2024年人教版七7年级下册数学期末质量检测卷(含答案).doc

2024年人教版七7年级下册数学期末质量检测卷（含答案）
一、选择题
1．“9的平方根”这句话用数学符号表示为（）
A． B．± C． D．±
2．下列图形中,哪个可以通过图1平移得到( )

A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点（－1，－3）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列四个说法：①连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；③a2的算术平方根是a；④的立方根是4．其中假命题的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，，P为平行线之间的一点，若，CP平分∠ACD，，则∠BAP的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．下列说法中，正确的是（　　）
A．（﹣2）3的立方根是﹣2 B．0.4的算术平方根是0.2
C．的立方根是4 D．16的平方根是4
7．在同一个平面内，为50°，的两边分别与的两边平行，则的度数为（ ）．
A．50° B．40°或130° C．50°或130° D．40°
8．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则运动到第2021秒时，点P所处位置的坐标是（　　）

A．（2020，﹣1） B．（2021，0） C．（2021，1） D．（2022，0）
九、填空题
9．若=0，则=________ .
十、填空题
10．点关于轴的对称点的坐标是__________.
十一、填空题
11．如图．已知点为两条相互平行的直线之间一动点，和的角平分线相交于，若，则的度数为________．

十二、填空题
12．如图，己知AB∥CD．OE平分∠AOC，OE⊥OF，∠C＝50°，则∠AOF的度数为___．

十三、填空题
13．如图，在中，若将沿折叠，使点与点重合，若的周长为的周长为，则_______．

十四、填空题
14．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．

十五、填空题
15．若点P（2m+4，3m+3）在x轴上，则点P的坐标为________．
十六、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，一电子蚂蚁按照设定程序从原点出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点．…按这样的运动规律，经过2021次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是_________．

十七、解答题
17．(1)已知，求x的值；
(2)计算：.
十八、解答题
18．求下列各式中的值
（1）
（2）
十九、解答题
19．已知如图，，，，，求证：.
完成下面的证明过程：
证明：∵，
∴（______________________________）
∵____________________（已知）
∴.（______________________________）
∴.
∵，（已知）
∴
又∵，
∴，
∴，（______________________________）
∴.（______________________________）

二十、解答题
20．在平面直角坐标系中，已知O，A，B，C四点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（－3，3），C（－3，0）．
（1）在平面直角坐标系中，描出O，A，B，C四点；
（2）依次连接OA，AB，BC，CO后，得到图形的形状是___________．

二十一、解答题
21．对于实数a，我们规定：用符号[]表示不大于的最大整数，称[]为a的根整数，例如：[]＝3，[]＝3．
（1）仿照以上方法计算：[]＝　 　；[]＝　 　．
（2）若[]＝1，写出满足题意的x的整数值　 　．
（3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次[]＝3→[]＝1，这时候结果为1．对145连续求根整数，　 　次之后结果为1．
二十二、解答题
22．如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．

（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的边长．
二十三、解答题
23．已知，如图：射线分别与直线、相交于、两点，的角平分线与直线相交于点，射线交于点，设，且．
（1）________，________；直线与的位置关系是______；
（2）如图，若点是射线上任意一点，且，试找出与之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．
（3）若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图）分别与、相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

二十四、解答题
24．问题情境
（1）如图1，已知，求的度数．佩佩同学的思路：过点作，进而，由平行线的性质来求，求得 ；
问题迁移
（2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合与相交于点，有一动点在边上运动，连接，记．
①如图2，当点在两点之间运动时，请直接写出与之间的数量关系；
②如图3，当点在两点之间运动时，与之间有何数量关系？请判断并说明理由．

