人教版中学七年级下册数学期末测试试卷含答案.doc

人教版中学七年级下册数学期末测试试卷含答案
一、选择题
1．如图，直线截、分别交于、两点，则的同位角是（ ）

A． B． C． D．
2．下列现象中是平移的是（ ）
A．将一张纸对折 B．电梯的上下移动
C．摩天轮的运动 D．翻开书的封面
3．已知 A(−1，2)为平面直角坐标系中一点，下列说法正确的是（ ）
A．点在第一象限 B．点的横坐标是
C．点到轴的距离是 D．以上都不对
4．下列命题是假命题的是（ ）．
A．同一平面内，两直线不相交就平行 B．对顶角相等
C．互为邻补角的两角和为180° D．相等的两个角一定是对顶角
5．如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（ ）．

A．40° B．60° C．45° D．70°
6．下列说法错误的是（ ）
A．的平方根是 B．的值是
C．的立方根是 D．的值是
7．如图，在中，交AC于点E，交BC于点F，连接DC，，，则的度数是（ ）

A．42° B．38° C．40° D．32°
8．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（1﹣y，x﹣1）叫做点P的友好点已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，…，这样依次得到点A1、A2、A3、A4…，若点A1的坐标为（3，2），则点A2020的坐标为（　　）
A．（3，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（3，﹣2）
九、填空题
9．若|y+6|+（x﹣2）2=0，则y x=_____．
十、填空题
10．将点先关于x轴对称，再关于y轴对称的点的坐标为_______．
十一、填空题
11．若在第一、三象限的角平分线上,与的关系是_________.
十二、填空题
12．如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝72°，则∠AED′＝__．

十三、填空题
13．如图，将一张长方形纸条折成如图的形状，若，则的度数为____．

十四、填空题
14．请阅读下列材料，现在规定一种新的运算：，例如：．按照这种计算的规定，当，x的值为___．
十五、填空题
15．若点P（2x，x-3）到两坐标轴的距离之和为5，则x的值为____________.
十六、填空题
16．在平面直角坐标系中，点A与原点重合，将点A向右平移1个单位长度得到点A1，将A1向上平移2个单位长度得到点A2，将A2向左平移3个单位长度得到A3，将A3向下平移4个单位长度得到A4，将A4向右平移5个单位长度得到A5…按此方法进行下去，则A2021点坐标为_______________．

十七、解答题
17．计算：
（1） （2）
十八、解答题
18．求下列各式中x的值．
（1）x2﹣81＝0；
（2）2x2﹣16＝0；
（3）（x﹣2）3＝﹣27．
十九、解答题
19．如图，点F在线段AB上，点E、G在线段CD上，AB∥CD．
（1）若BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠ABC的度数；
解：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABD+∠D＝180°（ 　 　）．
∵∠D＝100°（已知），
∴∠ABD＝80°．
又∵BC平分∠ABD，（已知），
∴∠ABC＝∠ABD＝　 　°（ 　 　）．
（2）若∠1＝∠2，求证：AE∥FG（不用写依据）．

二十、解答题
20．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（＋1，＋4），从B到A记为：A→B（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中
（1）A→C（　 　，　 　），B→D（　 　，　 　），C→　 　（＋1，　 　）；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（＋2，＋2），（＋1，﹣1），（﹣2，＋3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置．

二十一、解答题
21．已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根．
二十二、解答题
22．工人师傅准备从一块面积为36平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为24平方分米的长方形的工件．
（1）求正方形工料的边长；
（2）若要求裁下的长方形的长宽的比为4:3，问这块正方形工料是否满足需要？（参考数据：，）
二十三、解答题
23．已知，点在与之间．
（1）图1中，试说明：；
（2）图2中，的平分线与的平分线相交于点，请利用（1）的结论说明：．
（3）图3中，的平分线与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系．

二十四、解答题
24．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　 　度；
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．

二十五、解答题
25．如图，△ABC和△ADE有公共顶点A，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC=45°，∠DAE=30°．
（1）若DE//AB，则∠EAC＝　 　；
（2）如图1，过AC上一点O作OG⊥AC，分别交AB、AD、AE于点G、H、F．
①若AO＝2，S△AGH＝4，S△AHF＝1，求线段OF的长；
②如图2，∠AFO的平分线和∠AOF的平分线交于点M，∠FHD的平分线和∠OGB的平分线交于点N，∠N+∠M的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若改变，请说明理由．

【参考答案】
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据同位角的定义：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，进行判断即可.
【详解】
解：如图所示，
∠1的同位角为∠3，
故选B.

