结构力学-位移法PPT参考课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷,载作用下内力的计算。,掌握位移法方程建立的两种途径,：,一是利用,直接平衡,法,建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用,基本体系,建,立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。,掌握对称性的利用。,教学内容：,位移法的基本概念,等截面直杆的形常数和载常数,位移法的基本未知量和基本体系,位移法方程,位移法计算连续梁和刚架,位移法计算对称结构,第,7,章,位移法,一、位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。,分析超静定结构时，有两种基本方法：,第一种：,以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计算位移,力法。,第二种：,以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力,位移法。,结构,在外因作用下,产生,内力,变形,内力与变形间存在关系,7.1,位移法的基本概念,力法,：,由变形协调条件建立,位移方程,；,位移法,：,由平衡条件建立的,平衡方程,。,二、位移法与力法的区别,1.,主要区别是,基本未知量,选取不同,力法：多余未知力作为基本未知量；,位移法：结点位移,(,线位移和角位移,),作为基本未知量。,2.,建立的基本方程不同,注意：,力法的基本未知量的数目等于超静定次数，而,位移法的基本未知量与超静定次数无关。,1.,刚结点所连接的各杆端截面变形后有相同的角位移；,2.,各杆端之间的连线长度变形前后保持不变，即忽略杆件,的轴向变形；,3.,结点线位移的弧线运动用垂直于杆轴的切线代替，即结,点线位移垂直于杆轴发生。,三、位移法的基本假定,下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。,结点位移与杆端位移分析,BD,伸长：,DC,伸长：,DA,伸长：,杆端位移分析,由材料力学可知：,杆端力与杆端,位移的关系,D,结点有,向下的,位移,F,P,C,D,A,B,45,o,45,o,四、位移法的基本思路,建立力的,平衡方程,由方程解得：,位移法方程,把回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力：,由结点平衡：,由结点平衡或截面平衡，建立方程；,结点位移回代，得到杆端力。,总结一下直接平衡法解题的步骤：,确定结点位移的数量；,写出杆端力与杆端位移的关系式；,解方程，得到结点位移；,F,1P,ql,2,/12,ql,2,/12,A,F,11,5,ql,2,/,48,ql,2,/,48,B,l,l,q,EI=,常数,A,C,A,q,A,B,C,A,B,C,A,4,i,F,11,A,A,B,C,ql,2,/,24,基本体系法解题要点：,（,1,）位移法的基本未知量是结点位移；,（,3,）位移法的基本方程是平衡方程；,（,4,）建立基本方程的过程分为两步：,1,）把结构拆成杆件，进行杆件分析；,2,）再把杆件综合成结构，进行整体分析；,（,5,）,杆件分析,是结构分析的基础。,（,2,）位移法的基本结构,-,单跨梁系；,一、杆端力和杆端位移的正负规定,二、,形常数和载常数,1.,杆端转角,、杆两端相对位移,以使杆件顺时针转动,为正号。,2.,杆端弯矩，对杆端顺时针转动为正号；对支座或结点,逆时针转动为正号。杆端剪力以使作用截面顺时针转,动为正号。,形常数,：,由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力,载常数,：,由荷载引起的固端力,7.2,等截面直杆的刚度方程,M,AB,Q,BA,M,BA,Q,AB,A,B,根据力法可求解：,其中,i,=,EI,/,l,，称为杆件的,线刚度,1.,由杆端位移求杆端内力（形常数）,M,AB,M,BA,2,A,2,B,1,A,1,B,图（,1,）,图（,2,）,1,）求图,(1),中的,A,1,B,1,(a),(b),(c),2,）求图,(2),中,A,2,和,B,2,3,）叠加得到,变换式上式可得杆端内力的,刚度方程,（转角位移方程）,：,由平衡条件得杆端剪力：见图（,d),(d),由力法求得,由力法求得,1.,两端固定单元，在,A,端发生一个顺时针的转角 。