未知数确定举例.位移未知数确定举例位移未知数确定举例.位移未知数确定举例位移未知数确定举例.位移未知数确定举例位移未知数确定举例.位移未知数确定练习位移未知数确定练习.位移法的两种思路位移法典型方程直接按平衡条件建立位移法方程.位移法第一种基本思路位移法第一种基本思路 图示各杆长度为图示各杆长度为图示各杆长度为图示各杆长度为 l l,EIEI 等于常数等于常数等于常数等于常数,分布集度分布集度分布集度分布集度q q,集中力集中力集中力集中力F FP P ,力偶力偶力偶力偶MM.如何求解如何求解如何求解如何求解?qFPFPM力法未知数力法未知数个数为个数为3,3,但但独立位移独立位移 未知数只未知数只有一有一(A A 点点转角转角,设为设为 ).).FPFP.位移法第一种基本思路位移法第一种基本思路 在此基础上在此基础上在此基础上在此基础上,由图示结点平衡得由图示结点平衡得由图示结点平衡得由图示结点平衡得利用转角位移利用转角位移利用转角位移利用转角位移方程可得方程可得方程可得方程可得:.第一种基本思路第一种基本思路位移法思路位移法思路(平衡方程法平衡方程法)以某些结点的位移为基本未知量以某些结点的位移为基本未知量以某些结点的位移为基本未知量以某些结点的位移为基本未知量将结构拆成若干具有已知力将结构拆成若干具有已知力将结构拆成若干具有已知力将结构拆成若干具有已知力-位移位移位移位移(转角转角转角转角-位移位移位移位移)关系的单跨梁集合关系的单跨梁集合关系的单跨梁集合关系的单跨梁集合分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下的受力的受力的受力的受力将单跨梁拼装成整体将单跨梁拼装成整体将单跨梁拼装成整体将单跨梁拼装成整体用平衡条件消除整体和原结构的差别用平衡条件消除整体和原结构的差别用平衡条件消除整体和原结构的差别用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立建立建立建立和位移个数相等的方程和位移个数相等的方程和位移个数相等的方程和位移个数相等的方程求出基本未知量后求出基本未知量后求出基本未知量后求出基本未知量后,由单跨梁力由单跨梁力由单跨梁力由单跨梁力-位移关系可位移关系可位移关系可位移关系可得原结构受力得原结构受力得原结构受力得原结构受力.第二种基本思路第二种基本思路 图示各杆长度为图示各杆长度为图示各杆长度为图示各杆长度为 l l,EIEI 等于常数等于常数等于常数等于常数,分布集度分布集度分布集度分布集度q q,集中力集中力集中力集中力F FP P ,力偶力偶力偶力偶MM.如何求解如何求解如何求解如何求解?qFPFPMFPFP以以以以A A 点转角做点转角做点转角做点转角做基本未知量基本未知量基本未知量基本未知量,设设设设为为为为 .在在在在A A 施加施加施加施加限制转动的约限制转动的约限制转动的约限制转动的约束束束束,以如图所示以如图所示以如图所示以如图所示体系为基本体体系为基本体体系为基本体体系为基本体系系系系(基本结构的基本结构的基本结构的基本结构的定义和力法相定义和力法相定义和力法相定义和力法相仿仿仿仿).).).).第二种基本思路第二种基本思路利用利用“载常数载常数”可作可作图示荷载弯矩图图示荷载弯矩图利用利用“形常数形常数”可作可作图示单位弯矩图图示单位弯矩图根据两图结点平衡根据两图结点平衡根据两图结点平衡根据两图结点平衡可得附加约束反力可得附加约束反力可得附加约束反力可得附加约束反力.第二种基本思路第二种基本思路位移法思路位移法思路(典型方程法典型方程法)以位移为基本未知量以位移为基本未知量,先先“固定固定”（不产生（不产生任何位移）任何位移）考虑外因作用，由考虑外因作用，由“载常数载常数”得各杆受力得各杆受力,作弯矩图。