资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图是二次函数的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(，y1)，(，y2)是抛物线上两点，则y1<y2，其中正确的结论有( )个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到封闭图形就是莱洛三角形，如图，已知等边，，则该莱洛三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线y =ax2+bx+c图像如图所示，则一次函数y =-bx-4ac+b2与反比例函数在同一坐标系内的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，点(2，-1)关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是( )
A．y＝(x+1)2+3 B．y＝(x+1)2﹣3
C．y＝(x﹣1)2﹣3 D．y＝(x﹣1)2+3
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：①4a+2b＜0； ②﹣1≤a≤； ③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，二次函数的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4
8．有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（ ）
A．1 B．1 C． D．
9．下列等式中从左到右的变形正确的是（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．关于的一元二次方程的二根为，且，则_____________.
12．反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，的值随值增大而减小．那么的取值范围是_____________．
13．如图，是的两条切线，为切点，点分别在线段上，且，则__________．
14．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=，则图中阴影部分的面积是___________
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=，将△ABC绕点顶C顺时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是_____．
16．已知，则的值为___________.
17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD=____°．
18．小明掷一枚硬币10次，有9次正面向上，当他掷第10次时，正面向上的概率是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）某商店经销的某种商品，每件成本为30元.经市场调查，当售价为每件70元时，可销售20件.假设在一定范围内，售价每降低2元，销售量平均增加4件.如果降价后商店销售这批商品获利1200元，问这种商品每件售价是多少元？
20．（6分）用适当方法解下列方程．
(1) (2)
21．（6分）如图，是的直径，轴，交于点．
（1）若点，求点的坐标；
（2）若为线段的中点，求证：直线是的切线．
22．（8分）某童装店购进一批20元/件的童装，由销售经验知，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在如图的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系；
（2）当销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少？
23．（8分）如图，每个小正方形的边长为个单位长度，请作出关于原点对称的，并写出点的坐标．
24．（8分）如图，已知抛物线y1＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴，一次函数y2＝kx+b经过B、C两点，连接AC．
（1）△ABC是 三角形；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）结合图象，写出满足y1＞y2时，x的取值范围 ．
25．（10分）某养猪场对猪舍进行喷药消毒.在消毒的过程中，先经过的药物集中喷洒，再封闭猪舍，然后再打开窗户进行通风.已知室内每立方米空气中含药量（）与药物在空气中的持续时间（）之间的函数图象如图所示，其中在打开窗户通风前与分别满足两个一次函数，在通风后与满足反比例函数.
（1）求反比例函数的关系式；
（2）当猪舍内空气中含药量不低于且持续时间不少于，才能有效杀死病毒，问此次消毒是否有效？
26．（10分）如图，点都在上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图. （不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图1中，若，画一个的内接等腰直角三角形.
（2）在图2中，若点在弦上，且，画一个的内接等腰直角三角形.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴即与y轴交点的位置，可得出a＜0、b＞0、c＞0，进而即可得出abc＜0，结论①错误；②由抛物线的对称轴为直线x=1，可得出2a+b=0，结论②正确；③由抛物线的对称性可得出当x=2时y＞0，进而可得出4a+2b+c＞0，结论③错误；④找出两点离对称轴的距离，比较后结合函数图象可得出y1=y2，结论④错误．综上即可得出结论．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，=1，c＞0，
∴b=-2a＞0，
∴abc＜0，结论①错误；
②抛物线对称轴为直线x=1，
∴=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，结论②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标是（-1，0），
∴另一个交点坐标是（3，0），
∴当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，结论③错误；
④=，，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，
∴y1=y2，结论④错误；
综上所述：正确的结论有②，1个，
故选择：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
2、D
【分析】莱洛三角形的面积为三个扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，代入已知数据计算即可．
【详解】解：如图所示，作AD⊥BC交BC于点D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD=，
∴，
∴莱洛三角形的面积为
故答案为D．
【点睛】
本题考查了不规则图形的面积的求解，能够得出“莱洛三角形的面积为三个扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积”是解题的关键．
3、D
【详解】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上可知，a＞0，
因为图象与y轴的交点在y轴的负半轴，所以c＜0，
根据函数图象的对称轴x=﹣＞0，可知b＜0
根据函数图象的顶点在x轴下方，可知∴4ac-b2<0
有图象可知f（1）<0 ∴a+b+c<0
∵a＞0，b＜0，c＜0，ac＜0，4ac-b2<0，a+b+c<0
∴一次函数y =-bx-4ac+b2的图象过一、二、三象限，故可排除B、C；
∴反比例函数的图象在二、四象限，可排除A选项.
故选D
考点:函数图像性质
4、D
【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数”解答即可得答案．
【详解】∵关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数，
∴点(2，-1)关于原点对称的点的坐标为（-2，1），
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，熟记关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数是解题关键.
5、D
【分析】按“左加右减，上加下减”的规律平移即可得出所求函数的解析式.