,A,B,M,AB,M,BA,2.,两端固定单元，在,B,端发生一个顺时针的转角 。,A,B,M,AB,M,BA,4,i,2,i,M,由力法求得,3.,两端固定单元，在,B,端发生一个向下的位移 。,A,B,M,AB,M,BA,4.,一端固定一端铰结单元，在,A,端发生一个顺时针的转角。,A,B,M,AB,M,BA,由力法求得,由力法求得,由力法求得,5.,一端固定一端铰结单元，在,B,端发生一个向下的位移。,M,AB,A,B,M,BA,6.,一端固定一端滑动单元，在,A,端发生一个顺时针的转角。,M,AB,M,BA,A,B,由单位杆端位移引起的形常数,单跨超静定梁简图,M,AB,M,BA,Q,AB,=Q,BA,4,i,2,i,=,1,A,B,A,B,1,A,B,1,0,A,B,=,1,3,i,0,A,B,=,1,i,-i,0,单跨超静定梁简图,M,AB,M,BA,A,B,q,A,B,P,A,B,q,A,B,l/,2,l/,2,P,2.,由荷载求杆端内力,固端弯矩和固端剪力（载常数）,独立的,结点位移,：包括角位移和线位移,结点角位移数：,刚结点的数目,独立结点线位移数：,铰结体系的自由度,7.3,位移法的基本未知量,一、位移法基本未知量,结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点。,杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。,为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的,EA=,。,2.,有侧移结构,1.,无侧移结构基本未知量,：,所有刚结点的转角,二、基本未知量的确定,只有一个刚结点,B,，由于忽,略轴向变形，,B,结点只有,只有一个刚结点,B,，,由于忽略轴向变形及,C,结点的约束形式，,B,结,点有一个转角和水平位,移,A,B,C,A,B,C,例,1.,例,2.,例,3.,有两个刚结点,E,、,F,、,D,、,C,，由于忽略轴向变形，,E,、,F,、,D,、,C,点的竖向位移为零，,E,、,F,点及,D,、,C,点,的水平位移相等，因此该结构的未知量为：,例,4.,有两个刚结点,B,、,C,，由于忽略轴向,变形，,B,、,C,点的竖向位移为零，,B,、,C,点的水平位移相等，因此该结构的未,知量为：,结论：,刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。,有两个刚结点,B,、,C,，由于,忽略轴向变形及,B,、,C,点的约,束，,B,、,C,点的竖向、水平位,移均为零，因此该结构的未,知量为：,A,B,C,D,例,5.,A,B,C,D,例,6.,桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个结点有两个线位移。该结构的未知量为：,排架结构，有两个铰结点,A,、,B,，,由于忽略轴向变形，,A,、,B,两点的竖,向位移为零，,A,、,B,两点的水平位移,相等，因此该结构的未知量为：,EA=,A,B,C,D,两跨排架结构，有四个结点,A,、,B,、,C,、,D,，同理,A,与,B,点、,D,与,C,点的水平位移相同，各结点的,竖向位移为零，但,D,结点有一转,角，因此该结构的未知量为：,例,7.,EA=,A,B,D,C,E,F,G,例,8.,该题的未知量为,对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几个线位移。,A,B,C,D,E,A,B,C,D,E,例,9.,结点转角的数目：,7,个,独立结点线位移的数目：,3,个,1,2,3,刚架结构，有两个刚结点,D,、,E,，,故有两个角位移，结点线位移由铰,结体系来判断，,W=3,4,26=0,，,铰结体系几何不变，无结点线位移。,A,B,C,D,E,A,B,C,D,刚架结构，有两个刚结点,C,、,D,，,故有两个角位移，结点线位移由铰,结体系来判断，,W=3,3,24=1,，,铰结体系几何可变，有一个线位移。