作弯矩图。令结点产生单位位移（无其他外因），令结点产生单位位移（无其他外因），由由“形常数形常数”得各杆受力得各杆受力,作弯矩图。作弯矩图。两者联合原结构无约束，应无附加约束两者联合原结构无约束，应无附加约束反力（平衡）反力（平衡）.列方程可求位移。列方程可求位移。.基本思路基本思路典型方程法：典型方程法：仿力法，按确定基本未知量、仿力法，按确定基本未知量、仿力法，按确定基本未知量、仿力法，按确定基本未知量、基本结构，基本结构，基本结构，基本结构，研究基本体系在位移和外因下的研究基本体系在位移和外因下的研究基本体系在位移和外因下的研究基本体系在位移和外因下的“反反反反应应应应”，通过消除基本体系和原结构差别来建立位通过消除基本体系和原结构差别来建立位通过消除基本体系和原结构差别来建立位通过消除基本体系和原结构差别来建立位移法基本方程（平衡）的上述方法。移法基本方程（平衡）的上述方法。移法基本方程（平衡）的上述方法。移法基本方程（平衡）的上述方法。平衡方程法：平衡方程法：利用等直杆在外因和杆端位移利用等直杆在外因和杆端位移利用等直杆在外因和杆端位移利用等直杆在外因和杆端位移下由迭加所建立杆端位移与杆端力关系（转角下由迭加所建立杆端位移与杆端力关系（转角下由迭加所建立杆端位移与杆端力关系（转角下由迭加所建立杆端位移与杆端力关系（转角位移）方程位移）方程位移）方程位移）方程 由结点、隔离体的杆端力平衡建立求解位移由结点、隔离体的杆端力平衡建立求解位移由结点、隔离体的杆端力平衡建立求解位移由结点、隔离体的杆端力平衡建立求解位移未知量的方法。未知量的方法。未知量的方法。未知量的方法。.基本思路基本思路两种解法对比：两种解法对比：典型方程法和力法一样，直接对结构按统典型方程法和力法一样，直接对结构按统典型方程法和力法一样，直接对结构按统典型方程法和力法一样，直接对结构按统一格式处理。最终结果由迭加得到。一格式处理。最终结果由迭加得到。一格式处理。最终结果由迭加得到。一格式处理。最终结果由迭加得到。平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚，体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚，体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚，体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚，杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可得。得。得。得。位移法方程：位移法方程：两法最终方程都是两法最终方程都是两法最终方程都是两法最终方程都是平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程。整理后形式。整理后形式。整理后形式。整理后形式均为：均为：均为：均为：.2.平衡方程法建立位移法方程平衡方程法建立位移法方程1.转角位移方程转角位移方程Slope-DeflectionEquationEI=CPADBCDZ Z1 1=1=12i2i4i4i3iP3Pl/16.典型方程法基本概念典型方程法基本概念n n基本结构：基本结构：加约束加约束“无位移无位移”,能拆成已能拆成已知杆端力知杆端力-杆端位移关系杆端位移关系“单跨梁单跨梁”的超的超静定结构。静定结构。n n基本体系：基本体系：受外因和未知位移的基本受外因和未知位移的基本结构。结构。.