【详解】抛物线y＝x2先向右平移1个单位得y＝（x﹣1）2，再向上平移3个单位得y＝（x﹣1）2+3.
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”．
6、C
【解析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2a，进而可得出4a+2b=0，结论①错误；
②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=-2a可得出a=-，再结合抛物线与y轴交点的位置即可得出-1≤a≤-，结论②正确；
③由抛物线的顶点坐标及a＜0，可得出n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c，进而可得出对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，进而可得出关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．
【详解】：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴-=1，
∴b=-2a，
∴4a+2b=0，结论①错误；
②∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），
∴a-b+c=3a+c=0，
∴a=-．
又∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴-1≤a≤-，结论②正确；
③∵a＜0，顶点坐标为（1，n），
∴n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c，
∴对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，
又∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
7、B
【详解】当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜1．
故选B．
8、B
【分析】利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得BF的长，则由CF=BC﹣BF即可求得答案．
【详解】解：如图2，根据题意得：BD=AB﹣AD=2.5﹣1.5=1，
如图3，AB=AD﹣BD=1.5﹣1=0.5，
∵BC∥DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴，
即，
∴BF=0.5，
∴CF=BC﹣BF=1.5﹣0.5=1．
故选B．
【点睛】
此题考查了折叠的性质与相似三角形的判定与性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
9、A
【分析】根据同底数幂乘除法和二次根式性质进行分析即可．
【详解】A.,正确；
B.，错误；
C.，c必须不等于0才成立，错误；
D.，错误
故选：A．
【点睛】
考核知识点：同底数幂除法，二次根式的化简，掌握运算法则是关键．
10、B
【分析】作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，再利用相似三角形的判定和性质计算即可．
【详解】解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
则BD∥B′E，
由题意得CD＝2，B′C＝2BC，
∵BD∥B′E，
∴△BDC∽△B′EC，
∴，
∴CE＝4，则OE＝CE−OC＝3，
∴点B'的横坐标是3，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】先降次，再利用韦达定理计算即可得出答案.
【详解】∵的一元二次方程的二根为
∴
∴
又，
代入得
解得：m=
故答案为.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，若的一元二次方程的二根为，则，.
12、
【分析】直接利用当k＞1，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜1，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在所在象限内，y的值随x值的增大而减小，
∴k＞1．
故答案为：k＞1．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的性质，掌握基本性质是解题的关键．
13、61°
【分析】根据切线长定理，可得PA=PB，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出∠FAD=∠DBE=61°，利用SAS即可证出△FAD≌△DBE，从而得出∠AFD=∠BDE，然后根据三角形外角的性质即可求出∠EDF．
【详解】解：∵是的两条切线，∠P=58°
∴PA=PB
∴∠FAD=∠DBE=（180°－∠P）=61°
在△FAD和△DBE中
∴△FAD≌△DBE
∴∠AFD=∠BDE，
∵∠BDF=∠BDE＋∠EDF =∠AFD＋∠FAD
∴∠EDF =∠FAD =61°
故答案为：61°
【点睛】
此题考查的是切线长定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及性质和三角形外角的性质，掌握切线长定理、等边对等角和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．
14、
【解析】试题解析：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC=，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，
∴S△AOC=S△BOC，OA=AC=1，
∴S阴影部分=S扇形AOC=．
【点睛】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．本题考查了扇形面积的计算：圆面积公式：S=πr2，（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法； ②和差法； ③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
15、
【分析】由旋转的性质得：CA=CM，∠ACM=60°，由三角比可以求出∠ACB=30°，从而∠BCM=90°，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由旋转的性质得：CA=CM，∠ACM=60°，
∵∠ABC=90°，AB=1，BC=，
∴tan∠ACB=，CM=AC=，
∴∠ACB=30°，
∴∠BCM=90°，
∴BM==．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了图形的变换-旋转，锐角三角函数，以及勾股定理等知识，准确把握旋转的性质是解题的关键．
16、
【分析】设，分别表示出a,b,c,即可求出的值.
【详解】设
∴
∴
故答案为
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用参数分别把a,b,c表示出来是解题的关键.
17、80
【解析】∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°−140°=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°.
故答案为80.
18、．
【分析】根据概率的性质和概率公式即可求出，当他掷第10次时，正面向上的概率．
【详解】解：∵掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，
∴她第10次掷这枚硬币时，正面向上的概率是：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了概率统计的问题，根据概率公式求解即可．
三、解答题(共66分)
19、每件商品售价60元或50元时，该商店销售利润达到1200元.
【分析】根据题意得出，(售价-成本)(原来的销量+2降低的价格)=1200，据此列方程求解即可.
【详解】解：设每件商品应降价元时，该商店销售利润为1200元.
根据题意，得
整理得：，
解这个方程得：，.
所以，或50
答：每件商品售价60元或50元时，该商店销售利润达到1200元.
【点睛】
本题考查的知识点是生活中常见的商品打折销售问题，弄清题目中的关键概念，找出题目中隐含的等量关系式是解决问题的关键.