【点睛】
本题主要考查了同位角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握同位角的定义.
2．B
【分析】
根据平移的概念，依次判断即可得到答案；
【详解】
解：根据平移的概念：把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，判断：
A、将一张纸对折，不符合平移定
解析：B
【分析】
根据平移的概念，依次判断即可得到答案；
【详解】
解：根据平移的概念：把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，判断：
A、将一张纸对折，不符合平移定义，故本选项错误；
B、电梯的上下移动，符合平移的定义，故本选项正确；
C、摩天轮的运动，不符合平移定义，故本选项错误；
D、翻开的封面，不符合平移的定义，故本选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查平移的概念，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
3．C
【分析】
根据点的坐标性质以及在坐标轴上点的性质分别判断得出即可．
【详解】
解：A、−1<0，2>0，点在第二象限，原说法错误，该选项不符合题意；
B、点的横坐标是−1，原说法错误，该选项不符合题意；
C、点到y轴的距离是1，该选项正确，符合题意；
D、以上都不对，说法错误，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标，根据坐标平面内点的性质得出是解题关键．
4．D
【分析】
根据相交线、对顶角以及邻补角的有关性质对选项逐个判断即可．
【详解】
解：A：同一平面内，两条不相交的直线平行，选项正确，不符合题意；
B：对顶角相等，选项正确，不符合题意；
C：互为邻补角的两角和为180°，选项正确，不符合题意；
D：相等的两个角不一定是对顶角，选项错误，符合题意；
故答案选D．
【点睛】
此题主要考查了相交线、对顶角以及邻补角的有关性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
5．A
【分析】
根据平行线的性质得出∠2＝∠D，进而利用邻补角得出答案即可．
【详解】
解：如图，

∵AB∥CD，
∴∠2＝∠D，
∵∠1＝140°，
∴∠D＝∠2＝180°−∠1＝180°−140°＝40°，
故选：A．
【点睛】
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
6．B
【分析】
根据算术平方根与平方根、立方根的性质逐项判断即可得．
【详解】
A、的平方根是，此项说法正确；
B、的值是4，此项说法错误；
C、的立方根是，此项说法正确；
D、的值是，此项说法正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了算术平方根与平方根、立方根的性质，熟练掌握算术平方根与平方根、立方根的性质是解题关键．
7．D
【分析】
由可得到与的关系，利用三角形的外角与内角的关系可得结论．
【详解】
解：，，
．
，，

