1、平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一一对实数1、2,使a1e12e2,其中,不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1,y1),b(x2,y2),则ab(x1x2,y1y2),ab(x1x2,y1y2),a(x1,y1),|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标设A(x1,y1),B(x2,y2),则(x2x1,y2y1),|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1,y1),b(x2,y2)
2、,其中b0,a、b共线x1y2x2y10.选择题:设e1,e2是平面内一组基底,那么()A若实数1,2使1e12e20,则120B空间内任一向量a可以表示为a1e12e2(1,2为实数)C对实数1,2,1e12e2不一定在该平面内D对平面内任一向量a,使a1e12e2的实数1,2有无数对下列各组向量中,可以作为基底的是()Ae1(0,0),e2(1,2) Be1(1,2),e2(5,7)Ce1(3,5),e2(6,10) De1(2,3),e2解析两个不共线的非零向量构成一组基底,故选B.已知平面向量a(1,1),b(1,1),则向量ab等于()A(2,1) B(2,1) C(1,0) D(1
3、,2)解析a(,),b(,),故ab(1,2)已知a(1,1),b(1,1),c(1,2),则c等于()Aab B.ab Cab Dab解析设cab,(1,2)(1,1)(1,1),cab.已知向量a(1,2),b(1,0),c(3,4)若为实数,(ab)c,则等于()A. B. C1 D2解析ab(1,2),c(3,4),且(ab)c,已知a(5,2),b(4,3),若a2b3c0,则c等于()A. B. C. D.解析由已知3ca2b(5,2)(8,6)(13,4),c.已知向量(k,12),(4,5),(k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是()A B. C. D.解析(4k,7)
4、,(2k,2),A,B,C三点共线,共线,2(4k)7(2k),解得k已知点A(1,3),B(4,1),则与向量A同方向的单位向量为()A. B. C. D.解析AOO(4,1)(1,3)(3,4),与A同方向的单位向量为.已知点A(1,5)和向量a(2,3),若3a,则点B的坐标为()A(7,4) B(7,14) C(5,4) D(5,14)解析设点B的坐标为(x,y),则(x1,y5),由3a,得解得已知向量a(1,2),b(3,m),mR,则“m6”是“a(ab)”的()A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析由题意得ab(2,2m),由a(ab),
5、得1(2m)22,m6,则“m6”是“a(ab)”的充要条件,故选A已知在ABCD中,(2,8),(3,4),则()A(1,12) B(1,12) C(1,12) D(1,12)解析四边形ABCD是平行四边形,(1,12)在ABC中,点D在BC边上,且2,rs,则rs等于()A. B. C3 D0解析2,(),则rs0已知点M是ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且2,则向量()A. B. C. D.解析如图,2,()在ABC中,点P在BC上,且2,点Q是AC的中点,若(4,3),(1,5),则等于()A(2,7) B(6,21) C(2,7) D(6,21)解析33(2)63(6,30)(
6、12,9)(6,21)在梯形ABCD中,ABCD,AB2CD,M,N分别为CD,BC的中点,若,则等于()A. B. C. D.解析()22,.填空题:已知平面向量a(1,2),b(2,m),且ab,则2a3b_.解析由a(1,2),b(2,m),且ab,得1m2(2),即m4.从而b(2,4),那么2a3b2(1,2)3(2,4)(4,8)已知向量a(x,1),b(2,y),若ab(1,1),则xy_.解析(x,1)(2,y)(1,1),解得xy3.已知向量a(1,2),b(0,1),设uakb,v2ab,若uv,则实数k的值为()A1 B C. D1解析u(1,2)k(0,1)(1,2k)
7、,v(2,4)(0,1)(2,3),又uv,132(2k),得k已知向量a(1,2),b(x,1),ua2b,v2ab,且uv,则实数x的值为_解析a(1,2),b(x,1),ua2b,v2ab,u(1,2)2(x,1)(2x1,4),v2(1,2)(x,1)(2x,3)又uv,3(2x1)4(2x)0,即10x5,解得x.若三点A(1,5),B(a,2),C(2,1)共线,则实数a的值为_解析(a1,3),(3,4),根据题意,4(a1)3(3),即4a5,a在ABCD中,AC为一条对角线,(2,4),(1,3),则向量的坐标为_解析,(1,1),(3,5)已知ABCD的顶点A(1,2),B