,A,B,D,C,E,A,B,D,C,E,刚架结构，有两个刚结点,D,、,E,，,故有两个角位移，结点线位移由铰,结体系来判断，,W=3,4,26=0,，,铰结体系几何瞬变，有一个线位移。,分析方法：,该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移,的分析方法：假设,B,结点向左有一个水平位移，,BC,杆平,移至,B,C,，然后它绕,B,转至,D,点。,结论：,该题有两个未知量：,其中,BA,杆的线位移为：,BC,杆的线位移为：,例,10.,B,C,A,B,C,D,注意,：,(1),铰处的转角不作基本未知量。,(2),剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。,a,(3),结构带无限刚性梁时，即,EI,时，若柱子平行，,则梁端结点转角为,0,；,若柱子不平行，则梁端结,点转角可由柱顶侧移表示出来。,（,4,）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，,柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。,A,B,C,D,E,7.4,位移法举例,杆长为：,l,BA,杆,BC,杆,解：,1.,确定未知量,未知量为,:,2.,写出杆端力的表达式,3.,建立位移法方程,取,B,结点，由,得,:,A,EI,B,C,EI,q,例,1:,4.,解方程，得,:,5.,把结点位移回代，得杆端弯矩,6.,画弯矩图,ql,2,8,ql,2,14,ql,2,28,A,B,C,M,图,4I,4I,5I,3I,3I,1,1,1,0.75,0.5,i=,1,1,1,0.75,0.5,A,B,C,D,E,F,5m,4m,4m,4m,2m,20kN/m,例,2.,1,、基本未知量,B,、,C,2,、列杆端力表达式,令,EI=,1,BA,ql,m,=,=,8,4,20,8,2,2,m,kN,=,.,40,BC,ql,m,-,=,-,=,12,5,20,12,2,2,CB,m,kN,m,=,.,7,.,41,m,kN,-,=,.,7,.,41,C,C,CF,M,q,q,=,=,2,5,.,0,4,B,B,EB,M,q,q,=,=,5,.,1,75,.,0,2,C,B,CB,M,q,q,+,+,=,7,.,41,4,2,C,B,BC,M,q,q,-,+,=,7,.,41,2,4,B,BA,M,q,+,=,40,3,C,C,FC,M,q,q,=,=,5,.,0,2,B,B,BE,M,q,q,=,=,3,75,.,0,4,C,CD,M,q,=,3,3,、列位移法方程,0,=,+,+,=,CF,CD,CB,C,M,M,M,M,0,=,+,+,=,BE,BC,BA,B,M,M,M,M,0,7,.,1,2,10,=,-,+,C,B,q,q,0,7,.,41,9,2,=,+,+,C,B,q,q,4,、解方程,B,=1.15,C,=,4.89,=43.5,=,46.9,=24.5,=,14.7,=,9.78,=,4.89,M,CB,M,CD,M,CF,=3.4,=1.7,A,B,C,D,E,F,5m,4m,4m,4m,2m,43.5,40,46.9,24.5,62.5,14.7,9.8,4.9,3.4,1.7,M,图,(kN.M),位移不是真值,!,5,、回代,6,、画,M,图,M,BA,M,BC,M,BE,例,3,.,1.,位移法未知量,未知量：,2.,杆端弯矩表达式,3.,建立位移方程,取出,B,结点,:,L,L,q,F,P,2EI,EI,A,B,C,求,F,QBA,求,F,QBC,把,F,QBC,F,QBA,代入方程,中得：,后面的工作,就省略了。,例,4.,1.,未知量,2,个：,位移法方程,2.BA,杆：杆端弯矩表达式：,BC,杆：端弯矩表达式：,3.,建立位移法方程,取,B,结点由,:,q,EI,2EI,A,B,C,F,P,L,L/2,L/2,求,F,QBA,取,BA,杆,由,把,F,QBA,代入式,得,:,-,位移法方程,取,BC,截面由,:,F,QBA,q,F,QAB,M,AB,M,BA,B,A,小 结,（,1,）用位移法计算两类结构（无侧移、有侧移,),思路与方法基本相同；,（,2,）在计算有侧移刚架时，同无侧移刚架相比，,在具体作法上增加了一些新内容：,在基本未知量中，要含结点线位移；,在杆件计算中，要考虑线位移的影响；,在建立基本方程时，要增加与结点线位移对,应的平衡方程。