．
故选：．

【点睛】
本题考查了平行线的性质与三角形的外角性质，掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”是解决本题的关键．
8．D
【分析】
根据友好点的定义及点A1的坐标为（3，2），顺次写出几个友好点的坐标，可发现循环规律，据此可解．
【详解】
解：∵点A1的坐标为（3，2），
∴根据友好点的定义可得：A1（3，2），A
解析：D
【分析】
根据友好点的定义及点A1的坐标为（3，2），顺次写出几个友好点的坐标，可发现循环规律，据此可解．
【详解】
解：∵点A1的坐标为（3，2），
∴根据友好点的定义可得：A1（3，2），A2（-1，2），A3（-1，-2），A4（3，-2），A5（3，2），A6（-1，2），•••，
∴以此类推，每4个点为一个循环，
∵2020÷4=505，
∴点A2020的坐标与A4的坐标相同，为（3，-2）．
故选D.
【点睛】
本题考查了规律型的点的坐标，从已知条件得出循环规律是解题的关键．
九、填空题
9．36
【解析】由题意得，y+6=0，x﹣2=0，
解得x=2，y=﹣6，
所以，yx=（﹣6）2=36．
故答案是：36．
解析：36
【解析】由题意得，y+6=0，x﹣2=0，
解得x=2，y=﹣6，
所以，yx=（﹣6）2=36．
故答案是：36．
十、填空题
10．(1,-4)
【分析】
直角坐标系中，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此即可求解．
【详解】
设关于x轴对称的点为
则点的坐标为
解析：(1,-4)
【分析】
直角坐标系中，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此即可求解．
【详解】
设关于x轴对称的点为
则点的坐标为(-1,-4)
设点和点关于y轴对称
则的坐标为(1,-4)
故答案为：(1,-4)
【点睛】
本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
十一、填空题
11．a=b．
【详解】
根据第一、三象限的角平分线上的点的坐标特征，易得a=b.
解析：a=b．
【详解】
根据第一、三象限的角平分线上的点的坐标特征，易得a=b.
十二、填空题
12．36°
【分析】
根据平行线的性质可知∠DEF＝∠EFB＝72°，由折叠的性质求出∠D′EF72°，然后可求∠AED′的值．
【详解】
解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD//BC，
∴∠DEF＝
解析：36°
【分析】
根据平行线的性质可知∠DEF＝∠EFB＝72°，由折叠的性质求出∠D′EF72°，然后可求∠AED′的值．
【详解】
解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD//BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝72°，
又由折叠的性质可得∠D′EF＝∠DEF＝72°，
∴∠AED′＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
十三、填空题
13．55°
【分析】
依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠2的度数．
【详解】
解：如图所示，
∵∠1＝70°，
∴∠3＋∠4＝180°－∠1＝110°，
又∵折叠，
∴∠3＝∠4＝55°，
解析：55°
【分析】
依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠2的度数．
【详解】
解：如图所示，