典型方程法基本概念典型方程法基本概念n n基本方程：基本方程：外因和未知位移共同作用时外因和未知位移共同作用时,附加约附加约束没有反力束没有反力实质为平衡方程。实质为平衡方程。外因外因外因外因附加反力附加反力附加反力附加反力为零为零为零为零未知位移未知位移未知位移未知位移.典型方程法步骤典型方程法步骤n n确定独立位移未知量数目（隐含建立基本确定独立位移未知量数目（隐含建立基本体系，支杆只限制线位移，限制转动的约体系，支杆只限制线位移，限制转动的约束不能阻止线位移）束不能阻止线位移）n n作基本未知量分别等于单位时的单位弯矩作基本未知量分别等于单位时的单位弯矩图图n n作外因（主要是荷载）下的弯矩图作外因（主要是荷载）下的弯矩图n n由上述弯矩图取结点、隔离体求反力系数由上述弯矩图取结点、隔离体求反力系数.典型方程法步骤典型方程法步骤n n建立位移法典型方程并且求解：建立位移法典型方程并且求解：n n按迭加法作最终弯矩图按迭加法作最终弯矩图n n取任意部分用平衡条件进行校核取任意部分用平衡条件进行校核.例一例一:用位移法计算图示刚架用位移法计算图示刚架,并作弯矩图并作弯矩图.E=常数常数.单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下:熟记了熟记了“形、载形、载常数常数”吗？吗？如何求？如何求？.图图4i4i8i2i单位弯矩图为单位弯矩图为图图8i8i4i4i4i2i4i8i4i4i4i8i8i取结点考虑平衡取结点考虑平衡.荷载弯矩图荷载弯矩图图图取结点考虑平衡取结点考虑平衡.位移法典型方程：位移法典型方程：最终内力：最终内力：请自行作出请自行作出最终最终M图图.例二例二:用位移法计算图示刚架用位移法计算图示刚架,并作弯矩图并作弯矩图.E=常数常数.单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下:熟记了熟记了“形、载形、载常数常数”吗？吗？如何求？如何求？.4i6i6ik116i/lk12=k21k12=k21k21=k126i/lk223i/l23i/l212i/l2R1P由形、载常数可得单位和荷载弯矩图如下由形、载常数可得单位和荷载弯矩图如下:6i6i4i2i3i/l3i/l6i/lql2/8ql2/8R2P3ql/8取结点和横梁为隔离体，即可求得全部系数取结点和横梁为隔离体，即可求得全部系数请自行列方程、请自行列方程、请自行列方程、请自行列方程、求解并叠加作弯求解并叠加作弯求解并叠加作弯求解并叠加作弯矩图矩图矩图矩图.例三例三:图示等截面连续梁图示等截面连续梁,B支座下沉支座下沉,C支支座下沉座下沉0.6.EI等于常数等于常数,作弯矩图作弯矩图.单位弯矩和支座位移弯矩图的示意图如下单位弯矩和支座位移弯矩图的示意图如下:熟记了熟记了“形常数形常数”吗？吗？如何求？如何求？.单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下:例四例四:用位移法计算图示刚架用位移法计算图示刚架,并作弯矩图并作弯矩图.E=常数常数.4m熟记了熟记了“形常数形常数”吗？吗？40如何求？如何求？3EI/16.对于对于有侧移的斜柱刚架在计算上的特点是，确定基本结构发生线有侧移的斜柱刚架在计算上的特点是，确定基本结构发生线位移时与平行柱的区别位移时与平行柱的区别,见图见图a和图和图b。对于图对于图a，在单位线位移作用下，两平行柱的两端相对线位移数值相同，在单位线位移作用下，两平行柱的两端相对线位移数值相同，且都等于且都等于1，而横梁仅平行移动，其两端并无相对线位移，故不弯曲。而对于图，而横梁仅平行移动，其两端并无相对线位移，故不弯曲。