,7.5,基本体系和典型方程法,2.,建立基本体系,（,1,）在每个刚结点处添加一个附加刚臂，,阻止刚结点转动,（不能阻止移动）,；,（,2,）在可能发生线位移的结点，加上附加链杆，,阻止结点线位移,（移动）,。,一、位移法基本体系,1.,基本体系,单跨超静定梁的组合体,用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为单跨超静定梁看待。,经过以上处理，原结构就成为一个由,n,个独立单跨超静定梁组成的组合体,即为位移法的基本体系。,例,.,建立图示结构位移法的基本体系。,未知量,2,个：,基本体系,在有转角位移的结点处先加,一刚臂，阻止转动，然后再让,其发生转角。,在有线位移的,结点处先加一链杆，阻止线位移，然后再让其发生,线位移。,EI,EI,A,B,C,L,q,L,q,原结构,二、利用基本体系建立位移法方程,锁住,将原结构转换成基本体系。把原结构,“,拆,成,”,孤立的单个超静定杆件；,放松,将基本结构还原成原结构。即强行使,“,锁,住,”,的结点发生与原结构相同的转角或线,位移。,2.,位移法典型方程的建立与求解,1.,基本原理,先锁、后松。,EI,EI,A,B,C,q,L,L,原结构,EI,EI,A,B,C,q,基本体系,3,i,4,i,2,i,M,1,图,Z,1,M,2,图,Z,2,qL,2,8,Z,1,=1,Z,1,Z,2,Z,2,=1,M,P,图,=,=,+,+,6EI,L,2,6EI,L,2,在,M,1,、,M,2,、,M,P,三个,图中的附加刚臂和链杆,中一定有约束反力产生，,而三个图中的反力加起,来应等于零。,qL,2,8,+,+,=,k,11,k,21,F,1P,F,2P,k,12,附加刚臂和链杆上产生的反力,EI,EI,A,B,C,q,基本体系,Z,1,Z,2,k,22,M,2,图,Z,2,Z,2,=1,6EI,L,2,6EI,L,2,qL,2,8,M,P,图,qL,2,8,M,1,图,Z,1,Z,1,=1,3,i,4,i,2,i,位移法典型方程,由反力互等定理可知：,在,M,1,、,M,2,、,M,P,三个图中附加刚臂和链杆中产生的附,加力加起来应等于零，则有：,方程中的系数和自由项就是,M,1,、,M,2,、,M,P,三个图中,刚臂和链杆中产生的附加反力。,求系数和自由项：取各个弯矩图中的结点或截面利用,平衡原理求得。,由,M,1,图：,3,i,4,i,k,11,k,11,k,21,F,QBA,6,i,/,L,k,12,k,12,k,22,F,QBA,由,M,2,图：,由,M,P,图：,把系数和自由项代入典型方程，有：,位移法方程,F,1P,qL,2,8,F,1P,F,2P,F,QBA,=0,用基本体系求内力的计算步骤,:,1,、确定未知量，画出位移法的基本体系，,2,、建立位移法的典型方程，,3,、画出,M,1,、,M,P,图，,4,、求出系数和自由项，,5,、代入解方程，得到结点位移，,6,、按下式画弯矩图：,如果结构有,n,个未知量，那么位移法方程为：,其中：,是主系数，永远是正的。,是副系数，有正有负。,由反力互等定理可知：,物理意义是：由第,j,个结点位移发生单位位移,后，在第,i,个结点位移处产生的反力。,【,例,1】,用位移法计算,图,(a),所示结构，并作内力图。已知各杆,EI,为常数。,【,解,】,（,1,）在结点,B,加一刚臂得基本结构,(,图,(b),，只有,一个未知量,Z,1,。,（,2,）位移法典型方程为,k,11,Z,1,+,F,1P,=0,（,3,）求系数和自由项,绘,M,1,图,(,图,(c),，求得,k,11,=3,i,+4,i,=7,i,绘,M,P,图,(,图,(d),，求得,F,1P,=5-40=-35kN,m,（,4,）求未知量,Z,1,将,k,11,、,F,1P,之值代入典型方程，得,7,i,Z,1,-35=0,故,Z,1,=5/,i,（,5,）用叠加法绘最后弯矩图,(,图,(e),。