20、（1），；（2），
【解析】(1) ,
,
△=16-4×3×(-1)=28,
∴ ,
∴，；
(2) ,
,
,
∴或，
∴，
21、（1）；（2）见解析．
【分析】(1)由A、N两点坐标可求AN的长，利用 ，，由勾股定理求BN即可，
(2) 连接MC，NC，由是的直径，可得，D为线段的中点，由直角三角形斜边中线CD的性质得ND=CD，由此得，由半径知，利用等式的性质得∠MCD=∠MND=90º，可证直线是的切线．
【详解】的坐标为，
，
，
，
由勾股定理可知:，
；
连接MC，NC，
是的直径，
，
，
为线段的中点，
，
，
，
，
，
，
即，
直线是的切线．
【点睛】
本题考查点的坐标与切线问题，掌握用两点坐标求线段的长，能在直角三角形中，利用30º角求线段，会利用勾股定理解决问题，会利用半径证角等，利用直角三角形的斜边中线解决角等与线段相等问题，利用等式的性质证直角等知识．
22、（1）y＝﹣10x+700；（2）销售单价为45元时，每天可获得最大利润，最大利润为1元
【分析】（1）由一次函数的图象可知过(30，400)和(40，300)，利用待定系数法可求得y与x的关系式；
（2）利用x可表示出p，再利用二次函数的性质可求得p的最大值．
【详解】（1）设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)，
由图象可知一次函数的过(30，400)和(40，300)，
代入解析式可得，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y=﹣10x+700；
（2）设利润为p元，由（1）可知每天的销售量为y千克，
∴p=y(x﹣20)=(﹣10x+700)(x﹣20)=﹣10x2+900x﹣14000=﹣10(x﹣45)2+1．
∵﹣10＜0，
∴p=﹣10(x﹣45)2+1是开口向下的抛物线，
∴当x=45时，p有最大值，最大值为1元，
即销售单价为45元时，每天可获得最大利润，最大利润为1元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，求得每天的销售量y与x的函数关系式是解答本题的关键，注意二次函数最值的求法．
23、画图见解析；点的坐标为．
【分析】由题意根据平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点的坐标特点是横坐标，纵坐标都互为相反数，根据点的坐标就确定原图形的顶点的对应点，进而即可作出所求图形．
【详解】解：如图：点的坐标为.
【点睛】
本题考查关于原点对称的知识，关键是掌握关于原点对称的两个点的坐标特点是横坐标，纵坐标都互为相反数，根据点的坐标即可画出对称图形．
24、（1）直角;（2）P（，）;（3）0＜x＜1.
【分析】（1）求出点A、B、C的坐标分别为：（-1，0）、（1，0）、（0，2），则AB2=25，AC2=5，BC2=20，即可求解；
（2）点A关于函数对称轴的对称点为点B，则直线BC与对称轴的交点即为点P，即可求解；
（3）由图象可得：y1＞y2时，x的取值范围为：0＜x＜1．
【详解】解：（1）当x=0时，
y1＝0+0+2=2，
当y=0时，
﹣x2+x+2=0，
解得
x1=-1，x2=1，
∴点A、B、C的坐标分别为：(﹣1，0)、(1，0)、(0，2)，
则AB2＝25，AC2＝5，BC2＝20，
故AB2＝AC2+BC2，
故答案为：直角；
（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：
，
解得
，
∴直线BC的表达式为：y＝﹣x+2，
抛物线的对称轴为直线：x＝，
点A关于函数对称轴的对称点为点B，则直线BC与对称轴的交点即为点P，
当x＝时，y＝×+2＝，
故点P(，)；
（3）由图象可得：y1＞y2时，x的取值范围为：0＜x＜1，
故答案为：0＜x＜1．
【点睛】
本题考查了二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，轴对称最短的性质，勾股定理及其逆定理，以及利用图像解不等式等知识，本题难度不大．
25、（1）；（2）此次消毒能有效杀死该病毒.
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；
（2）求正比例函数解析式，计算正比例函数和反比例函数的函数值为5对应的自变量的值，则它们的差为含药量不低于5mg/m3的持续时间，然后与21比较大小即可判断此次消毒是否有效．
【详解】解：（1）设反比例函数关系式为.
∵反比例函数的图像过点，
∴.
∴.
（2）设正比例函数关系式为.
把，代入上式，得.
∴.
当时，.
把代入，得.
∴.
答：此次消毒能有效杀死该病毒.
【点睛】
本题考查了反比例函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．也考查了一次函数．
26、（1）见解析；（2）见解析
【分析】根据内接三角形和等腰直角三角形的性质，结合题意即可得出答案.
【详解】解：（1）如图1，即为所求（画法不唯一）.
（2）如图2，即为所求（画法不唯一）
【点睛】
本题主要考查了圆内接等腰直角三角形的作图方法，考查了学生的作图能力.
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