而对于图b则就不同了，在单位线位移作用下，杆则就不同了，在单位线位移作用下，杆AB、CD的垂直线位移不等于的垂直线位移不等于1，水平杆，水平杆BC的两端产生了相对线位移，发生弯曲变形。因此，在非平行柱刚架中，在单的两端产生了相对线位移，发生弯曲变形。因此，在非平行柱刚架中，在单位线位移作用下：（位线位移作用下：（1）柱与横梁发生弯曲；（）柱与横梁发生弯曲；（2）各杆端垂直于杆轴线的相对线）各杆端垂直于杆轴线的相对线位移亦各不相同。位移亦各不相同。有侧移的斜柱刚架有侧移的斜柱刚架.如何确定对于如何确定对于斜柱刚架在当结点发生线位移时各杆两端的相对线位斜柱刚架在当结点发生线位移时各杆两端的相对线位移？以下面图所示一具有斜柱刚架发生结点线位移的情为例来说明。移？以下面图所示一具有斜柱刚架发生结点线位移的情为例来说明。应该注意到，各杆的线位移虽然不同，但它们是互相有关的。确应该注意到，各杆的线位移虽然不同，但它们是互相有关的。确定当结点发生单位线位移时各杆两端的相对线位移，可采用作结点位定当结点发生单位线位移时各杆两端的相对线位移，可采用作结点位移图的方法。移图的方法。首先将刚结点改为铰，然后观察在单位线位移条件下各结点的新首先将刚结点改为铰，然后观察在单位线位移条件下各结点的新位置及由此所产生的线位移数值方向。位置及由此所产生的线位移数值方向。.图图a：结点结点A的线位移的线位移垂直于杆垂直于杆AB，其水平位移分量为，其水平位移分量为1。由此可确。由此可确定定B的新位置的新位置。当机构。当机构ABCD作机动时，杆作机动时，杆CD将绕铰将绕铰D转动，故铰转动，故铰C的位移的位移必垂直于必垂直于杆杆CD。于是在。于是在的作用下，杆的作用下，杆BC将最终占有位置将最终占有位置。杆件杆件BC的运动可分解为平移（从的运动可分解为平移（从BC到到）与转动（从）与转动（从到到）。因）。因此，各杆的相对线位移为（图此，各杆的相对线位移为（图b）：）：作结点位移图的方法（图作结点位移图的方法（图b）如下所述：）如下所述：.只需直接作出三角形只需直接作出三角形即可。其即可。其方法为：任选一点方法为：任选一点O代表位移为零的点，代表位移为零的点，如如A、D点，称为极点。按适当比例绘出点，称为极点。按适当比例绘出，然后作，然后作OB垂直于杆垂直于杆AB；再过；再过B点作杆点作杆BC的垂线；又过的垂线；又过O点作杆点作杆CD的垂线，便的垂线，便得出交点得出交点C。在此图中，向量。在此图中，向量OB、OC即即代表代表B、C点的位移，而点的位移，而AB、BC、CD则则代表代表AB杆、杆、BC杆、杆、CD杆两端的相线位杆两端的相线位移。则图移。则图b称为结点位移图。称为结点位移图。例例8-3.由图由图d得：杆得：杆AB两端相对线位移为两端相对线位移为，杆，杆CD两端相对线位移两端相对线位移由图由图f得：得：由图由图g得：得：.由图由图h得得由图由图i得得由图由图j得得.将各系数和自由项代如位移法基本方程，得将各系数和自由项代如位移法基本方程，得按叠加法绘最后弯矩图按叠加法绘最后弯矩图.试求图试求图a a所示带斜杆结构的系数项和自由项所示带斜杆结构的系数项和自由项位移法基本方程位移法基本方程:解：图解：图a a所示结构虽然横梁刚度无限大，所示结构虽然横梁刚度无限大，但柱子不平行，横梁不仅能产生线位移，也但柱子不平行，横梁不仅能产生线位移，也能产生转动，也即横量作平面运动。在小变能产生转动，也即横量作平面运动。在小变形情况下结点位移如图形情况下结点位移如图b b、c c所示，独立的位所示，独立的位移只有一个线位移，因此可取图移只有一个线位移，因此可取图d d作为基本结作为基本结构。构。.图图示示结结构构在在作作用用下下的的单单位位弯弯矩矩图图中中正正确确的的为为：A.;B.;C.;D.。