8、(3,1),C(5,6),则顶点D的坐标为_解析设D(x,y),则由,得(4,1)(5x,6y),即解得已知梯形ABCD,其中ABCD,且DC2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为_解析在梯形ABCD中,ABCD,DC2AB,2.设点D的坐标为(x,y),则(4,2)(x,y)(4x,2y),(2,1)(1,2)(1,1),(4x,2y)2(1,1),即(4x,2y)(2,2),解得故点D的坐标为(2,4)如图,在ABC中,P是BN上的一点,若m,则实数m的值为_解析:设k,kR.kk()k()(1k),且m,1km,解得k,m.在ABCD中,e1,e2,则_
9、(用e1,e2表示)解析如图,2()e2(e2e1)e1e2如图,已知a,b,3,用a,b表示,则_解析()ab若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共线,则的值为_解析(a2,2),(2,b2),则(a2)(b2)40,即ab2a2b0,.设(2,4),(a,2),(b,0),a0,b0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则的最小值为_解析由题意得(a2,2),(b2,4),又,(a2,2)(b2,4),即整理得2ab2,(2ab)()(3)(32)(当且仅当ba时,等号成立)已知A(7,1),B(1,4),直线yax与线段AB交于点C,且2,则实数a_.解析设C(x,y
10、),则(x7,y1),(1x,4y),2,解得C(3,3)又C在直线yax上,3a3,a2.已知向量(1,3),(2,1),(k1,k2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是_解析若点A,B,C能构成三角形,则向量,不共线(2,1)(1,3)(1,2),(k1,k2)(1,3)(k,k1),1(k1)2k0,解得k1.设0,向量a(sin2,cos),b(cos,1),若ab,则tan_.解析ab,sin21cos20,2sincoscos20,0,cos0,2sincos,tan解答题:已知A(1,1),B(3,1),C(a,b)(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系式
11、;(2)若2,求点C的坐标解析(1)由已知得(2,2),(a1,b1),A,B,C三点共线,2(b1)2(a1)0,即ab2.(2)2,(a1,b1)2(2,2)解得点C的坐标为(5,3)已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;(2)求证:当t11时,不论t2为何实数,A,B,M三点共线(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)当点M在第二或第三象限时,有故所求的充要条件为t20且t12t20.(2)证明当t11时,由(1)知(4t2,4t22)(4,4),(4t2,4t2)t2(4,4)t2,与共线,又有公共
12、点A,A,B,M三点共线能力提升题组已知向量a(2,3),b(1,2),若(manb)(a2b),则等于()A2 B2 C D.解析由题意得manb(2mn,3m2n),a2b(4,1),(manb)(a2b),(2mn)4(3m2n)0,已知|1,|,0,点C在AOB内,且与的夹角为30,设mn(m,nR),则的值为()A2 B. C3 D4解析0,以OA为x轴,OB为y轴建立直角坐标系,(1,0),(0,),mn(m,n)tan 30,m3n,即3如图,在OAB中,P为线段AB上的一点,xy,且B2P,则()Ax,y Bx,y Cx,y Dx,y解析由题意知OOB,又B2P,OOBO(OO
13、)OO,x,y.已知点A(1,2),B(2,8),则的坐标为_解析设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)由题意得(x11,y12),(3,6),(1x2,2y2),(3,6),有和解得和点C,D的坐标分别为(0,4),(2,0),从而(2,4)已知向量a(1,1),b(1,1),c(cos,sin)(R),实数m,n满足manbc,则(m3)2n2的最大值为_解析由manbc,可得故(mn)2(mn)22,即m2n21,故点M(m,n)在单位圆上,则点P(3,0)到点M的距离的最大值为|OP|1314,故(m3)2n2的最大值为4216.已知ABC和点M满足0.若存在实数m,使得m成立,则m_.解析0,M为ABC的重心如图所示,连接AM并延长交BC于D,则D为BC的中点.又(),(),即3,m3.如图所示,A,B,C是圆O上的三点,线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D,若mn,则mn的取值范围是_解析由题意得,k(k0),又|k|1,1k0.又B,A,D三点共线,(1),mnkk(1),mk,nk(1),mnk,从而mn(1,0)10