∵∠1＝70°，
∴∠3＋∠4＝180°－∠1＝110°，
又∵折叠，
∴∠3＝∠4＝55°，
∵ABDE，
∴∠2＝∠3＝55°，
故答案为：55°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
十四、填空题
14．【分析】
根据题中的新定义化简所求式子，计算即可求出的值．
【详解】
解：根据题中的新定义得：，
移项合并得：，
解得：，
故答案是：．
【点睛】
此题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握其步骤
解析：
【分析】
根据题中的新定义化简所求式子，计算即可求出的值．
【详解】
解：根据题中的新定义得：，
移项合并得：，
解得：，
故答案是：．
【点睛】
此题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
十五、填空题
15．或
【详解】
【分析】分x<0，0≤x<3，x≥3三种情况分别讨论即可得.
【详解】当x<0时，2x<0，x-3<0，由题意则有-2x-(x-3)=5，解得：x=，
当0≤x<3时，2x≥0，x-3
解析：或
【详解】
【分析】分x<0，0≤x<3，x≥3三种情况分别讨论即可得.
【详解】当x<0时，2x<0，x-3<0，由题意则有-2x-(x-3)=5，解得：x=，
当0≤x<3时，2x≥0，x-3<0，由题意则有2x-(x-3)=5，解得：x=2，
当x≥3时，2x>0，x-3≥0，由题意则有2x+x-3=5，解得：x=<3（不合题意，舍去），
综上，x的值为2或，
故答案为2或.
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，根据x的取值范围分情况进行讨论是解题的关键.
十六、填空题
16．（1011，﹣1010）
【分析】
求出A1（1，0），A5（3，﹣2），A9（5，﹣4），A13（7，﹣6），•••，探究规律可得A2021（1011，﹣1010）．
【详解】
解：由题意A1（1
解析：（1011，﹣1010）
【分析】
求出A1（1，0），A5（3，﹣2），A9（5，﹣4），A13（7，﹣6），•••，探究规律可得A2021（1011，﹣1010）．
【详解】
解：由题意A1（1，0），A5（3，﹣2），A9（5，﹣4），A13（7，﹣6），•••，
可以看出，3＝，5＝，7＝，各个点的纵坐标等于横坐标的相反数+1，
故＝1011，
∴A2021（1011，﹣1010），
故答案为：（1011，﹣1010）．
【点评】
本题考查坐标与图形变化平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
十七、解答题
17．（1）1.2；（2）
【解析】试题分析：(1)、根据算术平方根、立方根以及-1的奇数次幂的计算法则得出各式的值，然后进行求和得出答案；(2)、根据算术平方根、立方根以及绝对值的计算法则得出各式的值，
解析：（1）1.2；（2）
【解析】试题分析：(1)、根据算术平方根、立方根以及-1的奇数次幂的计算法则得出各式的值，然后进行求和得出答案；(2)、根据算术平方根、立方根以及绝对值的计算法则得出各式的值，然后进行求和得出答案.
试题解析：（1）原式
（2）原式
十八、解答题
18．（1）x＝±9；（2）；（3）x＝﹣1．
【分析】
（1）式子整理后，利用平方根的定义求解即可；
（2）式子整理后，利用平方根的定义求解即可；
（3）利用立方根的定义求解即可．
【详解】
解：（1）
解析：（1）x＝±9；（2）；（3）x＝﹣1．
【分析】
（1）式子整理后，利用平方根的定义求解即可；
（2）式子整理后，利用平方根的定义求解即可；
（3）利用立方根的定义求解即可．
【详解】
解：（1）x2﹣81＝0，
x2＝81，
x＝±9；
（2）2x2﹣16＝0，
2x2＝16，
x2＝8，
；
（3）（x﹣2）3＝﹣27，
x﹣2＝﹣3，
x＝2﹣3，
x＝﹣1．
【点睛】
本题主要考查了平方根与立方根的定义：求a的立方根，实际上就是求哪个数的立方等于a，熟记相关定义是解答本题的关键．
十九、解答题
19．（1）两直线平行，同旁内角互补；40；角平分线的定义；（2）见解析
【分析】
（1）根据平行线的性质求出∠ABD=80°，再根据角平分线的定义求解即可；
（2）根据平行线的性质得到∠1=∠FGC，等
解析：（1）两直线平行，同旁内角互补；40；角平分线的定义；（2）见解析
【分析】
（1）根据平行线的性质求出∠ABD=80°，再根据角平分线的定义求解即可；
（2）根据平行线的性质得到∠1=∠FGC，等量代换得到∠2=∠FGC，即可判定AE∥FG．
【详解】
（1）∵AB∥CD（已知），
∴∠ABD+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠D＝100°（已知），
∴∠ABD＝80°，
又∵BC平分∠ABD（已知），
∴∠ABC＝∠ABD＝40°（角平分线的定义）．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；40；角平分线的定义；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠FGC，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠FGC，
∴AE∥FG．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”、“两直线平行，内错角相等”、“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．
二十、解答题
20．（1）3，4，3，﹣2，D，﹣2；（2）见解析
【分析】
（1）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案；
（2）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案．
【详解】
解：（1）A→C（ 3
解析：（1）3，4，3，﹣2，D，﹣2；（2）见解析
【分析】
（1）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案；
（2）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案．
【详解】
解：（1）A→C（ 3，4），B→D（3﹣2），C→D（＋1，﹣2）；
故答案为3，4；3，﹣2；D，﹣2；
（2）这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（＋2，＋2），（＋1，﹣1），（﹣2，＋3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置，如图