（）。（）.试用位移法计算图示结构，并作弯矩图。试用位移法计算图示结构，并作弯矩图。EI=常数。常数。.剪力静定杆的求算.剪力静定杆带来的简化剪力静定杆带来的简化.杆杆ABAB称为剪力静定杆，称为剪力静定杆，即用静力平衡条件可直即用静力平衡条件可直接求得其剪力（见教材接求得其剪力（见教材P230P230所述及图所述及图11-1311-13）。）。判断下面哪些结构是属于剪力静定结构？判断下面哪些结构是属于剪力静定结构？.本题特点是：本题特点是：（1 1）柱柱ABAB的的B B端虽然有侧向线位移，但柱端虽然有侧向线位移，但柱ABAB的剪力是静定的，称它为剪力的剪力是静定的，称它为剪力静定柱。静定柱。（2 2）横梁的两端无垂直于杆轴的相对线位移，称它为无侧移杆。横梁的两端无垂直于杆轴的相对线位移，称它为无侧移杆。考虑到上述特点，所以在确定位移法的独立未知量时，可以不把柱端的侧移作考虑到上述特点，所以在确定位移法的独立未知量时，可以不把柱端的侧移作为独立的位移未知量，从而使原来两个未知量（一个角位移和一个线位移）减为为独立的位移未知量，从而使原来两个未知量（一个角位移和一个线位移）减为一个角位移未知量，使计算得以简化。在选取位移法的基本结构时，只须在刚结一个角位移未知量，使计算得以简化。在选取位移法的基本结构时，只须在刚结点点B B处附加阻止转动的刚臂约束即可，如图处附加阻止转动的刚臂约束即可，如图b b所示。在该基本结构中，由于所示。在该基本结构中，由于B B端无端无侧向约束，柱子两端有相对线位移，而无角位移，所以侧向约束，柱子两端有相对线位移，而无角位移，所以ABAB柱的柱的B B端可视为滑动支端可视为滑动支座，下端为固定支座，从而满足剪力静定的要求。座，下端为固定支座，从而满足剪力静定的要求。各横梁的梁端虽然有水平位移，但对杆的内力无影响。因此各横梁可视为一端各横梁的梁端虽然有水平位移，但对杆的内力无影响。因此各横梁可视为一端固定另一端链杆支座（图固定另一端链杆支座（图b b）。）。.特殊情况讨论（剪力分配法）特殊情况讨论（剪力分配法）.对称结构的内力与变形特点对称结构的内力与变形特点 对称结构在对称荷载作用下产生对称的内力与变形；对对称结构在对称荷载作用下产生对称的内力与变形；对 称结构在反对称荷载作用下产生反对称的内力与变形称结构在反对称荷载作用下产生反对称的内力与变形。半结构的选取原则半结构的选取原则 利用结构对称性取半结构利用结构对称性取半结构(或四分之一结构或四分之一结构)进行计进行计算时算时,其半结构分开处的约束支座是根据其变形条其半结构分开处的约束支座是根据其变形条件来确定的。件来确定的。对称性的利用.1.奇数跨对称结构奇数跨对称结构 （1）对称荷载（图）对称荷载（图a）在对称轴上的截面在对称轴上的截面C没有转角和水平位移，但可有竖向位没有转角和水平位移，但可有竖向位 移。计算中所取半边结构如图（移。计算中所取半边结构如图（b）所示，）所示，C处取为滑动支承处取为滑动支承 端。端。.（2）反对称荷载（图）反对称荷载（图a）在对称轴上的截面在对称轴上的截面C没有竖向位移，但可有转角和水平没有竖向位移，但可有转角和水平 位移。计算中所取半结构如图（位移。计算中所取半结构如图（b）所示，）所示，C处取为链杆处取为链杆 支座。支座。.2.偶数跨对称结构偶数跨对称结构 （1）对称荷载（图）对称荷载（图a）在对称轴上，截面在对称轴上，截面C没有转角和水平位移，柱没有转角和水平位移，柱CD没有弯矩没有弯矩 和剪力。因为忽略杆和剪力。因为忽略杆CD的轴向变形，故半边结构如图（的轴向变形，故半边结构如图（b）所示，所示，C端为固定支座。端为固定支座。.