,（,6,）绘制剪力、轴力图。,【,例,2】,用位移法计算,图,(a),所示结构，并作弯矩图。已知各杆长度均为,l,，,EI,为常数。,【,解,】,（,1,）基本结构如,图,(b),所示。,（,2,）位移法方程为,k,11,Z,1,+,F,1P,=0,（,3,）,求系数和自由项,绘,M,1,图,(,图,(c),，求得,k,11,=4,i,+4,i,+3,i,=11,i,如,图,(d),所示，结点,D,被刚臂锁住，加外力偶后不能转动，所以各杆均无弯曲变形，因此无弯矩图，即,M,P,=0,。,截取结点,D(,图,(d),，由结点力矩平衡条件,M,D,=0,，得,F,1P,+,m,=0,故,F,1P,=-,m,若外力偶,m,是逆时针方向的，则,F,1P,=,+,m,写成一般式，当结点受外力偶作用时：,F,1P,=,m,当外力偶为顺时针时,m,取负号，为逆时针时,m,取正号。解方程，求,Z,1,：,Z,1,=-,F,1P,/,k,11,=,m,/11,i,按叠加法绘最后弯矩图,(,图,(e),：,M=M,1,Z,1,+M,P,=M,1,Z,1,当结点上有外力偶，各杆上还有外力作用时：,F,1P,=,M,固端,+m,式中：外力偶为顺时针时，,m,取负号；反之，,m,取正号。,【,例,3】,用位移法计算,图,(a),所示排架，并绘,M,图,【,解,】,基本结构如,图,(b),所示，有一个基本未知量,Z,1,。,位移法方程为,k,11,Z,1,+,F,1P,=0,绘,M,1,图如,图,(c),所示,，,得,k,11,=3,i,/,l,2,=12,i,/,l,2,绘,M,P,图如,图,(d),所示。得,F,1P,=-3,ql,/4,将,k,11,、,F,1P,之值代入位移法方程，解得,Z,1,=-,F,1P,/,k,11,=,ql,3,/16,i,按叠加法绘最后弯矩图。,【,例,4】,用位移法计算,图,(a),所示刚架，并绘,M,图。,【,解,】,此刚架具有两个刚结点,B,和,C,，无结点线位移，,其基本结构如,图,(b),所示。,列位移法典型方程：,k,11,Z,1,+,k,12,Z,2,+,F,1P,=0,k,21,Z,1,+,k,22,Z,2,+,F,2P,=0,分别绘出,M,1,图,(c),、,M,2,图,(d),和,M,P,图,(e),。,各系数和自由项分别计算如下：,k,11,=4,i,+8,i,=12,i,k,21,=,k,12,=4,i,k,22,=8,i,+6,i,+4,i,=18,i,F,1P,=-26.67-10=-36.67kNm,F,2P,=26.67-30=-3.33kNm,将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得,Z,1,=3.23/,i,Z,2,=-0.53/,i,按叠加法公式,M=M,1,Z,1,+M,2,Z,2,+M,P,绘出最后弯矩图如图,(f),所示。,【,例,5】,用位移法计算,图,(a),所示刚架，并绘,M,图,【,解,】,此刚架具有一个独立转角,Z,1,和一个独立线位移,Z,2,。,基本体系如,图,(b),所示。,根据附加刚臂和附加支杆上的反力矩和反力应等于零的条件，可建立位移法方程如下：,k,11,Z,1,+,k,12,Z,2,+,F,1P,=0,k,21,Z,1,+,k,22,Z,2,+,F,2P,=0,分别绘出,M,1,图,(c),、,M,2,图,(d),和,M,P,图,(e),。,由,M,1,图：,k,11,=3,i,+4,i,=7,i,由,M,2,图：,k,12,=-3,i,/2,由,M,P,图,:,F,1P,=0,求,k,21,可在,M,1,图上经二柱顶引截面，根据柱端弯矩计算出作用于柱顶的剪力，取其上部为隔离体,(,图,2(a),，由,X=0,k,21,-,Q,CD,=,0,故,k,21,=,Q,CD,=,k,12,图,2,为求,k,22,，可在,M,2,图上引截面，由隔离体,(,图,2(b),的平衡条件,X=0,，可推出计算公式如下：,对于本例：,同理可求得,F,2P,，由,M,P,图：,F,2P,=-60kN,将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得,Z,1,=20.87/,i,Z,2,=97.39/,i,按叠加法公式,M,=,M,1,Z,1,+,M,2,Z,2,+,M,P,绘出最后弯矩图如图,(f),所示。