二十五、解答题
25．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形是“准互余三角形”．

（1）如图1，在中，，是的角平分线，求证：是“准互余三角形”；
（2）关于“准互余三角形”，有下列说法：
①在中，若，，，则是“准互余三角形”；
②若是“准互余三角形”，，，则；
③“准互余三角形”一定是钝角三角形．
其中正确的结论是___________（填写所有正确说法的序号）；
（3）如图2，，为直线上两点，点在直线外，且．若是直线上一点，且是“准互余三角形”，请直接写出的度数．
【参考答案】
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据平方根的定义：如果（），那么a就叫做b的平方根，解答即可．
【详解】
解：∵
∴“9的平方根”这句话用数学符号表示为：，
故选B．
【点睛】
本题考查了平方根的定义，是基础概念题，熟记概念是解题的关键．
2．A
【详解】
试题分析：因为图形平移前后，不改变图形的形状和大小，只是位置发生改变，所以由图1平移可得A，故选A．
考点：平移的性质．
解析：A
【详解】
试题分析：因为图形平移前后，不改变图形的形状和大小，只是位置发生改变，所以由图1平移可得A，故选A．
考点：平移的性质．
3．C
【分析】
根据平面直角坐标系中象限内点的特征判断即可；
【详解】
∵，，
∴点（－1，－3）位于第三象限；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系中象限内点的特征，准确分析判断是解题的关键．
4．C
【分析】
利用两点间的距离的定义、平行线的判定、算术平方根的定义及立方根的求法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①连接两点之间的线段的长度叫做这两点间的距离
，故原命题错误，是假命题，符合题意；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
正确，是真命题，不符合题意；
③a2的算术平方根是a（a≥0），
故原命题错误，是假命题，符合题意；
④的立方根是2，
故原命题错误，是假命题，符合题意；
假命题有3个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查真假命题，两点见的距离，平行线的判定，算术平方根，立方根的求法等知识点，熟知相关定义以及运算法则是解题的关键．
5．A
【分析】
过P点作PMAB交AC于点M，直接利用平行线的性质以及平行公理分别分析即可得出答案．
【详解】
解：如图，过P点作PMAB交AC于点M．

∵CP平分∠ACD，∠ACD＝68°，
∴∠4＝∠ACD＝34°．
∵ABCD，PMAB，
∴PMCD，
∴∠3＝∠4＝34°，
∵AP⊥CP，
∴∠APC＝90°，
∴∠2＝∠APC－∠3＝56°，
∵PMAB，
∴∠1＝∠2＝56°，
即：∠BAP的度数为56°，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及平行公理等知识，正确利用平行线的性质分析是解题关键．
6．A
【分析】
根据立方根的定义及平方根的定义依次判断即可得到答案．
【详解】
解：A．（﹣2）3的立方根是﹣2，故本选项符合题意；
B.0.04的算术平方根是0.2，故本选项不符合题意；
C. 的立方根是2，故本选项不符合题意；
D.16的平方根是±4，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
此题考查立方根的定义及平方根的定义，熟记定义是解题的关键．
7．C
【分析】
如图，分两种情况进行讨论求解即可．
【详解】
解：①如图所示，AC∥BF，AD∥BE，
∴∠A=∠FOD，∠B=∠FOD，
∴∠B=∠A=50°；

②如图所示，AC∥BF，AD∥BE，
∴∠A=∠BOD，∠B+∠BOD=180°，
∴∠B+∠A=180°，
∴∠B=130°，
故选C．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
8．C
【分析】
根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出第2021秒时点P的坐标．
【详解】
半径为1个单位长度的半圆的周长为：，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度
解析：C
【分析】
根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出第2021秒时点P的坐标．
【详解】
半径为1个单位长度的半圆的周长为：，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
∴点P1秒走个半圆，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，-1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），
…，
可得移动4次图象完成一个循环，
∵2021÷4=505…1，
∴点P运动到2021秒时的坐标是（2021，1），
故选：C．
【点睛】
此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
九、填空题
9．9
【解析】
试题分析：根据非负数之和为零则每个非负数都为零可得：m+3=0，n－2=0，解得：m=－3，n=2，则==9.
考点：非负数的性质.
解析：9
【解析】
试题分析：根据非负数之和为零则每个非负数都为零可得：m+3=0，n－2=0，解得：m=－3，n=2，则==9.
考点：非负数的性质.
十、填空题
10．【分析】
关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此可解答．
【详解】
点关于轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了关于x轴对称的点的坐标，关于x轴对称的两个点，横坐标不
解析：
【分析】
关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此可解答．
【详解】
点关于轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了关于x轴对称的点的坐标，关于x轴对称的两个点，横坐标不变，纵坐标互为相反数．
十一、填空题
11．120°
【分析】
由角平分线的定义可得，，又由，得，；设，，则；再根据四边形内角和定理得到，最后根据即可求解．
【详解】
解：和的角平分线相交于，
，，
又，
，，
设，，
，
在四边形中，，，，
解析：120°
【分析】
由角平分线的定义可得，，又由，得，；设，，则；再根据四边形内角和定理得到，最后根据即可求解．
【详解】
解：和的角平分线相交于，
，，
又，
，，
设，，
，
在四边形中，，，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
十二、填空题
12．115°
【分析】
要求∠AOF的度数，结合已知条件只需要求出∠AOE的度数，根据角平分线的定义可以得到∠AOE=∠AOC，再利用平行线的性质得到∠C=∠AOC即可求解.
【详解】
解：∵AB∥CD
解析：115°
【分析】
要求∠AOF的度数，结合已知条件只需要求出∠AOE的度数，根据角平分线的定义可以得到∠AOE=∠AOC，再利用平行线的性质得到∠C=∠AOC即可求解.
【详解】
解：∵AB∥CD，∠C=50°，
∴∠C=∠AOC=50°，
∵OE平分∠AOC，
∴25°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠AOF=∠AOE+∠EOF=115°，
故答案为：115°.