【点睛】
本题主要考查了用有序实数对表示路线．读懂题目信息，正确理解行走路线的记录方法是解题的关键．
二十一、解答题
21．【分析】
先进行估算的范围，确定a，b的值，再代入代数式即可解答．
【详解】
解：∵，
∴的整数部分为2，小数部分为，
且．
∴的整数部分为4．
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，
解析：
【分析】
先进行估算的范围，确定a，b的值，再代入代数式即可解答．
【详解】
解：∵，
∴的整数部分为2，小数部分为，
且．
∴的整数部分为4．
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算的范围．
二十二、解答题
22．（1）6分米；（2）满足．
【分析】
（1）由正方形面积可知，求出的值即可；
（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米，根据面积得出方程，求出，求出长方形的长和宽和6比较即可．
【详解】
解：（
解析：（1）6分米；（2）满足．
【分析】
（1）由正方形面积可知，求出的值即可；
（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米，根据面积得出方程，求出，求出长方形的长和宽和6比较即可．
【详解】
解：（1）正方形工料的边长为分米；
（2）设长方形的长为4a分米，则宽为3a分米．
则，
解得：，
长为，宽为
∴满足要求．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根及实数大小比较，用了转化思想，即把实际问题转化成数学问题．
二十三、解答题
23．（1）说明过程请看解答；（2）说明过程请看解答；（3）∠BED=360°-2∠BFD．
【分析】
（1）图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG=∠ABE，根据AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，
解析：（1）说明过程请看解答；（2）说明过程请看解答；（3）∠BED=360°-2∠BFD．
【分析】
（1）图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG=∠ABE，根据AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG=∠CDE，进而可得∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）图2中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，结合（1）的结论即可说明：∠BED=2∠BFD；
（3）图3中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合（1）的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系．
【详解】
解：（1）如图1中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG=∠ABE，

因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG=∠CDE，
所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE，
即∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）图2中，因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF），
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BED=∠ABE+∠CDE，
∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=2∠BFD．
（3）∠BED=360°-2∠BFD．
图3中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG+∠ABE=180°，

因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG+∠CDE=180°，
所以∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE），
即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE），
因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF），
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=360°-2∠BFD．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
二十四、解答题
24．（1）110°；（2）∠CPD=∠α+∠β，见解析；（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；当P在AB延长线上时，∠CPD=∠α-∠β
【分析】
（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠A
解析：（1）110°；（2）∠CPD=∠α+∠β，见解析；（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；当P在AB延长线上时，∠CPD=∠α-∠β
【分析】
（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】
解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案为110°；
（2）∠CPD=∠α+∠β，
理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α，
理由是：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE =∠β-∠α；
当P在AB延长线时，∠CPD=∠α-∠β，
理由是：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE -∠CPE =∠α-∠β．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，分类讨论是解题的关键．
二十五、解答题
25．（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°
【分析】
（1）利用平行线的性质求解即可．
（2）①利用三角形的面积求出GH，HF，再证明AO=OG=2，可得结论．
②利用角平分线的定
解析：（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°
【分析】
（1）利用平行线的性质求解即可．
（2）①利用三角形的面积求出GH，HF，再证明AO=OG=2，可得结论．
②利用角平分线的定义求出∠M，∠N（用∠FAO表示），可得结论．
【详解】
解：（1）如图，

∵AB∥ED
∴∠E=∠EAB=90°（两直线平行，内错角相等），
∵∠BAC=45°，
∴∠CAE=90°-45°=45°．
故答案为：45°．
（2）①如图1中，

∵OG⊥AC，
∴∠AOG=90°，
∵∠OAG=45°，
∴∠OAG=∠OGA=45°，
∴AO=OG=2，
∵S△AHG=•GH•AO=4，S△AHF=•FH•AO=1，
∴GH=4，FH=1，
∴OF=GH-HF-OG=4-1-2=1．
②结论：∠N+∠M=142.5°，度数不变．
理由：如图2中，

∵MF，MO分别平分∠AFO，∠AOF，
∴∠M=180°-（∠AFO+∠AOF）=180°-（180°-∠FAO）=90°+∠FAO，
∵NH，NG分别平分∠DHG，∠BGH，
∴∠N=180°-（∠DHG+∠BGH）
=180°-（∠HAG+∠AGH+∠HAG+∠AHG）
=180°-（180°+∠HAG）
=90°-∠HAG
=90°-（30°+∠FAO+45°）
=52.5°-∠FAO，
∴∠M+∠N=142.5°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，最后一个问题的解题关键是用∠FAO表示出∠M，∠N．