,小 结,（,1,）确定基本未知量，取基本体系。,位移法的解题步骤与方法同力法相比较,：,力法,：,多余未知力；,位移法,：,未知角位移、线位移。,未知量,力法,静定结构；,位移法,单跨超静定梁的组合体。,基本体系,（,3,）作,M,P,、,M,i,图，求系数和自由项,力法：,先作出静定结构分别在载荷,F,P,、多余未知力 作用,下的弯矩图,M,P,、,M,i,；然后应用图乘法求出系数和自由项：,iP,、,ij,、,ii,；,（,2,）建立典型方程,建立方程条件,力法,：,去掉多余约束处的位移条件,；,位移法,：,附加约束上约束反力的平衡条件。,方程的性质,力法,：,变形协调方程；,位移法,：,平衡方程。,位移法：,先作出基本体系分别在载荷,F,P,、单位位移（,Z,i,=1),作用下,所引起的弯矩图（借助于转角位移方程或图表）；然后利用结点或截面的平衡，求出附加刚臂中的反力矩和附加链杆中的反力，即位移法的系数和自由项,：,F,i p,、,k,i j,、,k,ii,。,（,4,）解典型方程，求基本未知量。,（,5,）绘制最后内力图,采用叠加法。,力法：,位移法：,7.6,对称结构的计算,对于对称结构用位移法求解时，可以取半边结构进行计,算，所以下面先介绍,半边结构,的取法。,以单跨刚架为例,，,对称点,C,的位移和内力如下：,1.,奇数跨对称结构在对称荷载作用下,变形正对称，对称轴截面不能水平移动，也不能转动，但是可以竖向移动。取半边结构时可以用滑动支座代替对称轴截面。,对称轴截面上一般有弯矩和轴力，但没有剪力。,2.,偶数跨对称刚架在对称荷载作用下,以双跨刚架为例，,对称点,C,的位移和内力如下：,C,B,变形正对称，对称轴截面无水平位移和角位移，又因忽略竖柱的轴向变形，故对称轴截面也不会产生竖向线位移，可以用固定端支座代替。,中柱无弯曲变形，故不会产生弯矩和剪力，但有轴力。对称轴截面对梁端来说一般存在弯矩、轴力和剪力，对柱端截面来说只有轴力。,3.,奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下,以单跨刚架为例，,对称点,C,的位移和内力如下：,F,P,F,P,变形反对称，对称轴截面左半部分梁向下弯曲，右半部分梁向上弯曲，由于结构是一个整体，在对称轴截面,C,处不会上下错开，故对称轴截面,C,在竖直方向不会移动，但是会发生水平移动和转动，故可用链杆支座代替。,对称轴截面,C,上无弯矩和轴力，但一般有剪力。,4.,偶数跨对称刚架在反对称荷载作用下,以两跨刚架为例,：,图,1,F,P,F,P,变形反对称，中柱在左侧荷载作用下受压，在右侧荷载作用下受拉，二者等值反向，故,总轴力等于零,，对称轴截面不会产生竖向位移，但是会发生水平移动和转动，是由中柱的弯曲变形引起的。,中柱由左侧荷载和右侧荷载作用产生的弯曲变形的方向和作用效果相同，故中柱有弯曲变形并产生弯矩和剪力，取半边结构时可取原结构对称轴竖柱抗弯刚度的一半来计算。,小 结,（,1,）对称结构受对称荷载作用时，变形一定对称，在对称点处只有对称内力存在，反对称的内力一定为零；,（,2,）对称结构受反对称荷载作用时，变形一定反对称，在对称点处只有反对称内力存在，对称的内力一定为零；,（,3,）对于对称结构，若荷载是任意的，则可把荷载变换成：对称与反对称两种情况之和；,（,4,）在对称结构计算中，对取的半边结构，可选用任何适宜的方法进行计算（如位移法、力法），其原则就是哪一种未知量个数少，就优先选用谁。,例,1.,利用对称性计算图示结构，,EI,为常数。,解：由于有两根对称轴，可以取,1/4,刚架进行计算,。,原结构,1.,未知量：,2.,杆端弯矩表达式：,L,q,q,L,A,C,B,D,基本体系,q,A,E,F,L,/2,L,/2,3.,建立位移法方程,4.,解方程，得：,5.,回代，得杆端弯矩：,6.,画弯矩图,qL,2,24,qL,2,24,qL,2,24,qL,2,24,qL,2,12,M,图,例,2.,利用对称性计算图示结构。,所有杆长均为,L,，,EI,也均相同。,原结构,解：,1.,由于该结构的反力是静定的，,求出后用反力代替约束。,2.,该结构有两根对称轴，因此,把力变换成对称与反对称的。