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
十三、填空题
13．【分析】
根据翻折得到，根据，即可求出AC,再根据E是中点即可求解．
【详解】
沿翻折使与重合

故答案为：．
【点睛】
此题主要考查三角形内的线段求解，解题的关键是熟知全等三角形的性
解析：
【分析】
根据翻折得到，根据，即可求出AC,再根据E是中点即可求解．
【详解】
沿翻折使与重合

故答案为：．
【点睛】
此题主要考查三角形内的线段求解，解题的关键是熟知全等三角形的性质．
十四、填空题
14．4+或6﹣或2﹣．
【分析】
先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠与C点重合的点表示的数即可．
【详解】
解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：3+
解析：4+或6﹣或2﹣．
【分析】
先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠与C点重合的点表示的数即可．
【详解】
解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：3+（3+1）＝7．
与C重合的点表示的数：3+（3﹣）＝6﹣．
第二次折叠，折叠点表示的数为：（3+7）＝5或（﹣1+3）＝1．
此时与数轴上的点C重合的点表示的数为：
5+（5﹣6+）＝4+或1﹣（﹣1）＝2﹣．
故答案为：4+或6﹣或2﹣．
【点睛】
本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
十五、填空题
15．（2，0）
【分析】
根据x轴上点的坐标的特点y=0，计算出m的值，从而得出点P坐标．
【详解】
解：∵点P（2m+4，3m+3）在x轴上，
∴3m+3=0，
∴m=﹣1，
∴2m+4=2，
∴点P
解析：（2，0）
【分析】
根据x轴上点的坐标的特点y=0，计算出m的值，从而得出点P坐标．
【详解】
解：∵点P（2m+4，3m+3）在x轴上，
∴3m+3=0，
∴m=﹣1，
∴2m+4=2，
∴点P的坐标为（2，0），
故答案为（2，0）．
十六、填空题
16．（1617，2）
【分析】
根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标的为1，2，2，4，4，4+1，4+2，4+2，4+4，4+4，每5次一轮，每次比前一次起始多4，这一规律纵坐标为2，0，-
解析：（1617，2）
【分析】
根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标的为1，2，2，4，4，4+1，4+2，4+2，4+4，4+4，每5次一轮，每次比前一次起始多4，这一规律纵坐标为2，0，-2，-2，0，…，每5次一轮这一规律，进而求出即可．
【详解】
解：前五次运动横坐标分别为：1，2，2，4，4，
第6到10次运动横坐标分别为：4+1，4+2，4+2，4+4，4+4，
…
∴第5n+1到5n+5次运动横坐标分别为：4n+1，4n+2，4n+2，4n+4，4n+4，
前五次运动纵坐标分别2，0，-2，-2，0，
第6到10次运动纵坐标分别为2，0，-2，-2，0，
…
∴第5n+1到5n+5次运动纵坐标分别为2，0，-2，-2，0，
∵2021÷5=404…1，
∴经过2021次运动横坐标为=4×404+1=1617，经过2021次运动纵坐标为2，
∴经过2021次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是（1617，2）．
故答案为：（1617，2）．
【点睛】
此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．
十七、解答题
17．（1）x=3或x=-1；（2）
【分析】
（1）根据平方根的性质求解；
（2）根据绝对值、算术平方根和立方根的性质求解.
【详解】
(1)解：∵；
∴
∴x=3或x=-1
(2)原式=
，
【
解析：（1）x=3或x=-1；（2）
【分析】
（1）根据平方根的性质求解；
（2）根据绝对值、算术平方根和立方根的性质求解.
【详解】
(1)解：∵；
∴
∴x=3或x=-1
(2)原式=
，
【点睛】
本题考查平方根、算术平方根和立方根的运算，熟练掌握运算法则是解题关键.
十八、解答题
18．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据平方根的性质，直接开方，即可解答；
（2）根据立方根，直接开立方，即可解答．
【详解】
解：（1）
，
．
（2）
．
【点睛】
本题考查平方根、立方根，
解析：（1）；（2）．
【分析】
（1）根据平方根的性质，直接开方，即可解答；
（2）根据立方根，直接开立方，即可解答．
【详解】
解：（1）