（2）反对称荷载（图）反对称荷载（图a）在对称轴上，柱在对称轴上，柱CD没有轴力和轴向位移。但有弯矩和弯曲变形。可将中没有轴力和轴向位移。但有弯矩和弯曲变形。可将中 间柱分成两根柱，分柱的抗弯刚度为原柱的一半，间柱分成两根柱，分柱的抗弯刚度为原柱的一半，这样问题就变为奇数这样问题就变为奇数 跨跨 的问题（图的问题（图b），其中在两根分柱之间增加一跨，但其跨度为零。半），其中在两根分柱之间增加一跨，但其跨度为零。半 边结构如图边结构如图c所示。因为忽略轴向变形的影响，所示。因为忽略轴向变形的影响，C处的竖向支杆可取消，处的竖向支杆可取消，半边结构也可按图半边结构也可按图d选取。中间柱选取。中间柱CD的总内力为两根分柱内力之和。由于的总内力为两根分柱内力之和。由于 两根分两根分 柱弯矩、剪力相同，故总弯矩总剪力为分柱弯矩和剪力的两倍。柱弯矩、剪力相同，故总弯矩总剪力为分柱弯矩和剪力的两倍。又由于两根分柱的轴力绝对值相同而正负号相反，故总轴力为零。又由于两根分柱的轴力绝对值相同而正负号相反，故总轴力为零。.用位移法计算图用位移法计算图a所示结构，绘制弯矩图。所示结构，绘制弯矩图。E=常数。常数。根据正对称性质，图根据正对称性质，图a中中AB杆不会弯曲而只受轴力。在这里我们又不计杆不会弯曲而只受轴力。在这里我们又不计轴向变形影响，故将轴向变形影响，故将AB杆看作轴向刚度无限的链杆，则杆看作轴向刚度无限的链杆，则A，B两点的竖两点的竖向位移相同，简化分析半结构如图向位移相同，简化分析半结构如图b所示。所示。本题有两个独立未知数，位移法基本方程为本题有两个独立未知数，位移法基本方程为.按叠加法按叠加法.1.1.联合法联合法联合法联合法P PEI=CEI=C=+P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2力法力法力法力法:6:6个未知量个未知量个未知量个未知量位移法位移法位移法位移法:6:6个未知量个未知量个未知量个未知量部分力法部分力法部分力法部分力法,部分位移法部分位移法部分位移法部分位移法:4:4个未知量个未知量个未知量个未知量联合法与混合法联合法与混合法联合法与混合法联合法与混合法.n n基本思路基本思路 联合法联合法是一个计算简图用同一种方法，是一个计算简图用同一种方法，联合应用力法、位移法。联合应用力法、位移法。混合法混合法则是同一个计算简图一部分用则是同一个计算简图一部分用力法、另一部分用位移法。超静定次数力法、另一部分用位移法。超静定次数少，独立位移多的部分取力为未知量。少，独立位移多的部分取力为未知量。超静定次数多，独立位移少的部分取位超静定次数多，独立位移少的部分取位移作未知量。移作未知量。2.2.混合法混合法混合法混合法.用混合法计算图示刚架用混合法计算图示刚架,并作弯矩图并作弯矩图.EI=常数常数.用位移法计算图用位移法计算图a a所示结构，绘制弯矩图。所示结构，绘制弯矩图。E=E=常数。常数。联合法：上述这种求解同一问题时，联合应用力法、位移法求解的方法，称联合法：上述这种求解同一问题时，联合应用力法、位移法求解的方法，称为联合法。为联合法。联合法联合法.注意点：用联合法求解对称结构时，每个半结构的计算简图的求注意点：用联合法求解对称结构时，每个半结构的计算简图的求解是很方便的，但从半结构的结果，利用对称性和进行叠加时必须细解是很方便的，但从半结构的结果，利用对称性和进行叠加时必须细心，否则将前功尽弃。心，否则将前功尽弃。.前面介绍的超静定结构的解法，即使是联合法，对每一个计算简图选用基前面介绍的超静定结构的解法，即使是联合法，对每一个计算简图选用基本结构未知量都是相同性质的，但对图示结构，不管是用位移法或力法，其位本结构未知量都是相同性质的，但对图示结构，不管是用位移法或力法，其位知数数目均知数数目均 7 7 个，手算是不可能的。