,=,=,原结构,=,对称,+,反对称,F,P,F,P,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,+,对称情况，只是三根柱受轴力，,由于忽略向变形，不会产生弯矩，,因此不用计算。,反对称情况，梁发生相对错动，,因此会产生弯矩，但左右两半是,对称的，可取半刚架计算。,由于对称，中柱弯矩为零，因,此可以不予考虑。,原结构,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,+,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,反对称情况的半刚架：,此半刚架还是个对称结构，荷载是反对称的，因此还继,续可取半刚架。,对此进行求解,1.,未知量：,2.,杆端弯矩：,3.,建立位移法方程：,反对称,=,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,A,B,C,F,P,/4,F,QAB,7.6,其它各种情况的处理,一、支座移动时的计算,例：图示结构的,A,支座发生了一个转角，用位移法求解。,1.,未知量：,解：,未知量确定和计算与荷载作用时,相同，即把支座移动看作是一种广,义的荷载。,2.,杆端弯矩：,L,B,A,C,EI,EI,L,3.,建立位移法方程,取,BC,截面：,F,QBA,B,C,二、温度发生变化时的计算,例,.,图示结构的温度较竣工时发生了变化，用位移法求解。,未知量确定和计算与荷载作用时,相同，即把温度变化看作是一种广,义的荷载。,1.,未知量：,解：,2.,杆端弯矩：,BA,杆轴线处温度提高,17.5,杆件,伸长：,17.5,L,由温度引起的侧移：,B,的,位,置,B,A,C,L,EI,EI,L,20,0,15,0,10,0,B,BC,杆轴线处温度提高,15,杆件,伸长：,15,L,3.,建立位移法方程,L,B,A,C,EI,EI,L,B,20,0,15,0,10,0,三、组合结构的计算,例,.,用位移法求解图示组合结构。,解,：,1.,未知量,3.,建立位移法方程,2.,杆端弯矩和轴力,L,L,L,EI,EI,EI,EA,A,E,D,C,B,q,取,BC,截面,:,q,F,QBD,F,QCE,F,NBA,四、弹性支座的计算,例,.,用位移法求解图示有弹性支座的结构。,解,：,1.,未知量,2.,杆端弯矩：,3.,建立位移法方程,q,EI,EI,C,B,A,L,L,取,C,结点：,C,F,YC,F,QCB,q,F,QCB,F,QBC,M,BC,2.,杆端弯矩,五、带斜杆刚架的计算,例,.,用位移法求解图示有斜杆的刚架。,解,：,1.,未知量,EI,EI,A,B,C,F,P,L,L,L,F,P,EI,EI,3.,建立位移法方程,其中：,F,QBA,F,P,M,BA,O,六、有剪力静定杆件结构的计算,例,.,用位移法求解图示有无剪力杆件的刚架。,常规计算未知量是：,剪力,是静,定的,基本体系,原结构,一端固定,一端滑动单元,但请注意：,BA,杆的剪力是静定的,若只把,B,结点的转角固定起来,它的受力与一端固定一端滑动单元相同。因此,此题的未知量可只取一个,。,杆端弯矩：,AB,杆的杆端弯矩，,应按一端固定一端,滑动单元来写。,位移法方程：,上述计算方法称为：无剪力法。只能用于上列结构，即有侧移的杆件其剪力是静定的。,特别要提醒的是固端弯矩的计算：,AB,杆的固端弯矩：用,F,P,查一端固定,一端滑动单元。,AB,杆的固端弯矩：应用,2,F,P,查一端固,定一端滑动单元。原因是：上层的力,对下面层有影响，例如,AB,杆的剪力是,F,P,，,BC,杆的剪力是,2,F,P,。,七、有刚度无穷大杆件的刚架计算,例,.,用位移法求解图示有刚度无穷大杆件的刚架。,由于,CD,杆的抗弯刚度为无穷大，,因此,C,、,D,结点不可能发生转角，即：,未知量只有：,由于,BA,杆只能绕,A,点转动，因此,BA,杆的侧移为 ，,BC,杆的侧移为 。,又由于,BC,杆的刚度无穷大，不可能发,生弯曲变形，为了保持原先的夹角，,BA,杆的,B,端必然发生转角,。,EI=,A,B,C,D,F,P,EI,EI=,A,B,C,L,L,L,杆端弯矩：,位移法方程：,F,QBA,F,P,M,BA,O,