，
．
（2）

．
【点睛】
本题考查平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的相关性质．
十九、解答题
19．见解析
【分析】
根据平行线的判定和性质定理以及对顶角相等即可得到结论．
【详解】
解：证明：∵∠AOB=80°，
∴∠COD=∠AOB=80°（对顶角相等）．
∵BC∥EF（已知），
∴∠COD+
解析：见解析
【分析】
根据平行线的判定和性质定理以及对顶角相等即可得到结论．
【详解】
解：证明：∵∠AOB=80°，
∴∠COD=∠AOB=80°（对顶角相等）．
∵BC∥EF（已知），
∴∠COD+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠1=100°．
∵∠1+∠C=160°（已知），
∴∠C=160°-∠1=60°．
又∵∠B=60°，
∴∠B=∠C．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了对顶角的定义．
二十、解答题
20．（1）见解析；（2）正方形
【分析】
（1）根据平面直角坐标系找出各点的位置即可；
（2）观察图形可知四边形ABCO是正方形．
【详解】
解：（1）如图．
（2）四边形ABCO是正方形．
【点睛】
解析：（1）见解析；（2）正方形
【分析】
（1）根据平面直角坐标系找出各点的位置即可；
（2）观察图形可知四边形ABCO是正方形．
【详解】
解：（1）如图．

（2）四边形ABCO是正方形．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，能够准确在平面直角坐标系中找出点的位置是解题的关键．
二十一、解答题
21．（1）4；4；（2）1，2，3；（3）3
【解析】
【分析】
根据题中的新定义计算即可求出值．
【详解】
解：（1）仿照以上方法计算：[16]=4;[24]=4；
（2）若[x]＝1，写出满足题意的
解析：（1）4；4；（2）1，2，3；（3）3
【解析】
【分析】
根据题中的新定义计算即可求出值．
【详解】
解：（1）仿照以上方法计算：；
（2）若[]＝1，写出满足题意的x的整数值1，2，3；
（3）对145连续求根整数，第1次之后结果为12，第2次之后结果为3，第3次之后结果为1．
故答案为：（1）4；4；（2）1，2，3；（3）3
【点睛】
考查了估算无理数的大小，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
二十二、解答题
22．（1）棱长为4；（2）边长为：（或）
【分析】
（1）由立方体的体积为棱长的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接计算得到答案．
【详解】
解：（1）设正方体的棱长为，则，所以，即正方体的棱长为4．
解析：（1）棱长为4；（2）边长为：（或）
【分析】
（1）由立方体的体积为棱长的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接计算得到答案．
【详解】
解：（1）设正方体的棱长为，则，所以，即正方体的棱长为4．
（2）因为正方体的棱长为4，所以AB＝．
【点睛】
本题考查的是立方根与算术平方根的理解与计算，由实际的情境去理解问题本身就是求一个数的立方根与算术平方根是关键．
二十三、解答题
23．（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，证明见解析；（3）不变，2
【分析】
（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB∥CD；
（2
解析：（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，证明见解析；（3）不变，2
【分析】
（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB∥CD；
（2）先根据内错角相等证GH∥PN，再根据同旁内角互补和等量代换得出∠FMN+∠GHF=180°；
（3）作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，先根据同位角相等证ER∥FQ，得∠FQM1=∠R，设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，得出∠EPM1=2∠R，即可得=2．
【详解】
解：（1）∵（α-35）2+|β-α|=0，
∴α=β=35，
∴∠PFM=∠MFN=35°，∠EMF=35°，
∴∠EMF=∠MFN，
∴AB∥CD；
（2）∠FMN+∠GHF=180°；
理由：由（1）得AB∥CD，
∴∠MNF=∠PME，
∵∠MGH=∠MNF，
∴∠PME=∠MGH，
∴GH∥PN，
∴∠GHM=∠FMN，
∵∠GHF+∠GHM=180°，
∴∠FMN+∠GHF=180°；
（3）的值不变，为2，
理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，
∵AB∥CD，
∴∠PEM1=∠PFN，
∵∠PER=∠PEM1，∠PFQ=∠PFN，
∴∠PER=∠PFQ，
∴ER∥FQ，