个，手算是不可能的。分析：左边分析：左边“主厂房主厂房”部分一次超静定，但独立位移有部分一次超静定，但独立位移有 5 5个。由边个。由边“附属厂附属厂房房”部分独立位移只有部分独立位移只有 2 2个，而超静定次数为六次。个，而超静定次数为六次。如果左边部分以力作如果左边部分以力作未知量，右边部分以位移作未知量，混合用两类未知量的总未知量只有未知量，右边部分以位移作未知量，混合用两类未知量的总未知量只有 3 3个，如个，如图所示。下面说明混合法解题思路图所示。下面说明混合法解题思路混合法混合法.此例说明此例说明,解决问题不能墨守成规，要深刻理解和掌握力学概念、原解决问题不能墨守成规，要深刻理解和掌握力学概念、原理和方法，在此基础上灵活应用知识，才能既好又省地解决问题。理和方法，在此基础上灵活应用知识，才能既好又省地解决问题。.温度改变时的计算，与支座位移时的计算基本相同。这里只作一温度改变时的计算，与支座位移时的计算基本相同。这里只作一点补充：除了杆件内外温差使杆件弯曲，因而产生一部分固端弯矩外；点补充：除了杆件内外温差使杆件弯曲，因而产生一部分固端弯矩外；温度改变时杆件的轴向变形不能忽略，而这种轴向变形会使结点产生已温度改变时杆件的轴向变形不能忽略，而这种轴向变形会使结点产生已知位移，从而使杆端产生相对横向位移，又产生另一部分固端弯矩。具知位移，从而使杆端产生相对横向位移，又产生另一部分固端弯矩。具体计算通过下面的例题来说明。体计算通过下面的例题来说明。例如图示刚架的范例如图示刚架的范EI=常数，横梁温度均匀升高常数，横梁温度均匀升高 ,两柱温度不变化，试绘弯两柱温度不变化，试绘弯矩图。矩图。温度改变时的计算温度改变时的计算.按叠加法绘制最后弯矩图按叠加法绘制最后弯矩图 ，即，即.超静定结构当支座产生已知的位移超静定结构当支座产生已知的位移(移动或转动移动或转动)时，结构中一般会引起内时，结构中一般会引起内 力。用位移法计算时力。用位移法计算时,基本未知量和基本方程以及作题步骤都与荷载作用基本未知量和基本方程以及作题步骤都与荷载作用 时一样时一样,不同的只有固端力一项，例如由荷载产生的固端弯矩改变成由已不同的只有固端力一项，例如由荷载产生的固端弯矩改变成由已 知位移产生的固端弯矩，具体计算通过下面的例题来说明。知位移产生的固端弯矩，具体计算通过下面的例题来说明。图示刚架的图示刚架的A支座产生了水平位移支座产生了水平位移a、竖向位移、竖向位移b=4a及转角及转角 ，试绘其弯矩图。，试绘其弯矩图。支座移动的计算支座移动的计算.根据基本结构在根据基本结构在 及支座位移的共同影向下（图及支座位移的共同影向下（图b），附加刚臂），附加刚臂上的反力矩为零的平衡条件，可建立典型方程为上的反力矩为零的平衡条件，可建立典型方程为 计算系数及自由项，绘出单位弯矩图及已知位移的弯矩图。在这里我计算系数及自由项，绘出单位弯矩图及已知位移的弯矩图。在这里我 们将已知位移的弯矩图由叠加法绘出如下：们将已知位移的弯矩图由叠加法绘出如下：.解得：解得：刚架的最后弯矩图为刚架的最后弯矩图为.弹性支座.请自行列方程、请自行列方程、请自行列方程、请自行列方程、求解并叠加作弯求解并叠加作弯求解并叠加作弯求解并叠加作弯矩图矩图矩图矩图.例九例九:试作图示结构弯矩图试作图示结构弯矩图.请自行列方程、请自行列方程、请自行列方程、请自行列方程、求解并叠加作弯求解并叠加作弯求解并叠加作弯求解并叠加作弯矩图矩图矩图矩图.例十例十:试作图示结构弯矩图试作图示结构弯矩图.135o.7.071i/l7.071i/l5.657i/lql2/89i/l27.071i/l请自行求系数、请