∴∠FQM1=∠R，
设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，
则有：，
可得∠EPM1=2∠R，
∴∠EPM1=2∠FQM1，
∴==2．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．
二十四、解答题
24．（1）80；（2）①；②
【分析】
（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，由平行线的性质可得∠BPC的度数；
（2）①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
解析：（1）80；（2）①；②
【分析】
（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，由平行线的性质可得∠BPC的度数；
（2）①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②过P作PQ∥DF，依据平行线的性质可得∠β=∠QPA，∠α=∠QPE，即可得到∠APE=∠APQ-∠EPQ=∠β-∠α．
【详解】
解：（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，
由平行线的性质可得∠B+∠BPG=180°，∠C+∠CPG=180°，
又∵∠PBA=125°，∠PCD=155°，
∴∠BPC=360°-125°-155°=80°，
故答案为：80；
（2）①如图2，
过点P作FD的平行线PQ，
则DF∥PQ∥AC，
∴∠α=∠EPQ，∠β=∠APQ，
∴∠APE=∠EPQ+∠APQ=∠α+∠β，
∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE=∠α+∠β；

②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE=∠β-∠α；理由：
过P作PQ∥DF，

∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠β=∠QPA，∠α=∠QPE，
∴∠APE=∠APQ-∠EPQ=∠β-∠α．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得出结论．
二十五、解答题
25．（1）见解析；（2）①③；（3）∠APB的度数是10°或20°或40°或110°
【分析】
（1）由和是的角平分线，证明即可；
（2）根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可；
（3）根据“准互余三角
解析：（1）见解析；（2）①③；（3）∠APB的度数是10°或20°或40°或110°
【分析】
（1）由和是的角平分线，证明即可；
（2）根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可；
（3）根据“准互余三角形”的定义，分类讨论：①2∠A+∠ABC=90°；②∠A+2∠APB=90°；③2∠APB+∠ABC=90°；④2∠A+∠APB=90°，由三角形内角和定理和外角的性质结合“准互余三角形”的定义，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵在中，，
∴，
∵BD是的角平分线，
∴，
∴，
∴是“准互余三角形”；
（2）①∵，
∴，
∴是“准互余三角形”，
故①正确；
②∵， ，
∴，
∴不是“准互余三角形”，
故②错误；
③设三角形的三个内角分别为，且，
∵三角形是“准互余三角形”，
∴或，
∴，
∴，
∴“准互余三角形”一定是钝角三角形，
故③正确；
综上所述，①③正确，
故答案为：①③；
（3）∠APB的度数是10°或20°或40°或110°；
如图①，

当2∠A+∠ABC=90°时，△ABP是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠A=20°，
∴∠APB=110°；
如图②，当∠A+2∠APB=90°时，△ABP是“准直角三角形”，

∵∠ABC=50°，
∴∠A+∠APB=50°，
∴∠APB=40°；
如图③，当2∠APB+∠ABC=90°时，△ABP是“准直角三角形”，

∵∠ABC=50°，
∴∠APB=20°；
如图④，当2∠A+∠APB=90°时，△ABP是“准直角三角形”，

∵∠ABC=50°，
∴∠A+∠APB=50°，
所以∠A=40°，
所以∠APB=10°；
综上，∠APB的度数是10°或20°或40°或110°时，是“准互余三角形”．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题关键是理解题意，根据三角形内角和定理和三角形的外角的性质，结合新定义进行求解．